适用于老高考旧教材2023届高考数学二轮总复习文考点突破练21坐标系与参数方程选修4-4含解析

Page6考点突破练21坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·文22)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2θ,y=4sin2θ((1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=4cosθ,y=3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsin(1)求C的普通方程与直线l的直角坐标方程.(2)若P为C上任意一点,A为l上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=t2,y=2t(t为参数),以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为2cos(1)求曲线C的普通方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求以AB为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sinθ(0≤θ<2π,ρ≥0),M为该曲线上一动点.(1)当|OM|=12时,求M(2)若射线OM逆时针旋转π2后与该曲线交于点N,求△OMN面积的最大值5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+2t,y=1-2t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R)与直线l交于点M,直线θ=π6(ρ∈R)与曲线C交于点A,B,且AM⊥BM,求实数a6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2sinα,y=2cosα+1(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的直角坐标方程为x+(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R)与曲线C交于A,B两点,与直线l交于点M,求|MA|·|MB|的值7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=1+cosα,y=sinα(α为参数).已知M是曲线C1上的动点,将OM绕点O逆时针旋转90°得到ON,设点N的轨迹为曲线C(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)设点Q(1,0),若射线l:θ=π3与曲线C1,C2分别相交于异于极点O的A,B两点,求△ABQ的面积8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为x=-2+35t,y=2+45t(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsin(1)求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l和曲线C交于A,B两点,求点P到线段AB的中点M的距离.

考点突破练21坐标系与参数方程(选修4—4)1.解(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos2.解(1)因为曲线C的参数方程为x=4cosθ,y=3sinθ(θ为参数),所以C的普通方程为x216+y29=1.又因为直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsin(2)设P(4cosθ,3sinθ),|PA|的最小值即点P到直线l的距离的最小值,由|3sinθ+4cosθ-12|2=|5sin(θ+φ)-12|2≥722,其中sinφ=45,cosφ=33.解(1)由x=t2,y=2t(t为参数),得x=t2,y2=t(t为参数),消去参数t(2)由2cosα-sinα=4ρ,得直线l的直角坐标方程为2x-y=联立y2=4x,2x-所以AB的中点坐标为52,1,|AB|=45=35,故以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x-52)2+(y-即x2+y2-5x-2y-4=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得极坐标方程为ρ2-5ρcosθ4.解(1)令ρ=12,可得sinθ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M的直角坐标为(2)△OMN的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sinθ)1-sinθ+π2=12(1-sinθ)(1-cosθ)=12[1-(sinθ+cosθ)+sinθcosθ],令t=sinθ+cosθ=2sinθ+π4∈[-2,S=121-t+t2-12=14(当t=-2时,S取得最大值3+225.解(1)由x=1+2t,y=1-2t(t为参数)得x+y=2,∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2.由ρ2∴ρ2(cos2θ-sin2θ)=a,ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=a,∴x2-y2=a,∴曲线C的直角坐标方程为x2-y2=a.(2)直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2,将θ=π4代入直线l的极坐标方程得ρ=2,∴点M的极坐标为2,π将θ=π6代入曲线C的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=2a,ρ2=-2a,∴|AB|=|ρ1-ρ∵AM⊥BM,且O为线段AB的中点,∴|OM|=12|AB|=2a,即2a=6.解(1)由x=2sinα,y-1=2cosα(α为参数),得曲线C的普通方程为x2+(y-1)2=4.由x+3y-23=0,得直线l的极坐标方程为ρcosθ+3ρsinθ(2)(方法1)曲线C:x2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-3=0,将θ=π6代入曲线C的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3将θ=π6代入直线l的极坐标方程,得ρ=2|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=33x,与直线l:x+3y-23=0的交点为M(直线θ=π6的参数方程为x=3+32t,y=1+12t(t为参数),代入曲线C:x2+(y-1)2=4,得t2+3t-7.解(1)C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,则x2+y2-2x=0,由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,得ρ2=2ρcosθ,故C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.设N(ρ,θ),则Mρ,θ-π2,将Mρ,θ-π2代入ρ=2cosθ,得ρ=2cosθ-π2=2sinθ,即C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)将θ=π3分别代入曲线C1,C2的极坐标方程,得|OA|=ρA=2cosπ3=1,|OB|=ρB=2sin所以|AB|=||OB|-|OA||=3-1.又Q到射线l的距离d=|OQ|sinπ3故△ABQ的面积为S=12×(3-1)×38.解(1)点P的极坐标为22,3π4,由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得点P的直角坐标为(-2,2),曲线C:ρ2cos2θ+4ρsinθ-3=0,即ρ2cos2θ-ρ2于是得曲线C的直角坐标