概率与统计学考试(习题卷2)

试卷科目：概率与统计学考试概率与统计学考试(习题卷2)PAGE"pagenumber"pagenumber/SECTIONPAGES"numberofpages"numberofpages概率与统计学考试第1部分：单项选择题，共56题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。[单选题]1.设随机变量序列X1,…,Xn,…相互独立,则根据辛钦大数定律,当n→∞吋,依概率收敛其数学期望,只要{Xn,n≥1}()。A)有相同的数学期望B)服从同一离散型分布C)服从同一泊松分布D)服从同一连续型分布答案:C解析:ABD三项,由辛钦大数定律可知,随机变量序列{Xn,n≥1}必须是:?独立同分布且数学期望存在?,A项缺少同分布条件,BD两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。[单选题]2.设二维随机变量(X1,X2)的密度函数f1(x1,x2),则随机变量(Y1,Y2)(其中Y1=2X1,Y2=X2/3)的概率密度f2(y1,y2)等于()。A)f1(y1/2,3y2)B)3f1(y1/2,3y2)/2C)f1(2y1,y2/3)D)2f1(2y1,y2/3)/3答案:B解析:设(X1,X2)的分布为F1(x1,x2),(Y1,Y2)的分布为F2(y1,y2),则F2(y1,y2)=P{Y1≤y1,Y2≤y2}=P{2X1≤y1,X2/3≤y2}=P{X1≤y1/2,X2≤3y2}=F1(y1/2,3y2)又因为f(y1,y2)=F′(y1,y2),所以f2(y1,y2)=3f1(y1/2,3y2)/2。[单选题]3.设随机变量X~B(80,0.3),则X的方差D(X)为()。A)56.6B)21C)16.8D)24答案:C解析:已知X~B(80,0.3),这里n=80,p=0.3,q=0.7,因此D(X)=npq=80×0.3×0.7=16.8,因此选C。[单选题]4.设随机事件A,B相互独立,且P(A)=0.2,P(B)=0.6,则A)0.12B)0.32C)0.68D)0.88答案:B解析:根据对偶律,[单选题]5.如果D(X)=5,令Y=4X+3,则D(Y)为A)23B)7C)80D)20答案:C解析:D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(4X+3)=D(4X)=16D(X)=16×5=80,因此选C。[单选题]6.设X1,…,Xn是总体X~N(μ1,σ12)的样本,Y1,…,Yn是总体Y~N(μ2,σ22)的样本,且X与Y相互独立,则当()成立时,有。A)μ1=μ2B)μ1=μ2,σ12=σ22C)μ1=μ2,σ12和σ22已知D)μ1和μ2已知,σ12=σ22答案:B解析:这既不是参数的区间估计,也不是参数的假设检验,而是确定有关统计量的抽样分布。设μ1=μ2,σ12=σ22=σ2成立,则由[单选题]7.掷四次硬币,C表示至少出现一次正面,则P(C)=()。A)1/2B)15/16C)5/16D)1/3答案:B解析:样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中至少一次次正面向上的样本点是{正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是15/16。[单选题]8.假设随机变量分布函数F1(x)和F2(x)以及概率密度函数f3(x)和f4(x),如果a>0,b>0,则不能有结论()。A)aF1(x)+bF2(x)也是分布函数的充要条件是a+b=1B)aF1(x)F2(x)也是分布函数的充要条件是a=1C)af3(x)+bf4(x)也是密度函数的充要条件是a+b=1D)af3(x)f4(x)也是密度函数的充要条件是a=1答案:D解析:D项,令style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">和style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,显然它们是U(-1,0)和U(0,1)的密度函数,而f3(x)f4(x)=0,(-∞<x<+∞),不满足概率密度函数的充要条件。A项,aF1(x)+bF2(x)当a,b均为正时也单调不降:aF1(-∞)+bF2(-∞)=0;aF1(+∞)+bF1(+∞)=a+b=1;aF1(x)+bF2(x)右连续,所以aF1(x)+bF2(x)是分布函数。B项,F1(x)F2(x)为单调不降;F1(-∞)F2(-∞)=0;F1(+∞)F2(+∞)=1;F1(x)F2(x)也是右连续的,F1(x)F2(x)也是分布函数。C项style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]9.已知随机变量X与Y的相关系数大于零,则()。A)D(X+Y)≥DX+DYB)D(X+Y)<DX+DYC)D(X-Y)≥DX+DYD)D(X-Y)<DX+DY答案:D解析:应用公式D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)来确定正确选项,由于X与Y的相关系数,故ρ>0⇔cov(X,Y)>0。