近世代数期末模拟试题与答案

世代数模拟试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A、2 B、5C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。4、偶数环是---------的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。6、每一个有限群都有与一个置换群--------。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，