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5.5定积分在几何中的应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长一、定积分的微元法

定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用。首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.本章第一节，在将具体问题中所求的量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：时，总是把所求量看作是与变量的变化区间

相联系的整体量。当把区间划分为若干小区间时，整体量就相应地分为若干部分量，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间具有可加性.划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式，由可加性，总量的近似值可以表达成和式（由于点任意选取时，和式极限有确定的值，常取为区间的左端点），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量可用定积分来表达.一般地，如果某一实际问题中所求量满足以下条件：

是与变量的变化区间有关的量，且对于该区间具有可加性，所求量就可用定积分来计算.具体步骤如下：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间（2）在区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求量的微元（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.这里通常称为所求量的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.二、平面图形的面积１．直角坐标情形1）在上，由连续曲线、

及两条直线、所围成的封闭图形的面积（图5-7）图5-7二、平面图形的面积１．直角坐标情形1）在上，由连续曲线、

及两条直线、所围成的封闭图形的面积（图5-7）图5-7

例４求由两条曲线与所围成的封闭图形的面积（图5-8）.

解∵两条曲线的交点坐标是∴图5-82）在上（图5-9），由连续区线、及两条直线、所围成的封闭图形的面积图5-8例５求由曲线与直线所围成的封闭图形的面积（如图5-10）.解∵曲线与直线的交点坐标是所求的面积图5-103)如果曲边梯形的曲边方程由参数方程给出，且当变量从变到时，参数相应地从变到，作代换，所求曲边梯形的面积为２．极坐标情形１）曲边扇形：由二极径、及曲线所围成的封闭图形（图5-11）.图5-11

２）求曲边扇形的面积：假定，且在上连续，求曲边扇形的面积.取极角为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，该区间上的小曲边扇形的面积可以用中心角为，半径为

的圆扇形面积作为它的近似值，从而所求曲边扇形面积的面积微元为因此，所求

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