卫统 卡方检验

第七章

卡方检验小组成员：彭渝轩冯丹杨芳卡方检验第一节四格表资料的χ2检验第二节配对四格表资料的χ2检验第三节四格表资料的Fisher确切概率法第四节行×列表资料的χ2检验第五节多个样本率间的多重比较第六节有序分组资料的线性趋势检验第七节频数分布拟合优度的χ2检验四格表资料的χ2检验卡方检验是（χ2检验，Chi-squaretest)是现代统计学的创始人之一，英国人K.Pearson(1857-1936)于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，是分类计数资料的假设检验方法,可用于两个或多个率间或构成比之间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等等。这就是著名的pearsonχ2检验。卡方检验的检验统计量为：

卡方检验是建立在卡方分布的基础上。

2分布是一种连续型分布，只有自由度一个参数。按分布的密度函数可给出不同自由度的一簇分布曲线。

2分布的形状依赖于自由度的大小：

当自由度≤2时，曲线呈L形；随着自由度的增加，曲线逐渐趋于对称；当自由度趋向于无穷大时,

2分布趋向正态分布。

3.847.8112.59P＝0.05的临界值χ2分布（chi-squaredistribution）

2分布具有可加性，如果两个独立的随机变量X1X2分别服从自由度v1v2的

2分布，那么它们的和（X1+X2）服从自由度（v1+v2

）的

2分布。自由度一定时，P值越小，

2值越大。当P值一定时，自由度越大，

2越大。

2检验时，先计算检验统计量

2值，然后按自由度查

2界值表，确定P值。卡方检验的基本原理卡方检验的基本思想是检验列联表的实际频数和理论频数的差别是否由抽样误差所引起。x2反映了实际频数与理论频数的吻合程度，卡方检验就是通过二者的吻合程度大小作出统计推断。对于同一份资料，u2=x2组别骨质增生合计发生率发生未发生井下工人18224045%井上工人9273625%合计27497635.5%表：两组工人的骨质增生发生率比较期望频数的分布根据前面的表格，假设两总体发生率相等，均等于合计的骨质增生发生率35.5%（27/76），根据上述假设，计算表格中对应的期望频数，也可称为理论数，记作T。根据上述假设，计算得到井下矿工组发生骨质增生的期望频数T11=40×(27/76)=14.2，井上工人组发生骨质增生的期望频数T21=36×(27/76)=12.8组别骨质增生合计发生率发生未发生井下工人18（14.2）22（25.8）4045井上工人9（12.8）27（23.2）3625合计27497635.5表：两组工人的骨质增生发生率比较

综合以上思路，列联表期望频数的统一计算公式为：如果H0成立，A与T不应相差太大，x2值不应很大；如果H0不成立，由H0为真的条件下所计算的理论频数与样本的实际频数的差别会很大，大多数情况下的检验统计量x2会较大或很大。理论上可以证明，若H0成立，服从x2分布。A：表示实际频数，即实际观察到的例数。T：理论频数，期望频数，即如果假设检验成立，应该观察到的例数。计算出x2值后，查表判断如此大的x2是否为小概率事件，以判断建设检验是否成立。如果x2值大于临界值，P<a，所以可以拒绝H0。x2值的大小除了与(A-T)的差值有关外，还取决于格子数（严格说是自由度）的多少。因为每个格子的(A-T)2/T都是正值，因此格子数越多，x2值就越大。所以考虑x2值大小的意义时就要同时考虑自由度自由度：

