有限元大作业

1）温度泛函：

l¶T ¶T2

U(e)= R + dxdy+ T2-fT(e)W=G(e)+Z

¶y S(e) 4

(i=1~ A=

¶Ni(x,h) ¶= ,B¶

¶Ni(x,h)= XC=XA=

¶Ni(x,h)= ,YC ¶Ni(x,h)= ,YA

¶Ni(x,h)=8¶Ni(x,h)=

1 1

A-YCB¶T

J ¶x¶T=JXCB-XA

¶h¶x l¶T ¶T2=G R + =W(e) ¶y-1-121 3H

YCB)2(XC = t s=1t 2

s写出()对单元节点温度Ti ¶N =HH (YAA-YCB)YA s=1

i-i

,i=1,2, ¶G(e) 1¶G(e) kkT+kkT+kkT+kkT 11 12 13 144

kkT+kkT+kkT+kkT 31 32 33 344

¶G(e) 4

T 242

kk34T3kk= lRYA ¶NjYA HsHtJ

x-h

x-YC¶h

-

¶Ni-

i

,i,j=1,2,3,

kk= kk从上式可以看 ji，即我们也写出()对i的偏导

ij =Hsa ¶T1¶Z(e) N1N1T1+N1N2T2+N1N3T3+N1N4T4¶T2

3Ha ¶Z(e) NNT+NNT+NNT+NNT¶ s 31 2 3 44

¶T4

N1N4T1 N N N NN =Ha 2 4P2+ N N N NNP2+s 3 4T3N4 N4 N4 =3Ha P2+

s

y0 f1 Z Z Z Z =2 2 2 24

T 2-2Z Z Z ZZT f3 3 3 343 3Z4 Z4 Z4 P2+P2+ zizj=Hsa s

i,j=1,2,f=Ha P2+P2T s

y zizj=zjzz i U(e)=G(e)+Z

=

+¶U(e)

=kkij4·4{T}4·1+zizj 4·4{T}4·1-令KK(e)kk(e)+zz(e), ij

ij

ij

KK ij 解答：1321、2、3。节点位移是1,12)、(u3,v3 单元结点位移u}={uvu uv u=a1+a2x+a3v=a4+a5x+a6

=1

=[DAa2 22 2 1

=1

a

=[DAa2

5

1

y

a3

36

6a1~a6a1 1 b a2=DA2

a

2Dc

cu3

3

33 1 []-1v= b a5=DA2

a

2Dc

cv6

3

33其中2D=detDA=a1+a2+a3=x2y3x3y1x1y2x3y2x1y a

`，a=

y1=x

xy 2 3 xy

x y

3 11x 1xa3x 1

-x2y11 1b1=1

2=22

-y

，b21

1=33

-y

，b3=1

1=11

-y1c11

x2=xx3

-x

，c2=1

x1=xx3

-x

，c31

x1=xx2

2-x23131=u1=

+bx+cy

2D

1212

1313

v2３yD１２xN(x,y)=1(a+b３yD１２x 2D 1N(x,y)=(a+bx+cy 2D N(x,y)=1(a+bx+cy 2D 单元内一点。三角形Ｍ－２－３、Ｍ－３－１Ｍ－１－２的面积分别记 D1、D2、D3三角形１－２－３的面积记作DD=D1+D2+D

=D

L=

L= 则Ｍ的位置确定后L1、2、3的值即完全确定。反过来L1、2、3给定显然，节点１的面积坐标为（１，０，０）节点２的面积坐标为（０，１，０）节点３的面积坐标为（０，０，１）点Ｍ的面积坐标（1、L2、3）和总体坐标（x、y）iL=1i

bxcy)（i1、2、ii2Diia2=x3y