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">所以D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)>DX+DY,D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)<DX+DY。[单选题]10.对任意两个互不相容的事件A与B,必有()。A)若Ρ(A)=0,则Ρ(B)=0B)若Ρ(A)=0,则Ρ(B)=1C)若Ρ(A)=1,则Ρ(B)=0D)若Ρ(A)=1,则Ρ(B)=1答案:C解析:由于AB=∅,则A⊂B(_),即P(A)≤P(B(_)),若P(A)=1,则P(B(_))≥P(A)=1,P(B(_))=1,即P(B)=0,C项正确。若P(A)=0,则得P(B)≥0。[单选题]11.设随机变量X的密度函数为,则A=A)1B)0.5C)0.25D)1.5答案:A解析:根据,因此选A。[单选题]12.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如表4-1所示表4-1A)X与Y不相关B)X2与Y2不相关C)X+Y与X-Y不相关D)X2+Y2与X2-Y2不相关答案:A解析:A项,EX=EY=0,EXY=a-a-a+a=0,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0,P=0,即X与Y不相关,进一步分析,X2与Y2的联合概率分布应为表4-2[单选题]13.进行假设检验时,对选取的统计量说法不正确的是()。A)是样本的函数B)不能包含总体分布中的任何参数C)可以包含总体分布中的已知参数D)其值可以由取定的样本值计算出来答案:B解析:统计量的概念规定,它必须是样本的函数,不含未知参数,可含总体分布的已知参数,因此其值也可以由取定的样本值来计算出来。[单选题]14.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x)FY(y),则Z=min(X,Y)的分布函数是()。A)FZ(z)=max(FX(x),FY(y))B)FZ(z)=min(FX(x),FY(y))C)FZ(z)=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]D)FZ(z)FX(x)FY(y)答案:C解析:FZ(z)=P{Z≤z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-(1-P{X≤z})(1-P{Y≤z})=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]。[单选题]15.设随机变量X的概率密度为,则Ρ{X≤2|X≥1}的值为()。A)e-2B)1-e-2C)e-1D)1-e-1答案:D解析:解法一:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]16.设总体X~N与总体X~N相互独立A)F(n1-1,n2-1)B)t(n2-1)C)D)答案:A解析:之比是两个随机变量除以自己自由度之比,自由度分别为n1-1,n2-1,所以构成F(n1-1,n2-1)分布。[单选题]17.对于事件A,B,下列命题正确的是()。A)如果A,B互不相容,则也互不相容B)如果,则C)如果,则D)如果A,B对立,则也对立答案:D解析:A,B互不相容,,而=,A不正确;使用图示法可以推出,B,C均不正确,只有D正确,故选择D。[单选题]18.设随机变量Xi的概率分布为表3-1A)0B)1/4C)1/2D)1答案:A解析:由于P{X1X2=0}=1,从而P{X1≠0,X2≠0}=0,即P{X1=-1,X2=-1}=0;P{X1=-1,X2=1}=0;P{X1=1,X2=-1}=0;P{X1=1,X2=1}=0X1和X2的联合概率分布如下:表3-2style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]19.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,X25是取自总体X的简单随机样本,X(_)为样本均值,若P{|X-μ|<a}=P{|X(_)-μ|<π},则a=()。A)πB)5πC)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">D)25π答案:B解析:由于X~N(μ,σ2),故有style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]20.设二维随机变量的分布律为则=A)0.1B)0.2C)0.3D)0.4答案:D解析:P{X=1}=0.1+0.2+0.1=0.4[单选题]21.设P(B)>0,P(A|B)=1,则必有A)P(A)=P(B)B)AB=ΦC)P(A+B)=P(A)D)P(AB)=P(A)答案:C解析:∵P(A|B)=1∴P(AB)=P(B)∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)∴选C[单选题]22.设随机变量X的概率密度为f(x),则可以作为密度函数的是()。A)f(2x)B)f(2-x)C)f2(x)D)f(x2)答案:B解析:概率密度的充要条件为:①f(x)≥0,②。