基于龙格-库塔法的楔形覆冰导线机动分析

基于龙格-库塔法的楔形覆冰导线机动分析

电力导线的振动是一种低频、高振幅自激振动，在风激励下产生。振动频率一般为0.1.3.06hz，振幅为导线直径的五倍。根据大量的试验和观测结果可知,输电导线的覆冰形状以扇形和新月形为主,强风条件下更易形成扇形的覆冰形状。对扇形覆冰导线的舞动已有研究较少,多数对新月形覆冰导线进行舞动分析,但扇形覆冰与新月形覆冰导线的气动力特性不同,因而两者的舞动特性不同,故有必要对扇形覆冰导线进行数值模拟分析。覆冰导线的舞动模型主要分为单自由度模型、二自由度模型、三自由度模型三种。单自由度模型因其形式简单,常用于导线舞动的定性分析,但却忽略了扭转和横向摆动对导线舞动的影响,且垂直和扭转方向上的运动在导线舞动中占主要作用,为更好地分析导线发生舞动时的情况,需建立考虑垂直和扭转两个方向上的振子模型,而偏心覆冰条件下的输电导线舞动在实际中会发生三个方向上的振动,即横向摆动、垂向振动及轴向扭转运动。故本文以扇形覆冰导线为基础,在考虑三个方向上自由度的基础上建立扇形覆冰导线的三自由度舞动方程,应用无量纲方程表达方式建立扇形覆冰导线的三自由度舞动数学模型,探究其舞动机理及舞动特性,为扇形覆冰导线舞动的研究提供参考。1磁线跟踪的数学模型1.1从空气动力扭矩到气动升力输电导线沿轴向的扭转对引起舞动起重要作用,为更加准确地模拟扇形覆冰导线的受力状态,考虑覆冰导线的初始扭转角α0,其扭转振动模型见图1。图1中,kt为导线单位长度上的扭转刚度;d为导线直径。因而得到作用于导线单位长度上振动的空气动力扭矩为:FΜ=12ρU2d2CΜFM=12ρU2d2CM(1)式中,ρ为空气密度;U为与导线长度方向垂直的均匀风速;CM为空气动力扭转系数,由风洞试验确定。输电导线的横截面被覆冰所覆盖,从而形成了不规则的类似椭圆形的横截面,当风吹向导线时就会产生沿相对风速Ur方向的阻力FD,同时产生与Ur方向垂直的升力FL:FD=12ρdU2rCDFD=12ρdU2rCD(2)FL=12ρdU2rCLFL=12ρdU2rCL(3)式中,FD、FL分别为导线单位长度上的气动阻力、气动升力;CD、CL分别为阻力系数和升力系数,由风洞试验结果确定,且与风攻角θ有关。1.2空气动力与攻角的线性拟合导线截面的风攻角是指导线所受相对风速的方向与导线初始角度之差。扇形覆冰导线所受的风攻角示意图见图2。当导线由于风速的影响而引发向下的运动及顺时针扭转振动时,导线风攻角为:θ=α0+α-arctanR˙αsinγU+R˙αcosγθ=α0+α−arctanRα˙sinγU+Rα˙cosγ(4)式中,α0为导线的初始扭转角;α为导线的振动扭转角;R为输电导线的半径;˙αα˙为振动速度;R˙αα˙为输电导线振动的线速度;γ为线速度与风速方向的夹角。由模拟覆冰输电导线冰型的风洞试验得到气动力升力系数、阻力系数及力矩系数后,即可求出给定的风速条件下空气气动力系数与相应输电导线风攻角的变化曲线。由动力参数的数值仿真结果,根据最小二乘法应用Matlab软件对气动力系数进行曲线拟合得到:{CL=-0.0003θ2+0.0228θ-0.4074CD=0.0003θ2-0.0521θ+2.8203CΜ=0.0002θ2-0.0056θ-0.0014⎧⎩⎨⎪⎪CL=−0.0003θ2+0.0228θ−0.4074CD=0.0003θ2−0.0521θ+2.8203CM=0.0002θ2−0.0056θ−0.0014(5)将式(5)代入式(1)～(3)即可得到空气动力与攻角之间的表达式。