=（R-1）×（C-1）,其中，R行数，C列数例题:为了解井下矿工腰脊椎退行性变化情况，2002年某医生从某煤矿井下作业15-20年的40岁以上矿工的名单中按系统抽样的方法随机抽取40名工人为观察组；同时从年龄、工龄和身高相近的井上体力劳动者中按同样方法随机抽取36名工人作为对照组。对每个观察单位做X光影像检查，并根据检查结果将76名调查对象分为骨质增生发生和未发生两种情况。用卡方检验来回答井下矿工与井上工人的骨质增生发生率有无不同。例题组别骨质增生合计发生率发生未发生井下工人18（14.2）22（25.8）4045井上工人9（12.8）27（23.2）3625合计27497635.5表：两组工人的骨质增生发生率比较具体步骤1.建立假设2.计算卡方统计量3、确定P值，并做出结论卡方检验的使用范围两组及多组率的检验两组及多组构成比分布的检验独立性检验拟合优度检验四格表资料的x2检验什么是四格表资料？凡是两个率或构成比资料都可以看做四格表资料，即2×2列联表。四格表的一般形式假设一组和二组的总体阳性率相等，均等于即因此，以两样本组的合计阳性率作为理论频率。期望频数就可以通过每组的合计数与总体阳性率乘积得到，也即四格表资料的一般公式A是实际频数，T是根据假设检验来确定的，是当H0成立时，计算出的理论频数。四格表资料的一般公式展开式四格表资料的专用公式该公式从基本公式推导而来，计算结果与基本公式相同。适用条件：

N>40且T

5组别骨质增生合计发生率发生未发生井下工人18（14.2）a22（25.8）b40(a+b)45井上工人9（12.8）c27（23.2）d36(c+d)25合计27（a+c）49(b+d)76(n)35.5表：两组工人的骨质增生发生率比较具体步骤1.建立假设2.计算卡方统计量按照四格表专用公式3、确定P值，并做出结论四格表资料的校正公式卡方值的分布原本是连续性分布，界值表是根据这种连续性的理论分布计算出来的，而分类数据都是不连续的，由此计算的x2值也是不连续的，与真正的卡方分布有一定的误差，统计学家已经证明，当自由度比较大时，误差较小。当自由度为1时，特别是n较小或者期望频数<5，则误差较大，使得所得概率偏小，统计学家提出了校正公式；②

一般来说，当n≥40，1≤T＜5时，采用校正公式①

对四格表资料，如果n≥40,且所有的格子的理论频数≥5，无须进行校正。该方法是由R.A.Fisher1934提出的，其理论依据是超几何分布，简称Fisher确切概率法。此方法不属于卡方检验范畴，但可作为四格表卡方检验应用上的补充。实际上，当有统计软件条件下，大样本四格表的资料也可用确切概率检验③当T＜1或n<40时，或者当卡方检验的P值≈a时，采用确切概率法例：某食品检验所对来自同一屠宰场的甲、乙两肉食零售点的猪肉，检查其表层沙门菌带菌情况，资料见表，问甲、乙两零售点的猪肉带菌率有无差别？零售点阳性例数阴性例数合计带菌率甲226287.14乙591435.71合计7354216.67表：比较甲、乙两零售点猪肉表层沙门菌带菌率首先计算最小的期望频数：T21=14×7/42=2.33由于最小期望频数小于5，应选用校正公式第一步：建立假设H0：

1=2

H1：

1≠2第二步：确定显著性水平

=0.05第三步：计算统计量：第四步：确定P值,判断结果确切概率法确切概率计算方法的基本思想：在四格表边缘合计固定不变的条件下，利用公式

直接计算表内四个格子数据的各种组合的概率，然后计算单侧或双侧累计概率，并与检验水准比较，作出是否拒绝H0的结论治疗效果合计有效率分组有效无效甲药751258.3乙药381127.3合计10132343.5例题：将23名精神抑郁症患者随机分到两组，分别用两种药物治疗，结果见表，问两种药物的治疗效果是否不同？本例n<40，只能选择四格表的确切概率法。1、建立检验假设

