高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册

PAGEPAGE14.3.2对数的运算知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．eq\x(状元随笔)对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．eq\x(状元随笔)对数换底公式常见的两种变形(1)logab·logba＝1，即eq\f(1,logab)＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数.(2)logNMm＝eq\f(m,n)logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的eq\f(m,n)倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.所以x＝eq\f(logcb,logca)，即logab＝eq\f(logcb,logca).[基础自测]1．下列等式成立的是()A．log2(8－4)＝log28－log24B.eq\f(log28,log24)＝log2eq\f(8,4)C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2.eq\f(log49,log43)的值为()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(9,2)解析：原式＝log39＝2.答案：B3．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________．解析：log32＝eq\f(ln2,ln3)＝eq\f(a,b).答案：eq\f(a,b)题型一对数运算性质的应用[教材P124例3]例1求下列各式的值：(1)lgeq\r(5,100)；(2)log2(47×25)．【解析】(1)lgeq\r(5,100)＝lg100＝eq\f(1,5)lg100＝eq\f(2,5)；(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.利用对数运算性质计算．教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1(1)计算：lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝________.(2)求下列各式的值．①log53＋log5eq\f(1,3)②(lg5)2＋lg2·lg50③lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解析：(1)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log5eq\f(1,3)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3)))＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg8＋lgeq\f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1(2)见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例2(1)已知2x＝3y＝a，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，则a的值为()A．36B．6C．2eq\r(6)D.eq\r(6)(2)计算下列各式：①log89·log2732.②2lg4＋lg5－lg8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8))).③64eq\f(1,3)＋lg4＋2lg5.【解析】(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2a)＋eq\f(1,log3a)＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±eq\r(6).又a＞0，所以a＝eq\r(6).(2)①log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(lg32,lg23)·eq\f(lg25,lg33)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(10,9).②2lg4＋lg5－lg8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))＝lg16＋lg5－lg8－eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(27,8))))2)＝lgeq\f(16×5,8)－eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).③64eq\f(1,3)＋lg4＋2lg5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】(1)D(2)见解析eq\x(状元随笔)1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝eq\f(m,n)logab.跟踪训练2(1)式子log916·log881的值为()A.18B.eq\f(1,18)C.eq\f(8,3)D.eq\f(3,8)(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(25,12)C.eq\f(9,4)D．以上都不对解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·eq\f(4,3)log23＝eq\f(8,3).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log33,log34)＋\f(log33,log38)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(log38,log39)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(3log32,2)))＝eq\f(5,6log32)×eq\f(5,2)log32＝eq\f(25,12).答案：(1)C(2)B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例3已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.解析：方法一因为log189＝a，所以9＝18a又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log又因为log2×1818＝eq\f(1,log1818×2)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).方法二∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log184×9)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).eq\x(状元随笔)方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________；(用p，q表示)(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.②设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．解析：(1)lg5＝eq\f(log65,log610)＝eq\f(q,log62＋log65)＝eq\f(q,p＋q).(2)①∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(log14\f(142,7),log145×7)＝eq\f(log14142－log147,log145＋log147)＝eq\f(2－a,a＋b).②∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log336)＝eq\f(1,\f(log3636,log363))＝log363，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)eq\f(q,p＋q)(2)①eq\f(2－a,a＋b)②1(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业22一、选择题1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．答案：A2．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)解析：eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)＝eq\f(1,2)(1＋log62)－log62＝eq\f(1,2)(1－log62)＝eq\f(1,2)log63＝log6eq\r(3).答案：C3．设lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg5)＝()A.eq\f(2a＋b,1＋a)B.eq\f(a＋2b,1＋a)C.eq\f(2a＋b,1－a)D.eq\f(a＋2b,1－a)解析：eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋lg4,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(2a＋b,1－a).答案：C4．若log34·log8m＝log416，则mA．3B．9C．18D．27解析：原式可化为log8m＝eq\f(2,log34)，eq\f(lgm,3lg2)＝eq\f(2,\f(lg4,lg3))，即lgm＝eq\f(6lg2·lg3,2lg2)，lgm＝lg27，m＝27.故选D.答案：D二、填空题5．lg10000＝________；lg0.001＝________.解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4－36．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于________．解析：由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).答案：eq\f(1,25)7.eq\f(lg2＋lg5－lg1,2lg\f(1,2)＋lg8)·(lg32－lg2)＝________.解析：原式＝eq\f(lg2×5－0,lg\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×8)))×lgeq\f(32,2)＝eq\f(1,lg2)·lg24＝4.答案：4三、解答题8．化简：(1)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27)；(2)(lg5)2＋lg2lg50＋2.解析：(1)方法一(正用公式)：原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,lg3)＝eq\f(11,5).方法二(逆用公式)：原式＝eq\f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×9\f(2,5)×27\f(1,2)×\f(3,5)×3－\f(1,2))),lg\f(81,27))＝eq\f(lg3\f(11,5),lg3)＝eq\f(11,5).(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2eq\r(5)＝1＋2eq\r(5).9．计算：(1)log1627log8132；(2)(log