福建省宁德市2024届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析

福建省宁德市2024届数学高一上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直三棱柱中,若,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B.C. D.2．两圆和的位置关系是A.相离 B.相交C.内切 D.外切3．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A.13 B.14C.15 D.164．如图所示，在中，D、E分别为线段、上的两点，且，，，则的值为（）.A. B.C. D.5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A. B.-C.2 D.6．已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（）A1 B.2C.4 D.87．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是()A.0＜k＜1 B.0≤k＜1C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥18．在同一直角坐标系中，函数和（且）的图像可能是（）A. B.C. D.9．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.210．函数的最大值是（）A. B.1C. D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量满足，且，则与的夹角为_______12．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________14．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________.15．已知，则的值为________16．若在上恒成立，则k的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）若为偶函数，求实数m的值；（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.18．已知扇形的周长为30（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.19．（1）若是的根，求的值（2）若，，且，，求的值20．已知，，，请在①②，③中任选一个条件，补充在横线上（1）求的值；（2）求的值21．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的单调递减区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】连接，在正方形中，，又直三棱柱中，，即，所以面.所以，所以面，面，所以，即异面直线与所成角为90°，所以余弦值为0.故选A.2、B【解题分析】依题意，圆的圆坐标为，半径为，圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为，两圆心的距离，且两圆相交，故选B.3、D【解题分析】用分离参数法转化为恒成立，只需，再利用基本不等式求出的最小值即可.【题目详解】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D4、C【解题分析】由向量的线性运算可得＝+，可得，又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得，则可建立关于a，b的方程组，即可求得a值，从而可得λ，μ，进而得解【题目详解】解：因为，，所以，，所以，所以，又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得，所以，解得，所以，因为，所以由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ+μ＝故选：C5、A【解题分析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角为异面直线与所成角【题目详解】解：如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角为异面直线与所成角设，则，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A【题目点拨】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角6、B【解题分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【题目详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴，当且仅当时,即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.故选：B.7、C【解题分析】根据对数函数值域为R的条件，可知真数可以取大于0的所有值，因而二次函数判别式大于0，即可求得k的取值范围【题目详解】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R所以解不等式得k≤0或k≥1所以选C【题目点拨】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为R与值域为R是不同的解题方法，属于中档题8、B【解题分析】利用函数的奇偶性及对数函数的图象的性质可得.【题目详解】由函数，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项AC，又的图象过点，可排除选项D.故选：B.9、C【解题分析】根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.【题目详解】因为为上的偶函数，所以，又因为对于，都有，所以函数的周期，且当时，，所以故选：C.10、C【解题分析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.【题目详解】，∵，∴函数的最大值是.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##【解题分析】根据平面向量的夹角公式即可求出【题目详解】设与的夹角为，由夹角余弦公式，解得故答案为：12、2400【解题分析】由题意直接利用指数幂的运算得到结果【题目详解】12年后的价格可降为81002400元故答案为2400【题目点拨】本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13、【解题分析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案14、【解题分析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【题目详解】设等边三角形的边长为，则，解得，所以，由弧与所围成的弓形的面积为，所以该勒洛三角形的面积.故答案为：.15、【解题分析】∵，∴，解得答案：16、【解题分析】首先参变分离得到在上恒成立，接着分段求出函数的最小值，最后给出k的取值范围即可.【题目详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立，当时，，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；综上：k的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题是含参数的不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）-1；（2）；（3）【解题分析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.【小问1详解】定义域为R.因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.此时，所以所以偶函数，所以m=-1.【小问2详解】当时，不等式可化为：，即对任意恒成立.记，只需.因为在上单增，在上单增，所以在上单增，所以，所以，解得：，即实数a的取值范围为.【小问3详解】当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.则可化为.又因为在R上单增，所以，换底得：，即.令，则，问题转化为在上有两根，即，令，，分别作出图像如图所示：只需，解得：.即实数m的取值范围为.【题目点拨】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解18、（1），，；（2），.【解题分析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.【小问1详解】由题知扇形的半径，扇形的周长为30，∴，∴，，.【小问2详解】设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，∴，∴当且仅当，即取等号，所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.19、（1）；（2）【解题分析】（1）先求出，再通过诱导公式及切化弦化简原式后再代值即可；（2）通过角的范围及已知的三角函数值求出和，再运用正弦的两角差的公式计算即可.【题目详解】（1）方程解得或，因为为其解，所以.则原式由于，所以原式.（2）因为，所以，又因为，所以，因为，，可得，又，可得，