向量问题知识清单

向量问题知识清单Preparedon22November2020平面向量知识清单学习方法：①理论意义、实际意义；②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；④基本考点：〃、向量的运算及其几何意义； b、向量的线性运算；C、共线问题；e、基本定理应用及其向量分解；d、坐标表示及其运算；/、平行问题的坐标表示；g、数量积的运算； h、夹角问题； i、模长及垂直条件；j、在平面几何中应用； k、在解析几何中的应用；/、在解三角形中的应用；m、在物理中的应用；一、向量有关概念：①向量的概念： 向量可以；②零向量：记作：0，注意零向量的方向是 作用：1、解决矛盾；2、零向量和任何非零向量平行；3、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；③里伊向量：；与AB共线的单位向量是_ ；④相等向量： ；_相等向量有 ；大小和方向 ，与位置 ；⑤相反向量： a的相反向量是 ；⑥平行向量（共线向量）：-frf —fzz―►1、方向相同或相反的非零向量〃、b叫做平行向量；记作：a〃b零向量和任何非零向量平行；3、两个向量平行包含两个向量共线但两条直线平行不包含两条直线重合；4、平行向量无传递性！（因为有d）；5、三点A、B、C共线oAB、AC共线；⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。二、向量的表示方法：①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，女血B，注意起点在前，终点在后；—⅛—⅛②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为Z=XZ+yJ=（x,y）,称（x,y）为向量a的坐标，a=G,y）叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得i、提供证明共线或平行的方法。ii、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。②共线定理应用：1、定比分点的概念：设点。是直线〃，P上异于P,P的任意一点，若存在一个实数λ，使

1 2 1 2""则λ叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段1 2 12PP的以定比为λ的定比分点；122、λ的符号与分好的位置之间的关系：当P点在线≡PP上时oλ>0;当P点在线段PP的延长线上时o12 12λ<-1；当P点在线段Pp的延长线上时A-1<λ<0；2：当P分有向线段PP所成的比为λ,则点P分有向线^PP所成的比为1。12 λ3、线段的定比分点公式：设(X,y)、111X+λXP(X,y)，222P(X,y)分有向线PPp所成的比为λ,则12X=-4——T1+λy+λy

y=———1+λ，X+Xx-122i、当λ=1时，就得到线段PP的中点公式1y+y。在使用定比分点的坐标12 Iy=F公式时，应明确(X,y),(X,y)、(X,y)的意义，即分别为分点，起点，终点1122的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并

根据这些点确定对应的定比X。ii、若。分有向线段PP所成的比为λ，点M为平面内的任一点，则12-MP+入MP,=12，1+λ特别地P为PP的中点。拓;—而广证2；12 2③如果β和「是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实12数λ,λ,1使2=λZ+λ”。11 22应用：解释平面直角坐标系中的任意点坐标(X,y)的来由。-t —b,④实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(D∣λa=∣λ∣a,(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ<0时，λa的方向与a的方向相反，当λ=0时，λa=o，注：λa≠00分析：⑤平面向量的数量积：(1)两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作厉=〃,丽=b,NAOB=。(0≤θ≤π)称为向量a,b的夹角，当θ=0时，a,b同向，当θ二π时，a,b反向，当θ二J时，a,b垂直。(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量IaIlbIcosθ叫估攵a与b的数量积(或内积或点积)，记作：ab,即a∙b=abcosθ。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。-H--⅛ ->b在a上的投影为Iblcosθ,它是一个实数，但不一定大于0。a∙b的几何意义：数量积a∙b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为θ,则：i、a±b=a∙b=0；ii、当a,b同向时，a∙b=ab,特别地，a2=a∙a=∣a∣2,∣a∣=^∕a2--— —►—► —►—►当a与b反向时，a∙b=—ab；当θ为锐角时，a∙b>0,且a,b不同向，a∙b>0是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时，a∙b<0,且a4不反向，a∙b<0是θ为钝角的必要非充分条件；—►—►a∙biii、非零向量a,b夹角θ的计算公式：cosθ=二；abiv、Ia∙bI≤IaIIbI；IIaI-1bII≤Ia±bI≤IaI+1bI；当a、b同向或有0=Ia+bI=IaI+IbI≥IIaI-1bII=Ia-bI；当a、b反向或有0OIa-bI=IaI+IbI≥IIaI-1bII=U+bI；当a、b不共线=IIaI-1bII<Ia±bI<IaI+IbI；⑥向量的运算：i、几何运算：1、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=Ab+BC=Ac;2、向量的减法：用“三角形法则”：设Ab=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。ii、坐标运算：设a=(X,y),b=(X,y),则:1 1 2 21、向量的加减法运算：a±b=(X±X,y±y)。1 2 1 22、实数与向量的积：λa=λ(χ,y)=(λX,λy)。1111ʌ3、若A(X,y),B(X,y),则AB=(X-X,y-y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有1 1 2 2 2 1 2 1向线段的终点坐标减去起点坐标。4、平面向量数量积：a∙b=XX+yy。 12 125、向量的模：IaT=YX2+y2,a2=IaI2=X2+y2。6、两点间的距离：若A(X,y),B(X,y),则IABI=J(X-X»+(y-y»。1 1 2 2 - 2 1 2 1⑦向量的运算律：1、交换律：a+b=b+a,λ∖μa)=(λμ)a,a∙b=b∙a；2、结合律：a+b+c-∖ι+b∕+c.a-b-c-a-6+)0.16。=MP；3、分配律：(λ+μ)lλZ+μaλβ+λ⅛,g+"c=a∙c+b∙co⑧向量平行(共线)的充要条件：a∕∕b^a=λbO(Q程”=(IqIlBI”今Xy-yx

____ ____ 12 12⑨向量垂直的充要条件：aLbOal=OOI〃+加I=Ia-Bl=XX+yy=0.12 12=0oAB

特别地(二

ABAC、一AB

+I——>∣)ɪ^AC∖AB国四、平面向量的应用①向量在几何中的应用：向量的几何表示是有向线段，其加法和减法的几何意义、模长、平行、垂直等内容的结合。“三角形“四心”向量”在AABC中：①若A(X,y),B(X,y),C(X,y)，则其重心的坐标为Gx1+x2+x3,'1+y2+3。11 22 33 I3 3 )②PG=1(Pa+Pb+PC)=G为