中主应力对真三轴应力下内摩擦角的影响

中主应力对真三轴应力下内摩擦角的影响

1考虑中主应力影响的准则平面畸变和三个方向上的不平等电压状态是工程实践中最常见的情况之一。与传统的三轴试验不同，它们与主压力的相对大小关系有关。大量的真三轴试验已验证岩土材料强度和中主应力密切相关。中主应力对材料强度的影响,也受到越来越多的重视,方开泽等[3~16]对此进行了研究。岩土工程中最常用的是Mohr-Coulomb准则(简称M-C准则)和Drucker-Prager准则(简称D-P准则),前者因没有考虑中主应力的影响,计算结果偏于保守,而后者视中主应力与最小主应力对强度的影响一样,计算结果而又偏于危险。为了更加真实反映岩土类材料的中主应力效应,方开泽根据形变能原理建立了考虑中主应力的方开泽破坏准则(简称FKZ准则);俞茂宏在分析单剪和三剪准则的基础上,提出了两参数双剪统一强度理论(简称TSUST),其表达式为分段线性函数,可定量反映中主应力的影响,并形成一套完整的理论体系;H.Matsuoka和T.Nakai根据砂土复杂应力状态的试验结果,提出Matsuoka-Nakai准则(简称M-N准则);P.V.Lade和J.M.Duncan在砂土复杂应力状态试验的基础上,提出Lade-Duncan准则,后人不断修正其参数,最终形成可扩展至黏性土的修正Lade-Duncan准则(简称修正L-D准则)。M-N准则和修正L-D准则的表达式类似,G.Mortara在二者的基础上,提出了一种新的考虑中主应力的通用准则。在破坏准则表达式中考虑中主应力σ2,即可反映中主应力对材料强度的影响,但如何把中主应力对材料强度的提高作用量化,以及考虑中主应力影响的各破坏准则的普遍适用性如何,哪些更符合实际情况,对于这方面的资料鲜见报道。评价破坏准则的适用性有多种方法,最常用的是π平面极限线与试验数据的比较,但该方法难以准确反映中主应力影响的区间性。本文针对概化后的理想岩土材料,认为其满足均质、连续和各向同性,从真三轴应力下内摩擦角ϕb出发,探讨中主应力的影响规律,即探讨考虑中主应力的各破坏准则的适用性。针对岩土工程中常用的考虑中主应力效应的D-P准则、TSUST,M-N准则、FKZ准则和修正L-D准则,分别建立了各准则内摩擦角ϕb与中主应力系数b之间的关系。经与砾石料、密砂和黄土等3种材料的真三轴试验结果进行比较,并采用标准差的量化方法,探讨各准则对中主应力的反映能力及其适用性,为岩土材料破坏准则的拓展和数值分析中材料模型的选取提供一些借鉴和参考。2真三轴应力条件下最大莫尔圆相对位置的确定岩土工程中常用中主应力系数b来反映中主应力σ2与最大主应力σ1和最小主应力σ3的关系(以压应力为正,且σ1≥σ2≥σ3),其表达式为中主应力系数b反映了σ2与σ1,σ3的相对大小,其值影响莫尔圆的相对位置,范围为0~1。各准则对中主应力影响的反映程度不同,需引入一新的物理量来定性分析和定量比较,如图1所示,在真三轴条件下最大莫尔圆的相对位置关系中,定义考虑中主应力的内摩擦角ϕb为式中:σt为黏性土的名义抗拉强度,与轴对称加载b=0条件下的黏聚力c0和内摩擦角ϕ0有关。式(2)虽然没有显式包含中主应力σ2,但把真三轴不同中主应力系数b下的试验数据σ1和σ3代入式(2),即可得到真三轴应力条件下考虑中主应力ϕb的试验值;另结合具体破坏准则,可建立各准则中主应力系数b与ϕb的关系式,进而得到各准则ϕb的理论预测值。对ϕb的试验值和理论预测值从定性和定量2个方面探讨各准则对中主应力的反映能力及其适用性。为了进行各准则的比较,并简化计算,取σt=0,即sinϕb=(σ1-σ3)/(σ1+σ3),推导各准则的sinϕb表达式;如σt≠0,由方开泽的研究可知,只需对应力空间坐标的原点进行坐标平移,在新的应力空间下进行计算,对sinϕb值并无实际影响。由于篇幅所限,以下仅给出D-P准则的ϕb-b关系式建立的详细推导过程。2.1确定参数的形式D-P准则建立在Mises准则的基础上,考虑了静水应力的影响,是广义Mises准则的一种线性表示,其表达式为其中,式中:I1为应力张量第一不变量,J2为应力偏量第二不变量,kf和β均为试验常数。