2024届一轮复习人教A版 第四章数列第二讲等差数列及其前n项和 课件（40张）

第二讲等差数列及其前n项和课标要求考情分析1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系1.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.2.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度为中低档1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.a＋b

2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项如果A＝2，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的前n项和公式5.等差数列的前n项和公式与函数的关系6.等差数列的常用性质(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列.

(5)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列单调递增；若公差d<0，则数列单调递减；若公差d＝0，则数列为常数列.7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn

存在最小值.

考点一等差数列1.已知{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，则S20＝()A.14C.16

B.15D.17

解析：∵{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，由等差数列的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴10，S20－10，18－S20成等差数列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故选C.答案：C答案：B

3.(2023年通州区期中)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目(请给出答案)：把100个面包分给5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之4.(2022年全国乙卷文科)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，∵{an}为等差数列，∴6a2＝3a1＋3a2＋6，∴3(a2－a1)＝3d＝6，解得d＝2.答案：2【题后反思】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1

和公差d.考点二等差数列的判定与证明方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列【题后反思】等差数列的判定与证明的方法【变式训练】(1)证明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①把n换成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，②②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得an＋1＝an＋1，由等差数列定义有{an}为等差数列.

考点三等差数列性质的应用考向1等差中项的性质[例2](1)(2022年淄博市模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝(

)A.72B.36C.18D.9答案：BA.4B.6C.8D.10答案：C【题后反思】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.考向2等差数列前n项和的性质[例3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35B.42C.49D.63

解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，B正确.

答案：B答案：C【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.【考法全练】1.(考向1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.答案：C答案：C

⊙等差数列的前n

项和及其最值

[例4]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立. (1)求数列{an}的通项公式；【规律方法】求等差数列前n项和Sn

的最值的常用方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配