第2讲曲线运动的描述

#第三节曲线运动的描述质点的运动总是要经过一定的轨道。在第二节，讲述了描述质点运动所需要的四个物理量，并没有涉及质点运动所经历的轨道的样式。质点的运动轨道可以是直线，也可以是曲线，且曲线运动是常见的运动形式，因此本节将研究如何描述质点的曲线运动。为简单起见，本节只研究平面曲线运动，即质点运动的轨道在一个平面上。描述质点的曲线运动,.就是要找出质点在曲线运.动过程.中的位置、…速度加速度及运动方程等的数学表示形式。1曲线的描述——曲线的曲率、曲率圆、曲率半径、曲率中心、邻切角如图1所示，从曲线上的两个临近的点Pl、P2各引出一条切线，设两条切线的夹角为△0,两点Pl、P2间的弧长为△S，那么曲线在Pl点处的曲率定义为"mi（i）ds轨逍R"mi（i）ds轨逍R曲率拠图1曲线的曲率、邻切角、曲率圆图1中，两个无限临近的点Pi、P2切线间的夹角d0称为邻切角。由1式看到，曲线上某点的曲率等于在此点处的邻切角d0与元弧ds的比值。过P1点可以作一个圆，若此圆的曲率等于P1点处曲线的曲率，那么此圆称为曲线在此点处的曲率圆。此曲率圆的半径为dsd并称其为曲线在此点处的曲率半径，曲率圆的圆心 0称为此曲线在P1点处

的曲率中心。2平面曲线运动的描述在上一节，使用直角坐标系描述物体的质点的运动是较常用的方法， 但是在描述曲线运动时,直角坐标系就显得不很方便，自然坐标系则能够方便地描述质点的曲线运动。2.1自然坐标系如图2所示，在描述曲线运动时，可以在曲线上任意选一个点0作为原点，沿着曲线建立一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向（人为的，随意的），图2自然坐标系自然坐标系中常常使用两个单位矢量表示速度和加速度：切向单位矢量和法向单位矢量。切向单位矢量：沿曲线的切线且指向自然坐标s增加的方向的单位矢量，通常用T表示。法向单位矢量：沿着曲线的法线方向且指向曲线凹侧的单位矢量，通常用n表示。很明显，这两个单位矢量是相互垂直的。曲线上任意一点P处的切向单位矢量和法向单位矢量如图3所示。注意：t和n不是恒矢量。虽然其大小不变，皆为1，但其方向将随着P点的位置的变化而发生变化。因而dT0，dn0（0矢量）。dt dt2.2自然坐标系中质点的位置及运动方程

质点相对于原点的弧长s就是它在此坐标系中的位置坐标。图2a中点P的位置坐标为s,而图2b中点P的位置坐标为一s。自然坐标系中，质点的运动方程为s=s(t)2.3曲线运动中质点的速度如图4所示，质点沿着曲线运动，t时刻运动到Pi点，t+At时刻运动到P2点，当△t0时，△r的方向趋于Pi点的切向；而厶r的大小则等于Pi到P2的弧长As。所以有，当△t0时，△r=△stlitmlitmostdst=vtdt式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲线运动中质点的式中vdt，是速度的切向分量。由此看到，在曲线运动中质点的速度没2.4曲线运动中质点的加速度如图5所示，对于曲线运动，质点的加速度的方向一般不会与质点的速度方向相同，且加速度的方向总是指向曲线凹进去的一边。图5加速度的方向利用自然坐标系，将质点运动的加速度分解成切向加速度和法向加速度是比较方便的。下面设法进行分解。如图6a所示，质点沿着曲线运动，t时刻运动到Pi点，速度为vi,t+△t时刻运动到P2点，速度为V2,并设曲线在Pi点处的曲率半径为R。求质点在Pi点处的加速度。设邻切角为△9,弧长为△s。如图6b所示，将矢量V2平移到A点，在矢量AC上截取|AD|=AB|的长度，连接BD、BC,那么矢量BC=△v就是速度增量，注意到vT=Av反映了速度大小的增量，而矢量BD=△Vn则反映了速度方向的增量。由此速度的增量可表示为△v=Av+AVn(a) (b) (M图6切向加速度与法向加速度注意：一般说来，△VM△v|。因为:△V=V2—vl， △V|=|v2—vl|；△V=|V2|—Iv1是速度大小的改变量。下面说明，极限情况下，△Vt是速度增量的切向分量，而△Vn则是速度增量的法向分量。在图6c中，当△t0时，0,则/ABD90°即厶Vn与Pi点的切线垂直，因而沿着曲线在Pi点的法线方向。则有△Vn=vn|n，若令V=|V1|，由于0时，◎vn|=vA9,所以△Vn=△Vn|n="△9n，图6c中，0时，△—的方向与Vi方向相同，即沿着曲线在Pi点的切线方向。于是有：△Vt=△vTt△VT由此，Pi点的加速度为v v vn V Valimlimlim-limtlimn

