高二数学下学期期中试题-理39

PAGEPAGE9陕西省南郑县2016-2017学年高二数学下学期期中试题理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin12.设（是虚数单位），则()A．B．C．D．3．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则a＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)5．我国古代数学有非常高的成就，在很多方面都领先于欧洲数学。下面数学名词中蕴含微积分中“极限思想”的是()A．天元术B．少广术C．衰分术D．割圆术观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)7.定积分的值为()A．－1B．－2C．28．若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－4B．－2C．29．若S1＝x2dx，S2＝eq\f(1,x)dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．9B．6C．3D．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，eq\a\vs4\al(f′x>)2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论正确的是.i是虚数单位，若，则乘积的值是.15．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．16.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．18.（12分）已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．19.（12分）已知函数f(x)＝eq\f(3x,a)－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．21．（12分）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx.(1)若曲线h(x)＝f(x)＋ax2－ex(a∈R)在点(1，h(1))处的切线垂直于y轴，求函数h(x)的单调区间；(2)若函数F(x)＝1－eq\f(a,x)－g(x)(a∈R)在区间(0,2)上无极值，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．

数学答题卡（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）123456789101112二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．三、解答题：17.（本题10分）18.（本题12分）19.（本题12分）20.（本题12分）21.（本题12分）22.（本题12分）

2018届南郑中学高二第二学期期中考试数学试卷（理科）答案一、选择题：1．解析：选B∵y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，∴y′|x＝1＝2cos1－sin1.2.解析：选D对于3．解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.4．解析：选B∵y＝ax2－ax＋1，∴y′＝2ax－a，∴y′|x＝0＝－a.又∵曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴(－a)·(－2)＝－1，即a＝－eq\f(1,2).5．解析：选D天元术：一种用数学文字符号列方程的方法。少广术：已知面积、体积，反求其一边长和径长等，也就是开平方、开立方的方法。衰分术：比例分配问题，《九章算术》第三章衰分章提出比例分配法则，称为衰分术。所谓"割圆术"，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。6.解析：选D由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．7.解析：选C8．解析：选B∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，∴4a＋2b∴f′(－1)＝－4a－2b9．解析：选B，S1＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,,1))＝eq\f(8,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，S2＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,,1))＝ln2<lne＝1，S3＝exeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,,1))＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3.10.选A∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，又a>0，b>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.11.解析：选C∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，当x<－2时，xf′(x)>0.在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，当－2<x<0时，xf′(x)<0.12.解析：选B令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，因此，g(x)在R上是增函数，又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为g(x)>g(－1)，由g(x)的单调性，可得x>－1.二、填空题：13．解析：①②正确，③④⑤⑥错误．14.解析：，∴15.答案：20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点．因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.16.答案-2，三、解答题：17．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2).当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4).当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝eq\f(15,8).….….….….….….….….….….….…（2分）由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．….….….….….….….….….….….…（4分）(2)证明：①当n＝1时，a1＝S1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，….….….….….….….….….….….…（6分）那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋eq\f(2k－1,2k－1)＝eq\f(2k＋1－1,2k－1).∴ak＋1＝eq\f(2k＋1－1,2k)，由①②可知，对n∈N*，an＝eq\f(2n－1,2n－1)都成立．.….….….….….….….….….….….…（10分）18.(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．①当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；②求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0..….….….….….…（6分）(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；..….….….….….…（8分）②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，..….….….….….…（10分）从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．.….….….….….….….….….….….…（12分）19.已知函数f(x)＝eq\f(3x,a)－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－4x＋3＝eq\f(－4x2＋3x＋1,x)＝eq\f(－4x＋1x－1,x)(x>0)．当x∈(0,1)，f′(x)>0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．..….….….….….…（6分）f′(x)＝eq\f(3,a)－4x＋eq\f(1,x)，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝eq\f(3,a)－4x＋eq\f(1,x)≥0或f′(x)＝eq\f(3,a)－4x＋eq\f(1,x)≤0，即eq\f(3,a)－4x＋eq\f(1,x)≥0或eq\f(3,a)－4x＋eq\f(1,x)≤0在[1,2]上恒成立．即eq\f(3,a)≥4x－eq\f(1,x)或eq\f(3,a)≤4x－eq\f(1,x).令h(x)＝4x－eq\f(1,x)，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以eq\f(3,a)≥h(2)或eq\f(3,a)≤h(1)，即eq\f(3,a)≥eq\f(15,2)或eq\f(3,a)≤3，解得a<0或0<a≤eq\f(2,5)或a≥1...….….….….….…（12分）20．（2013·重庆高考文）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．..….….….….….…（4分）由h>0，且r>0可得0<r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．..….….….….….…（6分）由(1)知V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．..….….….….….…（8分）当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．..….….….….….…（10分）由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值h＝8，此时当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．..…（12分）21．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx.(1)若曲线h(x)＝f(x)＋ax2－ex(a∈R)在点(1，h(1))处的切线垂直于y轴，求函数h(x)的单调区间；(2)若函数F(x)＝1－eq\f(a,x)－g(x)(a∈R)在区间(0,2)上无极值，求实数a的取值范围．解：(1)∵h(x)＝f(x)＋ax2－ex＝ex＋ax2－ex(a∈R)，∴h′(x)＝ex＋2ax－e.又∵曲线h(x)在点(1，h(1))处的切线垂直于y轴，∴k＝h′(1)＝2a＝0，∴a∴h(x)＝ex－ex，∴h′(x)＝ex－e.令h′(x)＝ex－e>0，得x>1；令h′(x)＝ex－e<0，得x<1，故h(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．..….….…...….….….….….…（4分）(2)∵F(x)＝1－eq\f(a,x)－g(x)＝1－eq\f(a,x)－lnx(x>0)，∴F′(x)＝eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)＝eq\f(a－x,x2)…...….….….….….…（6分）①当a≤0时，在区间(0,2)上F′(x)＝eq\f(a－x,x2)<0恒成立，即函数F(x)在区间(0,2)上单调递减，故函数F(x)在区间(0,2)上无极值；..….….…...….….….….….…（8分）②当a>0时，令F′(x)＝eq\f(a－x,x2)＝0，得x＝a，当x变化时，F′(x)和F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)＋0－F(x)↗极大值↘∴函数F(x)在x＝a处有极大值，∴要使函数F(x)在区间(0,2)上无极值，只需a≥2.综上所述，实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．..….….…...….….….….….…（12分）22．（2013·福建高考文）已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．解：(1)由f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)，得f′(x)＝1－eq\f(a,ex)因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e...….….…...….….….….….…（4