把式(1)代入式(3b),(3c),将其转换成σ1-σ3,σ1+σ3和b的关系式,可得其中,将式(4a)~(4c)代入式(3a),可得根据殷宗泽的做法,将式(5)改写为与M-C准则(σ1-σ3=(σ1+σ3)sinϕ+2ccosϕsinϕ)相同的形式:比较M-C准则与式(6),可得将式(8)代入式(7),可得式(9)即为基于M-C准则不等六边形外角点匹配的D-P准则建立的sinϕb-b关系式,给定ϕ0,代入不同的b值,可得真三轴条件下的内摩擦角ϕb。俞茂宏在双剪理论的基础上,建立了一种全新的考虑中主应力影响、适用于各种拉压不同特性材料的两参数双剪统一强度理论。它具有统一的力学和数学模型,其主应力F表达式为其中,式中:m为统一强度理论参数,α为材料拉压强度比,C为材料拉伸强度,τs为材料抗剪强度。另外,多参数统一强度理论适用的情况更广,但参数不易获得,故文中仅对TSUST进行讨论。将式(1),(2)代入式(10a),经化简、整理可得2.3应力张量第二、三不变量i2H.Matsuoka和T.Nakai根据砂土复杂应力状态的试验结果,提出M-N准则:其中,式中:I2,I3分别为应力张量第二、三不变量;KΜΝ为试验确定的常数。将式(1),(2)代入式(12a),整理得将b=0,sinϕb=sinϕ0代入式(13)得令t=(1+sinϕb)/(1-sinϕb),将t代入式(13),整理得进而有2.4fkz准则对m-c准则的整理方开泽根据形变能原理,结合Mises准则和M-C准则,提出FKZ准则,其表达式为将式(1),(2)代入式(17),整理得FKZ准则是对M-C准则的一种修正,且具有明确的物理意义。2.5修正l-d准则P.V.Lade和J.M.Duncan根据砂土真三轴试验提出L-D准则,其表达式为式中:KLD为试验确定的常数。针对L-D准则未考虑黏聚力的不足,R.T.Ewy提出了修正L-D准则:其中,结合式(1),(2),(3b),(12b)和(20a),整理可得令A=27+η,并代入式(21),整理得由式(9),(11),(16),(18)和(22)可以看出,根据已知条件,D-P准则、TSUST和FKZ准则的ϕb值较易确定,而M-N准则和修正L-D准则的ϕb值则需要通过求解高次方程获得,不同应力条件下的ϕb与b的关系具有单值唯一性,各准则sinϕb的表达式及所用参数如表1所示。3与模型材料的接触为研究各个准则的适用性,本文采用各准则的ϕb-b关系与砾石料(等中主应力系数加载)、密砂(真三轴)和黄土(真三轴)3种典型材料的试验结果进行了比较,各准则所用的计算参数见表2。3.1tsst,m-n、fkz准则,b的表达不同最小主应力σ3条件下,砾石料ϕb-b关系的等b加载试验结果和各准则计算结果见图2。由表2及图2可见,随着最小主应力σ3的增大,ϕ0逐渐减小;在σ3=75~200kPa范围内,当b=0~0.75时,ϕb逐渐增大;当b>0.75时,ϕb逐渐减小。从图2(b)~(d)中可以看出,TSUST,M-N准则和FKZ准则都有ϕ1=ϕ0(ϕ1为b=1时的内摩擦角),而试验结果表明,各种σ3条件下ϕ1都明显大于ϕ0。从该角度看,修正L-D准则对ϕb-b关系的描述,较其他4个准则更符合试验规律。3.3密砂d-p和fkz准则的算法验证为更深入细致地评价各准则的优劣,计算预测值与试验值对应的标准差,对计算结果进行定量分析。标准差si表示为式中:n为同种最小主应力下试验的组数,ϕb,jtest为试验不同中主应力系数时测得的内摩擦角ϕb,ϕb,jcal为与ϕb,jtest对应的计算值。算术标准差表示为式中:h为不同最小主应力的试验组数。不同最小主应力下的计算结果如表3所示,对表3中的数据进行分析,结果如图4,5所示。从图4中不难看出,砾石料不同σ3条件下各准则的算术标准差不同,D-P准则的算术标准差最大,为6.05°~12.25°;接下来依次为TSUST,M-N和FKZ准则,算术标准差分别为3.08°~4.84°,2.34°~4.60°和0.81°~4.57°;修正L-D准则的算术标准差最小,为1.16°~3.09°。当σ3=200kPa时,FKZ准则的算术标准差最小,其值为0.80°。从图5可以看出,修正L-D准则的算术标准差最小,为1.88°;FKZ准则的算术标准差稍大,为2.37°;TSUST和M-N准则的算术标准差相接近,分别为4.22°和3.92°;D-P准则的算术标准差最大,为8.45°。