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">A项,f(2x)不是概率密度,因[单选题]23.设随机变量服从参数为的指数分布,则=A)0B)1C)3D)4答案:C解析:本题考查指数分布的期望以及期望的性质,,因为指数分布的参数为,所以,因此可得,所以.(2015年4月试题)[单选题]24.设随机变量X1,X2,X3,X4均服从分布B(1,1/2),则()。A)X1+X2与X3+X4同分布B)X1-X2与X3-X4同分布C)(X1,X2)与(X3,X4)同分布D)X12,X22,X32,X42同分布答案:D解析:Xi~B(1,1/2),即表3-5style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]25.设事件A,B相互独立,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3则P(B-A)=()。[数一、数三2014研]A)0.1B)0.2C)0.3D)0.4答案:B解析:P(A-B)=0.3=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A),故P(A)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2。[单选题]26.假设检验中,一般情况下A)只犯第一类错误B)只犯第二类错误C)两类错误都可能犯D)两类错误都不犯答案:C解析:假设检验中有两类错误。第一类:拒真,即否定原假设H0,但原假设是对的;第二类:取伪,即接受假设H0,但原假设是错误的。[单选题]27.已知随机变量X与Y相互独立且都服从正态分布N(μ,1/2),若P{X+Y≤1}=1/2,则μ等于()。A)-1B)0C)1/2D)1答案:C解析:显然,需由等式P{X+Y≤1}=1/2确定μ,为此需要知道X+Y的分布。由X与Y独立知X+Y~N(2μ,1),故P{X+Y≤1}=Φ((1-2μ)/1)=Φ(1-2μ)=1/2⇒1-2μ=0,μ=1/2[单选题]28.已知随机变量X的数学期望E(X)=2,方差D(X)=4,则E(X2)等于()。A)6B)7C)8D)9答案:C解析:D(X)=E(X2)-(EX)2,因此E(X2)=D(X)+(EX)2=4+4=8,因此选C。[单选题]29.袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,现从中任取3个球,其恰为一红一白一黑的概率为A)1/4B)1/3C)1/2D)3/4答案:A解析:,故选择A.[单选题]30.设相互独立的两随机变量X和Y,其中X~B(1,1/2)而Y具有概率密度,则P{X+Y≤1/3}的值为()。A)1/6B)1/3C)1/4D)1/2答案:A解析:X~B(1,1/2)X取值只能为X=0或X=1,将X=0和X=1看成完备事件组,用全概率公式得:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]31.在假设检验中,方差未知,检验单个正态总体均值所采用的方法为A)u检验法B)t检验法C)χ2检验法D)F检验法答案:B解析:检验单个正态总体均值可以用u检验和t检验,如果方差已知,就用u检验,如果方差未知,就用t检验,因此选B。[单选题]32.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A)P{拒绝H0|H0为真}B)P{接受H0|H0为真}C)P{接受H0|H0不真}D)P{拒绝H0|H0不真}答案:A解析:本题考察假设检验?两类错误?内容。选择A。[单选题]33.抽样检查产品质量时,如果发现次品多于5个,则拒绝接收这批产品,设该批产品的次品率为8%,问至少应该抽取()产品检查,才能保证拒绝接收该产品的概率达到0.95?A)887B)880C)879D)236答案:B解析:设至少抽取n个产品,X表示其中的次品数,则X~B(n,0.08),由题意和棣莫弗--拉普拉斯中心极限定理,所以至少抽取880个产品检查,才能保证拒绝接收该产品的概率达到0.95。[单选题]34.设随机变量X的密度函数为,则概率P{λ<X<λ+a}(a>0)的值()。A)与a无关随λ的增大而增大B)与a无关随λ的增大而减小C)与λ无关随a的增大而增大D)与λ无关随a的增大而减小答案:C解析:概率P{λ<X<λ+a}(a>0),显然与a有关,且固定λ,随a的增大而增大。事实上,由于style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]35.从一批产品中随机抽两次,每次抽1件。以A表示事件?两次都抽得正品?,B表示事件?至少抽得一件次品?,则下列关系式中正确的是()。A)A=B)A=BC)ABD)BA答案:A解析:本题考查事件关系之一--对立关系。故选择A。[单选题]36.设随机变量X服从参数为2的指数分布,随机变量Y=2X+2,则E(Y)=A)0.5B)1C)2D)3答案:D解析:本题考察指数分布的数字特征及随机变量函数的数字特征。已知~,则,所以,故选择D.[单选题]37.设A,B,C为三个随机事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为()。[数一2020研]A)3/4B)2/3C)1/2D)5/12答案:D解析:只发生A事件的概率:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]38.