当输电导线的振动速度为˙yy˙,攻角为θ时,在垂直方向上升力FL和阻力FD的分量的总和即为作用在垂直方向上的气动力:Fy=12ρU2dCy=12ρU2d(∂CL∂θ+CD)Fy=12ρU2dCy=12ρU2d(∂CL∂θ+CD)(6)当输电导线的振动速度为˙xx˙时,在水平方向上所产生的空气动力总和为:Fx=12ρU2dCx=12ρU2d(CLsinθ+CDcosθ)(7)Fx=12ρU2dCx=12ρU2d(CLsinθ+CDcosθ)(7)1.3覆冰导线动力学模型风激励作用下的扇形覆冰输电导线,导线截面的旋转中心与质量中心不重合,此时覆冰输电导线会产生水平及垂直两方向振动和轴向扭转方向上的振动,由此建立三自由度扇形覆冰导线的动力学模型见图3。图中,α1=α0+α-θ。2扇形冰轴的旋转三度动力学方程2.1作为张紧弦导电线路针对扇形覆冰输电导线舞动的特点,假设:①将输电导线的两端作为视为定支点,不考虑相邻档距之间的影响;②将输电导线视为张紧弦,假设导线的张力在沿档距方向上保持不变;③覆冰输电导线上的冰风效应在沿档距方向上保持不变;④导线中心与空气粘滞阻尼中心及相应的气动力中心重合;⑤将输电导线的舞动波形视为驻波。2.2扇形覆冰导线相互影响的振动方程考虑输电导线自重及其覆冰重量,假设覆冰内边缘圆心角140°,外边缘圆心角120°。在垂直和水平方向产生的惯性力及在扭转方向上产生的惯性力矩分别为:Fy=(m+mi)⋅⋅y+miricos(α+α0)Fy=(m+mi)y⋅⋅+miricos(α+α0)(8)Fx=(m+mi)⋅⋅x+mirisin(α+α0)⋅⋅θFx=(m+mi)x⋅⋅+mirisin(α+α0)θ⋅⋅(9)Μθ=Ι⋅⋅θ+miricos(α+α0)⋅⋅y+mirisin(α+α0)⋅⋅x(10)式中,m为单位长度导线质量;mi为单位长度导线的覆冰质量;I为单位长度覆冰导线质量极惯性矩;ri为单位长度导线的的覆冰厚度;⋅⋅y、⋅⋅x分别为竖直和水平方向的加速度;⋅⋅θ为轴向扭转的加速度。在风雪冻雨环境下,覆冰输电导线除受导线自身的重力影响外,还受冰荷载及风荷载的作用,此时各档导线在不均匀覆冰条件下就会产生不平衡张力。依据覆冰输电导线不平衡张力计算公式及振子模型的三自由度基本动力学方程,考虑覆冰质量及输电导线自身的质量,根据牛顿定律和达朗伯原理,分别建立y、x方向的平衡方程∑FY=0、∑FX=0;建立绕导线截面圆心的力矩平衡方程∑Mθ=0,最终得到扇形覆冰导线三自由度舞动方程如下:(m+mi)⋅⋅y+ξy˙y+12ρU2d(∂CL∂θ+CD)˙y+Τ(kπL)2y=(m+mi)g-Sy⋅⋅θ+12ρU2d∂Cy∂θθ-12ρU2dCy˙xU(11)(m+mi)⋅⋅x+ξx˙x+12ρU2dCD1U˙x+Τ(kπL)2x=-mirisin(α0+α)⋅⋅θ+12ρU2d∂CD∂θθ-12ρU2dCx˙yU(12)J⋅⋅θ+ξt˙θ+12ρU2d2∂CΜ∂θrU˙θ+GJ(kπL)2θ-12ρU2d2∂CΜ∂θθ=FΜ-St⋅⋅y-mirisin(α0+α)⋅⋅x+mirsin(α0+α)θ-12ρU2d2CΜ˙xU(13)式中,ξy、ξx、ξt分别为垂直、水平、扭转方向的阻尼比;Sy⋅⋅θ为由于扭转振动在竖直方向产生的惯性力;J为质量极惯性矩;St⋅⋅y为由于竖向运动所产生的扭转惯性力矩;Sy⋅⋅θ与St⋅⋅y反映了竖向振动与扭转振动的惯性耦合。