t0tt0tt0tt0tt0t

dvd—Tvndtdt利用(2)及⑶式有，dddsv。于是，(4)式可写成dtdsdtRdvddv2va Tv n—t—naTTanndtdtdtR式中adv v式中adv v2t,an —noadt R是切向加速度分量，反映了速度大小的dt2变化；an 是法向加速度分量，反映了速度方向的变化进一步，根据(3)式，有an加速度的大小为加速度的方向与切线方向的夹角dv d2s an加速度的大小为加速度的方向与切线方向的夹角dv d2s T= 2Tdt dt22vnR~2、•、aanarctan西aT(6a)(6b)(6c)(6d)国际单位制中加速度的单位为：米/秒2(m/s2，m.s-2)4本节小结本节的难点是推导加速度的数学表达式， aarTann。同时理解a，产生的原因(2)使用加速度公式(2)使用加速度公式a律T戸灵活应用解题。讨论题下列情况时，质点各作什么运动：at等于0,an等于0,质点做什么运动？匀速直线运动a等于0,an不等于0,质点做什么运动？圆周运动

a不等于0,r等于0,质点做什么运动？变速（加速）直线运动at不等于0,an不等于0,质点做什么运动？曲线运动例题1以初速度vo平抛一小球，不计空气阻力，求t时刻小球的切向加速度、法向加速度的大小及此式运动轨道的曲率半径。解：小球运动的加速度是已知的，为重力加速度g,要求t时刻小球的切向加速度和法向加速度，则只需要将重力加速度沿着轨道的切向和法向进行分解。如图9所示，对g进行分解时，需要求出g与vn间的夹角。此夹角可以通过求解t时刻球的速度得到。作平抛运动的小球，其运动可分解为水平方向的匀Vx=V0，在垂直速运动和垂直方向的自由落体运动。在水平方向上小球的速度为方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2速运动和垂直方向的自由落体运动。在水平方向上小球的速度为方向上小球在agsinVy

g—V_gtg22,2Vo gtg2tg2t2angcosgVxVgvo根据（5）式关于法向加速度的定义可得，此时的轨道曲率半径为TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 ^2 32‘ V2 Vx Vy V0 gtR - -an an gv。练习题列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为s=80t-12，（长度：米，时间：秒）.t=0时，列车在点O处.此圆弧形轨道的半径R=1500m.求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。提示：以O点为原点建立自然坐标系，先求出运行至1200m处所需的时间，再由6a式直接求切向加速度；由（3）式求出速率后，由（6b）式求法向加速度。

例题2质点M在水平面内运动轨道如图10所示：OA段为直线，AB和BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设t=0时M在0点，其运动方程为S=30t+5t2(SI),求t=2秒时质点M的切向加速度和法向加速度。质点的瞬时速率v=ds/dt=30+10t解:t=2s时S=质点的瞬时速率v=ds/dt=30+10t(m/s),t=2s时，v=50m/s。于是有q 10m/s2,aq 10m/s2,andt妙83.3m/s230T例题3一质点在xOy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知 ax=2,ay=36t2。设质点t=0时r°=0,v0=O。求：此质点的运动方程；此质点的轨道方程；此质点的切向加速度。解：(1)由加速度求运动学方程，需要进行积分运算。dvxdtaydvydt2dvx2dt,dvy36tdtvx0dvx七2dt， Vydvy 七36t2dt00y0vx2t，Vy 12t3rr3r

v2ti12tjdxvx五，vydy

dtdx2tdt，dy12t3dtx t y0dx 02tdt，0dy】2t3dt0xt2,y3t4所以质点的运动方程为:2 42 4ti