若A,B为任意两个随机事件,则()。[数一、数三2015研]A)P(AB)≤P(A)P(B)B)P(AB)≥P(A)P(B)C)P(AB)≤(P(A)+P(B))/2D)P(AB)≥(P(A)+P(B))/2答案:C解析:由于AB⊂A,AB⊂B,按概率的基本性质,有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),从而P(AB)≤(P(A)+P(B))/2,故选C项。[单选题]39.对任意正整数m,n,随机变量X都满足P{X>m+n|X>m}=P{X>n},记P{X<1}=p,则下列结论中一定不正确的是()。A)p=0B)p>0C)p<1D)p=1答案:D解析:离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件,若X服从几何分布,则P=P{X<1}=0,若X服从指数分布,则P=P{X<1}=1-e-λ,且0[单选题]40.设随机变量序列相互独立且都服从参数为1的泊松分布,令,则随机变量序列Y1,Y2,…,Yn,…一定()。A)满足切比雪夫大数定律B)不满足切比雪夫大数定律C)满足辛钦大数定律D)不满足辛钦大数定律答案:A解析:Y1,Y2,…,Yn,…相互独立,其期望、方差都存在且EYi=1,DYi=1/mi≤1,符合切比雪夫大数定律成立的三个条件,即①Y1,Y2,…,Yn,…相互独立;②期望、方差都存在;③对任何i=1,2,…,方差DYi都小于一个共同常数,因此Y1,Y2,…,Yn,…满足切比雪夫大数定律。由于m1,m2,…不一定完全相同,因此不能确定Y1,Y2,…,Ym是否同分布,(要求m1=m2=…=mn=…,此时Y1,Y2,…,Yn,…同分布;m1,m2,…不全相同,Y1,Y2,…,Yn,…不同分布),故不能确定其是否一定满足辛钦大数定律。[单选题]41.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0;1,4;-1/2),下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是()[数三2020研]A)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">B)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">C)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">D)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">答案:C解析:由二维正态的性质知X+Y~N(μ,σ2),因style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">μ=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0[单选题]42.设A,B为随机事件,0<P(A)<1,0A)P(A|B)+P(A(_)|B)=1B)P(A|B)+P(A|B(_))=1C)P(A|B)+P(A(_)|B(_))=1D)P(A|B(_))+P(A(_)|B)=1答案:C解析:AD两项,由于?条件概率是概率,它具有概率的一切性质?,因此选项AD对任意事件A,B都成立,由它不能断言A,B相互独立。B项,如果A与B相互独立,则P(A|B)+P(A|B(_))=P(A),因此P(A|B)=P(A|B(_))=P(A)+P(A)=2P(A)≠1,所以B不成立。C项,由于0<P(A)<1,0[单选题]43.设随机变量X的分布函数为F(X),其密度函数为其中A为常数,则F(1/2)的值为()。A)1/2B)1/3C)1/4D)1/5答案:A解析:解法一:先确定style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]44.设随机变量X~N(0,1),其分布函数为Φ(x),则随机变量Y=min{X,0}的分布函数F(y)为()。A)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">B)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">C)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">D)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">答案:B解析:F(y)=P{Y≤y}=P{min(x,0)≤y}=1-P{min(X,0)>y}=1-P{X>y,0>y}。当y<0时,P{X>y,0>y}=P{X>y},F(y)=1-P{X>y}=P{X≤y}=Φ(y);当y≥0时,P{X>y,0>y}=0,F(y)=1。[单选题]45.设f1(x)是标准正态分布的概率密度函数,f2(x)是[-1,3]上均匀分布的概率密度,且为概率密度,则a,b应满足()。A)2a+3b=4B)3a+2b=44C)a+b=1D)a+b=2答案:A解析:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[单选题]46.