适用于老高考旧教材2023届高考数学二轮总复习文四压轴大题抢分练抢分练3含解析

Page2抢分练3(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2022·辽宁葫芦岛二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,坐标原点O与A点关于直线l:x=-2对称,(1)求椭圆C的标准方程;(2)过A,O两点的圆Q与l交于M,N两点,直线BM,BN分别交椭圆C于异于B的E,F两点.求证:直线EF恒过定点.2.(本题满分12分)(2022·辽宁丹东模拟预测)已知函数f(x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a.(1)若a=1,证明:f(x)<2x-x2;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,求a的取值范围,并证明:x1+x2>2a.

抢分练31.(1)解点O与A关于直线x=-2对称,可知A(-4,0),故点B(4,0),a=4,由题意可设C(-2,n),n>0,于是AC·OC=(2,n)·(-2,n)=n2-4=-1,解得n=3将C(-2,3)代入椭圆方程中,得416+3b2=所以椭圆方程为x216+(2)证明A(-4,0),B(4,0),直线l:x=-2,由题意得,圆心在直线l:x=-2上,设M(-2,yM),N(-2,yN),且OM⊥ON,所以OM·ON=yMyN+4=0,故yMyN则kBM·kBN=yM-2设直线EF:x=my+t(t≠4),E(x1,y1),F(x2,y2),由x216+y24=1,x=my+t,得(则y1+y2=-2mtm2+4,y1x1+x2=m(y1+y2)+2t=8tx1x2=(my1+t)(my2+t)=4t所以kBE=kBM=y1x1-4,kBF则y1x1即13t2-32t-80=0,解得t=4(舍去)或t=-2013所以直线EF为x=my-2013,恒过定点-2.(1)证明当a=1时,f(x)=2lnx-x2+1,定义域为(0,+∞),令g(x)=f(x)-(2x-x2)=2lnx-2x+1,则g'(x)=2x-2,当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=-1<0,所以g(x)<0,得f(x)<2x-x2.(2)解因为f(x)有两个不同的零点x1,x2,不妨令x1<x2,则f(x)在定义域内不是单调函数.由f'(x)=2ax-2x+2(a-1)=当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;当a>0时,在(0,a)上有f'(x)>0,在(a,+∞)上有f'(x)<0,所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.则0<x1<a<x2,令F(x)=f(x)-f(2a-x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a-2aln(2a-x)+(2a-x)2-2(a-1)(2a-x)-a=2alnx-2aln(2a-x)-4x+4a.则F'(x)=4(当x∈(0,a)时,F'(x)>0,则F(x)在(0,a)上单调递增,所以F(x)<F(a)=f(a)-f(2a-a)=0,故f(x)<f(2a-x),因为0<x1<a<x2,所以f(x1)<f(2a-x1)