该方程组不能用数值解析的方法对舞动方程直接进行求解。对该方程进行无量纲化,应用微分变换法将扇形覆冰输电导线的舞动方程离散化,使原方程成为显式的表达形式,应用Matlab软件求解显式方程,再对初值进行相应的Taylor变换,根据四阶龙格—库塔法就可得到相应的一阶微分方程。令x1=y、x2=˙y、x3=x‚x4=˙x、x5=θ、x6=˙θ‚编写Matlab程序,并调用ode45()函数就可求出扇形覆冰导线舞动方程的数值解,并对生成的扇形覆冰导线舞动曲线进行参数分析。3稳态风激励下风场特征中山口地处江汉平原风口和湖北钟祥至湖南常德雨淞带,冬季常有大风雨雪天气,属于冰冻严寒地带,雨凇加上较大的西北风使中山口易发生大跨越舞动。采用文献中湖北中山口大跨越线路的主要技术参数及舞动数据,基于Matlab平台编制仿真程序,对舞动方程进行数值模拟计算。图4为湖北中山口大跨越实测的覆冰形状。由图4可知,该覆冰形状为扇形,其覆冰厚度为18mm,所产生的扇形覆冰面积为9.96cm2。线路具体参数如下:单位长度导线质量2.755kg/m,覆冰厚度18mm,扭转刚度859.7N·m2/rad,初始状态水平张力92612N,裸导线直径32.76mm,档距1055m。设初始攻角为150°,通过Matlab计算得到单根扇形覆冰导线在稳态风激励下垂直、水平及扭转方向的时间历程曲线,见图5。由图5可看出,由于考虑导线的扭转角,故导线具有一个初始的位移,当风速达到一定值时,导线发生舞动,导线的位移开始时随时间增大而减小,当小到某一个最小值时,会随时间的增大而增大,在80s之后发生了垂直风方向的舞动(图5(b)),并使扭转方向产生强迫振动(图5(c)),顺风方向的舞动幅值较小,并逐步收敛,最后舞动振幅约为0.7m,在120s以后导线的扭转舞动激发导线的横风向舞动(图5(a)),由于扭转自振频率不等于横风向自振频率,在较小风速时极值较大,这与Nigol舞动机理一致。假设当地气象条件风速为10m/s,比较中山口大跨越实测冰型与新月形覆冰导线在稳态风激励下垂直与水平方向的时间历程曲线见图6。由图5、6可看出:①扇形覆冰的横向位移的变化幅度比新月形覆冰大;②扇形覆冰导线的竖向位移随时间的增大呈先变小再变大的往复运动形式,而新月形覆冰的竖向位移则无变小的过程;③扇形覆冰的轴向扭转位移则随时间的增大而逐渐变小,但不会为0,而新月形覆冰导线则先变小后增大。由上述分析可知,①水平振动振幅先减后增,最后趋于稳定;②垂直舞动的振幅比水平舞动的振幅大;③当覆冰输电导线的舞动达到较稳定状态时,水平和垂直方向上的振动波形与驻波相似,且垂直方向的舞动振幅比水平方向的大;④根据文献的舞动观察结果,扇形覆冰导线的数值模拟结果比新月形的模拟结果更为接近实际观测结果,证明了本文针对舞动的机理分析与数值仿真方法是合理的。4动力学模型分析a.由于新月