一批产品中有5%不合格品,而合格品中一等品占60%,从这批产品中任取一件,则该件产品是一等品的概率为A)0.20B)0.30C)0.38D)0.57答案:D解析:本题考察概率的乘法公式.设A:?产品为合格品?,B:?产品为一等品?,则所求概率为故选择D.[单选题]47.对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:=0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是A)不接受,也不拒绝H0B)可能接受H0,也可能拒绝H0C)必拒绝H0D)必接受H0答案:D解析:[单选题]48.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,-1;1,4;0),则下列结论中不正确的是()。A)X与Y相互独立B)aX+bY服从正态分布C)P{X-Y<1}=1/2D)P{X+Y<1}=1/2答案:D解析:由题设可知,ρxy=0⇒X与Y独立(因为(X,Y)服从二维正态分布)。由二维正态分布的性质可知,aX+bY仍服从正态分布,且E(X-Y)=1,E(X+Y)=-1,再根据正态分布的图形可知其数学期望左右两侧取值的概率为1/2,可见D项不正确。[单选题]49.若X~N(μ,σ2),则Y=3X+2服从A)N(μ,σ2)B)N(3μ,3σ2)C)N(3μ+2,3σ2+1)D)N(3μ+2,9σ2)答案:D解析:对于X~N(μ,σ2)有性质Y=aX+b~N(aμ+b,a2σ2)∴Y=3X+2~N(3μ+2,9σ2)[单选题]50.将一枚硬币连掷100次,计算出现正面次数大于60的概率。A)0.0356B)0.0228C)0.0576D)0.0387答案:B解析:[单选题]51.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A)1/2B)1/4C)3/16D)1/3答案:B解析:样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。[单选题]52.设总体X的分布为表7-1A)1-X(_)B)(1-X(_))/5C)1/5-X(_)D)1-X(_)/5答案:B解析:由已知得一阶矩估计为A1=X(_),令期望值等于一阶矩估计值,即EX=(-1)(2θ)+0θ+1(1-3θ)=1-5θ=X(_),解得θ(∧)=(1-X(_))/5。[单选题]53.如果E(X)=8,令Y=3X+2,则E(Y)为()。A)25B)10C)26D)18答案:C解析:E(C)=C,E(CX)=CE(X),因此E(Y)=E(3X+2)=E(3X)+E(2)=3E(X)+2=3×8+2=26,因此选C。[单选题]54.已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2·e-|x|,-∞<x<+∞,则D(X2)的值为()。A)20B)22C)24D)28答案:A解析:D(X2)=E(X4)-(EX2)2,[单选题]55.设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,则是A)样本矩B)二阶原点矩C)二阶中心矩D)统计量答案:D解析:统计量是样本的函数,不能含有未知参数。[单选题]56.设总体X与Y都服从正态分布N(0,σ2),已知X1,…,Xm与Y1,…,Yn是分别来自总体X与Y两个相互独立的简单随机样本,统计量服从t(n)分布,则m/n等于()。A)1B)1/2C)1/3D)1/4答案:D解析:第2部分：问答题，共44题，请在空白处填写正确答案。[问答题]57.将一枚硬币重复掷五次,则正、反面都至少出现二次的概率为______。答案:5/8解析:如果记A=?正、反面都至少出现二次?,X为将硬币掷五次正面出现的次数,则X~B(5,1/2),而Y=5-X为5次投掷中反面出现的次数,那么,事件A={2≤X≤5,2≤Y≤5}={2≤X≤5,2≤5-X≤5}={2≤X≤5,0≤X≤3}={X=2}∪{X=3},所以P(A)=P{X=2}+P{X=3}=C52(1/2)5+C53(1/2)5=5/8。[问答题]58.袋中有8个球,其中3个白球5个黑球,现随意从中取出4个球,如果4个球中有2个白球2个黑球,试验停止,否则将4个球放回袋中,更新抽取4个球,直到出现2个白球2个黑球为止,用X表示抽取次数,则P{X=k}=______(k=1,2,…)。答案:(4/7)k-1(3/7)解析:若记Ai=?第i次取出4个球为2白2黑?,由于是有放回取球,因而Ai相互独立,根据超几何分布知P(Ai)=C32C52/C84=3/7,所以[问答题]59.槲寄生是一种寄生在大树上部树枝上的寄生植物,它喜欢寄生在年轻的大树上,下面给出在一定条件下完成的试验中采集的数据:表9-28答案:1)散点图如图9-41)所示。2)令zi=lnyi,得数据如下表:表9-29style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]60.设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5Φ(x)+0.5Φ[(x-4)/2],其中Φ(x)为标准正态分布函数,则EX=______。[数一2017研]答案:2解析:X的密度为f(x)=0.5φ(x)+0.25φ[(x-4)/2],则style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]61.