高考数学(深化复习-命题热点提分)专题21-坐标系与参数方程-理

PAGEPAGE7专题21坐标系与参数方程1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosα，,y＝2sinα.))(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)∵ρsin(θ－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，∴ρ(eq\f(\r(3),2)sinθ－eq\f(1,2)cosθ)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2)，即x－eq\r(3)y＋1＝0.故直线l的直角坐标方程是x－eq\r(3)y＋1＝0.(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，∴曲线C上的点到直线l的距离d＝eq\f(|2＋2cosα－2\r(3)sinα＋1|,2)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4cos（α＋\f(π,3)）＋3)),2)≤eq\f(7,2)，故最大距离是eq\f(7,2).方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为eq\f(3,2)，∴最大距离为eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2).2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2cosα，,y＝－4＋2sinα))(α为参数)．(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．解：(1)圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2cosα，,y＝－4＋2sinα))(α为参数)，所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0.(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2cosα－2sinα＋9|,\r(2))，故△ABM的面积S＝eq\f(1,2)×|AB|×d＝|2cosα－2sinα＋9|＝|2eq\r(2)sin(eq\f(π,4)－α)＋9|，所以△ABM面积的最大值为9＋2eq\r(2).3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；(2)求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)消去参数t，化为普通方程eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0，将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0，得eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－2eq\r(3)＝0.4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝－1＋tsinα))(t为参数)．(1)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；(2)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3eq\r(2)，求直线l的斜率．解：(1)∵ρ＝2cosθ－4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ－4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5.∵直线l过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为eq\r(（1－1）2＋（－1＋2）2)<eq\r(5)，∴直线l与曲线C相交．(2)方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心(1，－2)，|AB|＝2eq\r(5)≠3eq\r(2)，则直线l的斜率必存在，设其方程为y＋1＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，圆心(1，－2)到直线l的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\r(（\r(5)）2－（\f(3\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1.方法二：将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝－1＋tsinα))代入(x－1)2＋(y＋2)2＝5，得(tcosα)2＋(1＋tsinα)2＝5，整理得t2＋2sinα·t－4＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2sinα，t1t2＝－4，则|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq\r(4sin2α＋16)＝3eq\r(2)，∵α为直线l的倾斜角，∴sinα＝eq\f(\r(2),2)(舍去负值)，则α＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，∴直线l的斜率为±1.5．已知点P的直角坐标是(x，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝eq\f(π,4)，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．解：(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝ρcos（θ＋θ0），,n＝ρsin（θ＋θ0），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝ρcosθcosθ0－ρsinθsinθ0，,n＝ρsinθcosθ0＋ρcosθsinθ0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝xcosθ0－ysinθ0，,n＝xsinθ0＋ycosθ0.))(2)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)y，,n＝\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y，))所以(eq\f(\r(2),2)x－eq\f(\r(2),2)y)(eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y)＝1，整理得eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.6．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(8cosθ,1－cos2θ).(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；(2)过点M的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，求直线l的参数方程．解：(1)点M的极坐标为(1，π)．由ρ＝eq\f(8cosθ,1－cos2θ)，得ρ(1－cos2θ)＝8cosθ，即ρ·2sin2θ＝8cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，直线l的极坐标方程为ρ＝eq\f(4,\r(2)sinθ＋cosθ).(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．解：(1)由ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以eq\f(x2,2)＋y2＝1；ρ＝eq\f(4,\r(2)sinθ＋cosθ)，即ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ＝4，所以x＋eq\r(2)y＝4.所以曲线C1的直角坐标方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋eq\r(2)y－4＝0.(2)设Q(eq\r(2)cosθ，sinθ)，则点Q到直线l的距离d＝eq\f(|\r(2)sinθ＋\r(2)cosθ－4|,\r(3))＝eq\f(|2sin（θ＋\f(π,4)）－4|,\r(3))≥eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).当且仅当θ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即θ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)时取等号，所以Q点到直线l距离的最小值为eq\f(2\r(3),3).8、在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．解：(1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x.(2)直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1·t2＝4，,t1＋t2＝－4（sinα＋cosα），,Δ＝16（sinα＋cosα）2－16>0，))∴sinα·cosα>0，又α∈[0，π)，所以α∈(0，eq\f(π,2))，所以t1<0，t2<0，而|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sinα＋cosα)＝4eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))．∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,4)，eq\f(3,4)π)，∴eq\f(\r(2),2)<sin(α＋eq\f(π,4))≤1，∴|PM|＋|PN|的取值范围为(4，4eq\r(2)]．9、已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－eq\f(π,6))．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－eq\f(π,6))的公共点，求eq\r(3)x＋y的取值范围．解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－eq\f(π,6))，所以ρ2＝4ρsin(θ－eq\f(π,6))＝4ρ(eq\f(\r(3),2)sinθ－eq\f(1,2)cosθ)．又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0.(2)方法一：设z＝eq\r(3)x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0⇒(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，所以圆C的圆心是(－1，eq\r(3))，半径是2，将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入z＝eq\r(3)x＋y得z＝－t.又直线l过C(－1，eq\r(3))，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即eq\r(3)x＋y的取值范围是[－2，2]．10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)．(1)将C1的方程化为普通方程；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝eq\f(π,3)，求曲线C1与C2的交点的极坐标．解(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上，设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，∵直线OB倾斜角为eq\f(π,3)，OA＝2，∴OC＝1，从而OB＝2，∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).11．已知曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cost，,y＝1＋sint))(t为参数)，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．解(1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1.曲线C1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点、焦点在x轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．12．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．13．已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝3sinφ))(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，eq\f(π,3))．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解析：(1)由已知可得A(2coseq\f(π,3)，2sineq\f(π,3))，B(2cos(eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))，2sin(eq\f(π,3)＋eq\f(π,2)))，C(2cos(eq\f(π,3)＋π)，2sin(eq\f(π,3)＋π))，D(2cos(eq\f(π,3)＋eq\f(3π,2))，2sin(eq\f(π,3)＋eq\f(3π,2)))，即A(1，eq\r(3))，B(－eq\r(3)，1)，C(－1，－eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．14．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|·|TN|的取值范围．解析：(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，又y＝ρsinθ，所以ρ2－2ρsinθ＝0，即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)解法一由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosθ,y＝y0＋tsinθ))(t为参数)．联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cosθ＋y0sinθ－sinθ)t＋1－2y0＝0，即由直线参数方程中t的几何意义可知，|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．解法二设点T(cosα，sinα)，则由题意可知当α∈(0，π)时，切线与曲线C2相交，由对称性可知，当α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时切线的倾斜角为α＋eq\f(π,2)，则切线MN的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋tcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα－tsinα,y＝sinα＋tsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝sinα＋tcosα))(t为参数)，与C2的直角坐标方程联立，得t2－2tcosα＋1－2sinα＝0，则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sinα|，因为α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．15．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq\r(2)倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1