2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案2-3二次函数与一元二次方程、不等式

2．3二次函数与一元二次方程、不等式（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】1、通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系．2、使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 【过程与方法目标】渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力．【情感态度价值观目标】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集教学难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：在初中，我们从一次函数的角度看待一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢?先来看这样一个问题．问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是，围成的矩形区域的面积要大于，则这个矩形的边长为多少米?【破解方法】教师提出问题，要求学生独立设未知数，并列出不等式，然后回答．学生容易忘记自变量的取值范围，教师根据情况补充完善．环节二、抽象概念，内涵辨析1．一元二次不等式的概念问题2：（1）与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点?（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2）（2）类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗?你能给出这类不等式的一般形式吗?【破解方法】学生在老师的引领下，类比一元一次不等式的定义，独立思考，尝试给出一元二次不等式的定义，教师帮助总结完善，得出完整的定义．【归纳新知】一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系问题3：如何解不等式?如何从一次函数的观点求解一元一次不等式?【破解方法】学生思考，回答如何解不等式．教师引导学生从一次函数的观点求解一元一次不等式的步骤：先画出对应的一次函数的图象，然后再解对应的一元一次方程，得图象与轴的交点，最后根据图象写出一元一次不等式的解集．问题4：类比一次不等式的求解方法，怎么求解?我们怎么理解三者之间的联系?【破解方法】教师用信息技术画出函数的图象，并在函数图象上取一点，让点在抛物线上移动，学生观察图象，并回答随着点的移动，它的横、纵坐标的变化情况．当点移动到轴上时，它的纵坐标等于0；当点移动到轴上方时，它的纵坐标大于0；当点移动到轴下方时，它的纵坐标小于0．问题5：一元二次方程的实数根就是二次函数图象上纵坐标为0的点的横坐标，这个结论可以推广到一般吗?【破解方法】教师引导学生得出这一结论可以推广为一般：对于二次函数，我们把满足的实数叫做二次函数的零点．二次函数的两个零点是2和10．问题6：二次函数的两个零点2和10将轴分成三段．每一段（不包括零点）对应的函数图象有什么特点?函数值有什么特点?【破解方法】教师引导学生观察图象得出：当或时，函数图象位于轴上方，此时0，即；当时，函数图象位于轴下方，此时，即．问题7：不等式的解集是什么?不等式的解集是什么?【破解方法】学生独立思考得出结论：一元二次不等式的解集是，的解集是．问题8：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式或的解集吗?对于一般的一元二次方程、一元二次不等式与相应的函数之间是否也有类似的关系?【破解方法】对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根环节三：例题练习，巩固理解题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】解下列不等式：（1）；（2）；【解析】（1）由，得，得，所以不等式的解集为．（2）由不等式，可化为，而的解为或，所以不等式的解集为或．【对点训练1】求下列不等式的解集．（1）；（2）；（3）；（4）；【解析】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集为．（2）不等式，即，配方得，又，所以，解得，所以原不等式的解集为．（3）不等式，即，即，又，∴原不等式的解集是．（4）不等式，∵，又∵的两个实数根为，，∴原不等式的解集是题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例2】（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（

）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AD【解析】由的解集为或得，故故A正确，，故D正确，对于B，，解得，故B错误，对于C，为，解得，故C错误．故选：AD【对点训练2】若关于的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】关于的不等式的解集是，，是方程的两根，，解得，，故选：B．【对点训练3】已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）．故选：A．题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式：（其中）．【解析】不等式可化为．当时，不等式化为，解得．当时，不等式化为，由于，解得或．综上，当时，解得；当时，解得或．【对点训练4】解下列关于的不等式：（）；【解析】，当时，，无实数解，当时，，的无实数解，当时，，的解为，综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．【对点训练5】解下列关于的不等式：（）．【解析】不等式化为：，当，原不等式化为，解得，当，原不等式化为，解得或，当，原不等式化为，当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得，所以当，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．题型四：一次分式不等式的解法【例4】不等式的解集为．【答案】/【解析】方法一：原不等式即，故．故答案为：．方法二：原不等式可化为，即．原不等式等价于或，解得．故答案为：．【对点训练6】不等式的解集为．【答案】【解析】不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为．故答案为：题型五：实际问题中的一元二次不等式问题【例5】某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是．【答案】【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元，则，令，即，解得．故答案为：【对点训练7】某商店的圆珠笔以每支3元的价格销售，每年可以售出6万支．根据市场调查，该圆珠笔的单价每提高0．1元，销售量就减少1000支．设每支圆珠笔的定价为（且）元，要使得提价后的年总销售额比原来至少多2万元，则的最小值为．【答案】4【解析】当定价为元时，销售数量为所以总销售额而由题意得：（）解的：则的最小值为：4故答案为：4．题型六：不等式的恒成立与有解问题【例6】对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】对任意的实数，不等式恒成立，当时，即当时，则有恒成立，合乎题意；当时，即当时，则有，解得．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．【对点训练8】若，不等式恒成立，则实数m的最小值为．【答案】/【解析】时，不等式恒成立，即恒成立，令时，，则，则，则，故实数m的最小值为故答案为：【对点训练9】设，若存在唯一的使得关于的不等式有解，则的取值范围是．【答案】【解析】依题意不等式有解，所以，所以，而，因此，因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，所以，即，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是．故答案为：环节四：小结提升，形成结构问题9：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）我们是如何研究解一元二次不等式的?（2）当时，函数与方程、不等式之间有什么关系?（3）如何解一元二次不等式?【破解方法】教师和学生一起回顾本节的学习内容，以及所涉及的数学思想方法和本节的研究方法．要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．下列四个不等式中解为一切实数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，由可得，所以的解集为，故A正确；对于B，，所以的解集为，故B错误；对于C，可化为，，所以的解集为，故C错误，对于D，由可得，所以的解集为空集，故D错误；故选：A．2．不等式的解为（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以不等式的解为．故选：B．3．若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】由题意得关于的不等式对任意的恒成立，故恒成立，即，故的最大值为，故选：C4．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，所以不等式的解集为：．故选：A．5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由不等式的解集为，知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得，解得：，所以不等式可化为，解得：或，故不等式的解集为：．故选：D．6．不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即，解得，所以不