基于主成分分析的振动噪声源的研究

基于主成分分析的振动噪声源的研究

在噪声控制中，源诊断是一项极为重要的工作。它的目标是通过合理的方法确定源的位置、能量分布和频率特征。在实际声源的诊断中,由于各声源的频率结构往往十分复杂,而且各源之间的干扰以及声波的传递通道千差万别使得这一工作极其复杂。因此,能否从多个声源信号中构造出很少的几个不相关的综合量,而且这些综合量可以反映出原信号较多的信息,成为人们所关心的问题。主成分分析法就是利用降维的思想,把原来多个变量转化为少数几个互不相关的主成分的一种统计方法。本研究采用以最小均方误差为准则,将原特征向量经过维数压缩后进行数据分析的主成分分析法,并结合电机表面振动信号的功率谱分析来完成对100CLG-30船用立式单级离心泵的振动噪声源的分析。1数据化简的方法主成分分析法是利用降维的思想,把原来多个变量转化为少数几个互不相关的主成分的一种统计方法,最终达到数据化简、揭示变量间的关系和进行数据解释的目的。1.1随机向量x的主成分设在n个测点测得的振动信号为:X=(x1,x2,⋯,xn)Τ,n≥2,E(X)=μ,D(X)=V≥0X=(x1,x2,⋯,xn)T,n≥2,E(X)=μ,D(X)=V≥0现在寻求一组新的变量,基本思路是:找出X各分量的一个线性组合y1,为使y1尽可能多地反映X的变化信息,就要使y1具有最大的方差。继而找出X各分量的第二线性组合y2,为使y2在与y1不相关的条件下具有最大的方差,如此继续下去,直至X的信息基本提取完毕为止。这些新的变量y1,y2等就称为X的主成分。设a=(a1,a2,…,an)T是n维常向量,则可得第一主成分y1y1=aΤ=a1x1+a2x2+⋯+anxn(1)D(y1)=D(aTX)=aTD(X)a=aTVa,可以看出增加a可以使得D(y1)变大,因此,需要对a加以限制。可令a满足aTa=1,于是问题转化为求解下式{max:aΤVa约束条件:aΤa=1(2)对于这一条件极值问题,利用拉格朗日定理,令φ=aΤVa-λ(aΤa-1)则有{∂φ∂a=2Va-2λa∂φ∂a=-aaΤ+1(3)令∂φ∂a=0,∂φ∂λ=0,可得{Va=λaaΤa=1(4)可得:(V-λI)a=0,这一方程有非零解的充要条件是|V-λΙ|=0因此,可以看出要使aTVa最大即要λ最大。由于λ为V的特征根,故λ应取V的最大特征根λ1,再由式(4)可知a应取为相应于λ1的单位化特征向量ζ1,因此ζ1即是式(2)的解,从而得y1=ζΤ1X把y1称为X的第一主成分。若y1还不能充分反映X,重复上述过程可以求得X的其他组主成分变量y1,y2,…,yp(其中λ相应取V的特征根λ1,λ2,…,λp,且λ1>λ2>λp)。一般来说,由于随机向量X的主成分是由x的分量的特殊线性组合得到的,所以,当各个变量的量纲不同时,则这种线性组合的物理意义就很难给出解释。因此,如果存在各个变量间的量纲或数量级不一致的情况,首先需要对随机变量X作标准化处理,即作如下变换X*=(x*1‚x*2‚⋯,x*n)Τ=(x1-μ1√σ11,x2-μ2√σ22,⋯,xn-μn√σnn)Τ式中,μ=E(X)=(μ1,μ2,…,μn)T,V=D(X)=(σij)p×p。对变换后的随机变量X*按上述求法计算即可。1.2p-i设计的总方差主成分分析的目的是用尽可能少的不相关的主成分y1,y2,…,yp(其中p≤n)来代替n个相关变量x1,x2,…,xn,且能描述X=(x1,x2,…,xn)T的统计特性,并对y1,y2,…,yp的实际意义能作出解释。那么要取多少个主成分才合理是一个急需讨论的问题。以下以V表示X的协方差矩阵,记V=(σij)p×p,那么V中主对角线上的元素σ11,σ22,…,σpp分别表示X的各分量x1,x2,…,xn的方差,因此,X的总方差为D(x1)+D(x2)+⋯+D(xp)=σ11+σ22+⋯+σpp=tr(V)由于V是非负定矩阵,存在正交阵U,使得UVUT=Λ,于是由矩阵迹的性质得tr(V)=tr(UΤUV)=tr(UVUΤ)=tr(Λ)=p∑i=1λi而y=(y1,y2,…,yp)T的总方差为D(y1)+D(y2)+⋯+D(yp)=p∑i=1λi从而有X的总方差等于y的总方差,其中y1具有最大的方差,y2次之等。λi/p∑i=1λi=λi/tr(V)表明了主成分yi的方差在全部方差中的比值,称为第i个主成分的贡献率,其值越大表明yi反映X的能力越强,反之则弱。一般来说,考虑前若干个λi使其占的比例较大,而略取较小的λp-i,对问题分析影响不大。一般来说,若前m个主成分的累计贡献率超过85%就够了,即这m个主成分的方差占“总方差”的85%以上,则只需取这m个主成分就足够了。当然这并不是一个绝对不变的标准,可以根据实际效果作取舍。关于主成分的实际意义,需要结合实际应用中的具体问题作具体分析。2水泵基本性能被测泵为100CLG-30船用立式单级离心泵,由广东省广宁船用水泵厂生产,该型号的泵在舰艇上由直流电动机驱动。目前在管道噪声实验室它由普通交流电动机驱动,通过变频器控制交流电动机的转速,该泵在流噪声管路中呈卧式安