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=1/2k(k=1,2…),Y表示X除以3的余数,则EY=______。[数三2020研]答案:8/7解析:Y的全部可能取值为0,1,2。当X=3k-2(k=1,2…)时,Y=1;X=3k-1(k=1,2…)时,Y=2;当X=3k(k=1,2…)时,Y=0。故style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]62.设马氏链的一步转移概率矩阵为答案:这一马氏链的一步转移概率矩阵可写成对角块矩阵:解析:[问答题]63.设随机变量X的概率密度为f(x)=a/(ex+e-x)(-∞<x<+∞),对X作两次独立观察,设两次的观察值为X1,X2,令(i=1,2)。(Ⅰ)求常数a及P{X1<0,X2>0};(Ⅱ)求{Y1,Y2}的联合分布。答案:(Ⅰ)由style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">可得style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]64.设(X,Y)的联合密度函数为,证明X、Y是相互独立的。答案:由题意知,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]65.设X(t)为平稳过程,其自相关函数RX(τ)具有周期T0,故RX(0)=RX(τ),【答案】X(t)是周期为T0的平稳过程。答案:记Y(t)=X(t+T0)-X(t),由于X(t)是平稳过程,故Y(t)也是平稳过程,且E[Y(t)]=E[X(t+T0)]-E[X(t)]=μX-μX=0D[Y(t)]=E[Y2(t)]=2[RX(0)-RX(T0)]又按题设RX(τ)具有周期T0,故RX(0)=RX(T0),即有D[Y(t)]=0,则对于任意t,有P{Y(t)=0}=1,或P{X(t+T0)=X(t)}=1。即在概率1的意义下,X(t)是以T0为周期的平稳过程。解析:[问答题]66.设总体X的概率密度为答案:因为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">f(x;α,β)=1style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">αdx+style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">βdx=α+β=1所以解析:[问答题]67.总体X的分布律为表7-4答案:(Ⅰ)由于E(X)=θ2+22θ(1-θ)+3(1-θ)2=3-2θ,则令3-2θ=X(_)得θ(∧)=(3-X(_))/2为θ的矩估计量。(Ⅱ)总体X的分布律可以表示为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,k=1,2,3。似然函数为style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]68.设随机变量X的概率密度函数为,求Y=sinX的概率密度函数。答案:由题意知,X的取值范围为(0,π),Y的可能取值范围为(0,1),则当y≤0时,FY(y)=P{Y≤y}=0.fY(y)=F′Y(y)=0;当y≥1时,FY(y)=P{Y≤y}=1.fY(y)=F′Y(y)=0;当0<y<1时,一个y值对应两个x值,如图2-4所示。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]69.已知平稳过程X(t)的谱密度为答案:由公式得解析:[问答题]70.从数1,2,…,N中任取一数,记为X1;再从1,2,…,X1中任取一数,记为X2;如此继续,从1,2,…,Xn-1中任取一数,记为Xn,说明{Xn,n≥1}构成一齐次马氏链,并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵。答案:随机序列{Xn,n≥1}的状态空间I={1,2,…,N},Xn在1,2,…,Xn-1中均匀取值,对于任意整数1≤a1≤a2≤…≤an-1≤an≤N,有解析:[问答题]71.某商品一周的需求量X是随机变量,已知X的概率密度为,假设各周的需求量相互独立,以U;表示k周的总需求量,试求:(Ⅰ)U2和U3的概率密度fK(x)(k=2,3);(Ⅱ)接连三周中的周最大需求量的概率密度f3)(x)。答案:以Xi(i=1,2,3)表示第i周的需求量,则Xi的概率密度均为f(x),而U2=X1+X2,U3=U2+X3,连续三周中的周最大需求量为X3)=max{X1,X2,X3}。(Ⅰ)当x≤0时,f2(x)=f3(x)=0;对于x>0,由卷积公式得,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]72.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布,且X落入区间(1,2)内的概率达到最大,则λ=______。