可见,对于砾石料,修正L-D准则的计算值与试验值吻合较好,其他依次为TSUST,M-N和FKZ准则,D-P准则基本不适用于砾石料。从图5中不难看出,当b>0.2时,密砂D-P准则的计算值严重偏离试验值,故图5中密砂没有D-P准则的算术标准差。从密砂的算术标准差计算结果可以看出,修正L-D准则的算术标准差最小,为0.89°;其次FKZ准则为4.57°;TSUST和M-N准则相接近,分别为6.11°和6.17°。对于黄土,除了D-P准则的算术标准差为5.06°偏大外,修正L-D准则为1.28°,其余FKZ准则、TSUST和M-N准则的算术标准差都在1.0°以内,分别为0.59°,0.53°和0.30°,M-N准则最适用于黄土。4b-b准则的适用性随着中主应力系数b的增加,内摩擦角ϕb相对常规轴对称情况下的内摩擦角ϕ0都有不同程度的提高,直接采用常规三轴试验指标来进行三向不等应力分析,不能充分发挥岩土材料的强度潜能。通过对5种常用破坏准则的计算ϕb-b关系曲线与砾石料、密砂和黄土等3种典型材料真三轴试验值比较及标准差的定量分析可知,5种准则均在不同程度上反映了中主应力效应,主要结论为:(1)D-P准则的ϕb-b关系为一先增后减曲线,因与试验结果偏差较大,砾石料和密砂仅给出了前半段的部分曲线。D-P准则不适用于内摩擦角较大的砾石料和密砂,故对现有通用商业软件中,数值模拟中盛行采用D-P准则,应持谨慎态度。(2)TSUST表达式较为简洁,ϕb与b的关系为2段折线,基本能反映试验情况,且参数较少,便于工程应用。(3)M-N和FKZ准则以类抛物线的形式来描述ϕb-b关系。M-N准则曲线的峰值在曲线的前半段,对黄土的标准差最小,较适用于内摩擦角较小的岩土材料;FKZ准则为一峰值在中点的马鞍形抛物线,对3种典型材料都有较好的适用性,尤其在砾石料高σ3条件下,较其他准则与试验值拟合较好。(4)修正L-D准则准确地描述了ϕb与b的关系,能满足ϕ1>ϕ0条件,在砾石料、密砂和黄土中,都很好地反映了试验的情况,尤其适用于内摩擦角较大的岩土材料。修正L-D准则ϕb-b关系曲线与M-N准则相似,但拟合程度明显优于后者。本文仅选取了砾石料、密砂和黄土3种典型岩土材料的真三轴试验,从ϕb-b关系对5种常用的破坏准则的适用性进行了初步比较和讨论,其他材料及更多复杂应力状态需要更多的试验资料支持,值得更进一步的研究。将b=0,sinϕb=sinϕ0代入式(7),可得2.2b-b和修正l-d准则从图2(a)中不难看出,D-P准则的ϕb-b关系的前半段为一条单调递增曲线,由于增幅过大,当b=0.25时,计算曲线已经偏离试验值较远,故前半段的一部分及后半段均未画出。由图2(b)可见,TSUST的ϕb-b关系为具有峰值的两段折线,对于砾石料,其峰值范围为b=0.1~0.2,折线的前半段与试验值吻合较好,后半段计算值比试验值偏小。从图2(c)~(e)中可以看出,M-N,FKZ和修正L-D准则均以类似抛物线形式来描述ϕb-b关系,M-N准则与TSUST计算规律较为接近,其峰值在b=0.15~0.25时,后半段计算值在试验值的下方。FKZ准则的ϕb-b关系为倒马鞍形曲线,峰值在b=0.5处,b=0.75前计算值基本在试验值上方,b=0.75后,计算值低于试验值。修正L-D准则前半段计算曲线稍高于试验值,较高最小主应力σ3的条件下,b>0.75后,计算值稍低于试验值。3.2b对于土壤b-b关系的分析密砂和黄土ϕb-b关系的真三轴试验结果和各准则计算结果见图3。从图3中可以看出,当b从0变化到0.5时,密砂的ϕb试验值从48.5°增大到57.5°,增幅为19%,而b=0.5~1时,ϕb几乎不变;当b从0增加到0.16时,黄土的ϕb增加较显著,增幅为9%,而b=0.16~0.73时,ϕb变化幅度为4%,b=1时试验离散性较大。从图3中可以看出:(1)D-P准则曲线始终在密砂试验值的上方(仅画出前半段的一部分),b=0~0.2的密砂计算值与试验值较接近,b=0.5的计算值已超过90°,与试验明显不符;当b=0.24时,黄土的计算值已与试验值偏离较远,计算曲线一直在试验值的上方。(2)