答案:ln2解析:已知style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,λ应使概率P{1<X<2}达到最大,由于style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,令g′(λ)=e-λ(2e-λ-1)=0,解得λ0=ln2。又style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,故g(λ)在λ0=ln2处取最大值,所以λ=ln2。[问答题]73.设随机过程X(t)≡X(随机变量),E(X)=a,D(X)=σ2(σ>0),试求X(t)的均值函数和协方差函数。答案:由均值和协方差函数定义知μX(t)=E[X(t)]=E(X)=aCX(t1,t2)=E{[X(t1)-μX(t1)][X(t2)-μX(t2)]}=E[(X-a)2]=D(X)=σ2解析:[问答题]74.在长为l的线段上任意取两个点,将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概率。答案:将线段分为三段x、y、l-(x+y),0<x即可看作点(x,y)落在直角三角形AOB中,基本事件可用该三角形面积SΔAOB=l2/2来表示,如图1-3所示。style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]75.设随机变量,且与相互独立,则A)答案:B解析:本题考察分布的概念:设~,=1,2,…,,则~。[问答题]76.设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=p,P{Y=1}=1-p,(0<p<1),令Z=XY。(Ⅰ)求Z的概率密度;(Ⅱ)p为何值时,X与Z不相关;(Ⅲ)X与Z是否相互独立?[数一2019研]答案:(Ⅰ)Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{Y=-1,XY≤z}+P{Y=1,XY≤z}=P{Y=-1,-X≤z}+P{Y=1,X≤z}又因为X与Y相互独立,所以FZ(z)=P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z}=p[1-FX(-z)]+(1-p)FX(z)因此style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]77.设X、Y相互独立且同服从分布B(n,p),设Z=X+Y,证明Z~B(2n,p)。答案:由题意知,P{X=i}=Cnipiqn-i(q=1-p,i=0,1,2,…,n),P{Y=j}=Cnjpjqn-j(q=1-p,j=0,1,2,…,n),Z=X+Y的取值为0,1,2,…,2n,对任意0≤k≤n,有解析:[问答题]78.设平稳过程X(t)的自相关函数为RX(τ),【答案】答案:命题似与切比雪夫不等式相关联。因X(t)是平稳过程,故有E[X(t)]=μX(常数),RX(τ)=E[X(t)X(t+τ)],RX(0)=E[X2(t)]=E[X2(t+τ)]记Y(t)=X(t+τ)-X(t),即有E[Y(t)]=E[X(t+τ)]-E[X(t)]=μX-μX=0解析:[问答题]79.设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)=______。[数一、数三2013研]答案:2e2解析:由X~N(0,1)及随机变量函数的期望公式知style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]80.设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r且p,q∈(0,1),记,。(Ⅰ)求X和Y的相关系数;(Ⅱ)证明|r-pq|≤1/4;(Ⅲ)证明X和Y独立的充要条件为A与B独立。答案:(Ⅰ)由题意可知,(X,Y)的概率分布如下:解析:[问答题]81.设X(t)与Y(t)是相互独立的平稳过程,试证以下随机过程也是平稳过程:1)Z1(t)=X(t)Y(t);2)Z2(t)=X(t)+Y(t)。答案:1)因X(t),Y(t)都是平稳过程,所以对于任意t,t+τ∈T,有E[X(t)]=μX(常数),E[Y(t)]=μY(常数)E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)E[Y(t)Y(t+τ)]=RY(τ)又因X(t),Y(t)相互独立,从而E[Z1(t)]=E[X(t)]E[Y(t)]=μXμY解析:[问答题]82.设二维随机变量(x,y)的概率密度为,求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)。答案:由题设可知style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]83.已知随机变量X1,X2,X3相互独立且都服从正态分布N(0,σ2),如果随机变量Y=X1X2X3的方差DY=1/8,则σ2=______。答案:1/2解析:由于X1,X2,X3相互独立,所以X12,X22,X32相互独立,又EXi=0,style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,故DY=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2-E2X1X2X3=EX12X22X32-[EX1EX2EX3]2=EX12X22X32=(σ2)3=1/8,σ2=1/2。[问答题]84.已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为______。答案:0.9解析:由题设P(AB(_)∪A(_)B)=0.3,又AB(_)与A(_)B互斥,所以P(AB(_)∪A(_)B)=P(AB(_))+P(A(_)B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.3又P(A)+P(B)=0.5,于是P(AB)=0.1,那么所求的概率为:P=1-P(AB)=1-0.1=0.9。[问答题]85.设随机变量X在[-1,b]上服从均匀分布,若由切比雪夫不等式有P{|X-1|<ε}≥2/3,则b=______;ε=______。答案:1;1解析:由题设知EX=(b+1)/2,DX=(b+1)2/12,依题意style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">[问答题]86.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是______。答案:2/5解析:利用?抽签原理?计算准确快速,抽签与先后次序无关,则第二个人取得黄球的概率与第一个人取得黄球的概率是相同的,都是20/50,即2/5。[问答题]87.设随机变量X和y的联合分布为表4-6答案:-0.1解析:表4-7[问答题]88.设平稳过程X(t)的谱密度为SX(ω),【答案】Y(t)=X(t)+X(t-T)的谱密度是SY(ω)=2SX(ω)(1+cosωT)。答案:Y(t)的自相关函数为解析:[问答题]89.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且有相同的方差σ2(≠0),记,则D(X1-X(_))=______;X1与X(_)的相关系数ρ=______。答案:(n-1)σ2/n;解析:由于X1,…,Xn相互独立,且DXi=σ2,故[问答题]90.设总体X的概率密度为答案:本题中有唯一参数θ,在求矩估计时,只要令样本均值style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">等于总体的期望E(X)就可以求得了;而判断4X(_)2是否为θ2的无偏估计量,只要判断E(4X(_)2)=θ2是否成立即可。(Ⅰ)style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,样本均值style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">,即令E(X)=X(_)得到X(_)=1/4+θ/2,解得θ=2X(_)-1/2,因此参数θ的矩估计量为θ=2X(_)-1/2style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。(Ⅱ)只需验证E(4X(_)2)是否为θ2即可,而由数学期望和方差的性质,有style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]91.设总体x的概率分布为表7-3答案:style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">。由题设可知,N1~B(n,1-θ),N2~B(n,θ-θ2),N3~B(n,θ2),故EN1=n(1-θ),EN2=n(θ-θ2),EN3=nθ2,于是要使style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">为θ的无偏估计量,必有style="width:auto;"class="fr-ficfr-filfr-dib">解析:[问答题]92.设任意相继的两天中,雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,任一天晴或雨是互为逆事件;以0表示晴天状态,以1表示雨天状态,Xn表示第n天的状态(0或1).试写出马氏链{Xn,n≥1}的一步转移概率矩阵.又若已知5月1日为晴天,问5月3日为晴天,5月5日为雨天的概率各等于多少?答案:以0表示晴天,1表示雨天,已知p01=1/2,p10=1/3,且已知任一天是晴或雨是互逆事件,故p00=1/2,p11=2/3,于是,若以Xn表示第n天的状态,则{Xn,n≥1}的一步转移概率矩阵为解析:[问答题]93.设已知总体X是离散型随机变量,x的可能取值为0,1,2,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,如果P(X=2)=(1-θ)2,EX=2(1-θ),(0<θ<1/2)。(Ⅰ)求X的概率分布;(Ⅱ)求θ的矩估计量,并讨论其无偏性。答案:(Ⅰ)由题意知,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2(1-θ)=2(1-θ),可得P(X=1)=2θ(1-θ),P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=θ2,所以X的概率分布如下:表7