H0：两种药物治疗效果相等

H1：两种药物治疗效果不等2、计算概率在边缘合计数不变的条件下，计算所有组合四格表的概率P。四格表序号有效无效P1750.114382840.0230293930.00211041020.0000580115660.266523476570.3198567480.199865表：各种组合的四格表计算的确切概率四格表序号有效无效P8390.06347492100.009583101110.00057792110120.0000011013、确定P值和作出判断双侧检验的P值是指上表中P≤0.114各种组合的四格表确切概率相加所得到的累积概率。单侧检验则取a≥7，或a≤7一侧的累积概率为单侧P值。本题的研究目的是甲乙两种药物的治疗效果何者为优，所以用双侧检验。将上表中P≤0.114的8个四格表的P值相加，得累计概率P=0.214。按显著性水平0.05水准不能拒绝原假设，两组药物疗效的差别无统计学意义，尚不能认为两药治疗精神抑郁症的效果不同。若研究的目的是说明甲药是否优于乙药，并有证据说明甲药不会次于乙药，则用单侧检验。将表中a≥7的1-4四格表的P值相加得累计概率P=0.14。按显著性水平0.05检验水平，不能拒绝原假设，两组药物疗效的差别无统计学意义，尚不能认为甲药治疗精神抑郁症的效果优于乙药。四格表卡方检验条件总结当n≥40，且所有T≥5时，用基本公式或四格表专用公式；如果P≈a，最好用确切概率法。当n≥40，但有1<T<5时，用四格表校正公式，或用确切概率法。当n≤40，或T≤1时，需用确切概率法。在实际应用中，通常先计算四格表中最小的T值，也就是最小行合计与最小列合计对应的那一格子的T值，以确定是否采用校正公式。

什么是配对资料？计数资料的配对设计同计量资料一样，可以将条件相似的两个受试对象配成一对，随机地让其中一个接受A处理，另一个接受B处理；也可以把两种处理分别施与同一受试对象，或观察同一受试对象处理前后的变化。把每种处理的结果分类整理成表格的形式，这种设计类型的资料称为配对资料。配对四格表资料的x2检验例：为比较两种检验方法是否有差别，某实验室将75份受大肠杆菌污染的乳制品依相同的实验条件分别用乳胶凝聚法（A法）和常规培养法（B法）作细菌培养，并将培养结果整理成下表，问两种实验的细菌培养效果有无不同？研究目的是检验两种处理方法的总体阳性率是否有差别，而两种处理的样本阳性率及其差值分别为:PA=(a+b)/n,PB=(a+c)/n,PA-PB=(b-c)/n可见，两样本阳性率差值的大小完全是由b和c决定，如果b＝c，则两样本的阳性率相等。因此推断总体率是否相等，只需推断总体B=C即可，假设检验仍然采用卡方检验，又称为McNemar检验。在H0:总体B=C成立的情况下，b与c的理论频数相等，均等于因此，当b+c≤40时，需要做连续性校正，校正公式为行×列表资料的x2检验四格表是指只有2行2列的表格，当行数或列数超过2时，统称为行×列表，或R×C表。行×列表的卡方检验多用于：多个独立样本率的比较（R×2）；两个或多个样本构成比分布的比较（2×C表，或R×C表）；单个样本资料的两个无序分类变量间有无关联性的统计推断

基本公式：基本公式的展开式：其中，自由度：

=（R-1）×（C-1）

适用条件：表中不宜有1/5以上格子的理论频数小于5，或有一个格子的理论频数小于1。表三种疗法有效率的比较

疗法有效无效合计有效率（%）

物理疗法199720696.60

药物治疗1641818290.11

外用膏药1182614481.94

合计4815153290.41例：三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率比较。一、多个独立样本率的比较H0：π1＝

π2＝

π3，即三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率相等H1：三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率不全相等查

2界值表，得p＜0.005，按α＝0.05水准，拒绝H0

，接受H1

，三种疗法治疗周围性面神经麻痹的有效率有差别。

例：某研究人员收集了亚洲、欧洲和北美洲人的A、B、AB、O血型资料，结果见表所示，其目的是研究不同地区的人群血型分类构成比是否一样二、样本构成比的比较建立假设

H0：不同地区的人群血型分布构成相同

H1：不同地区的人群血型分布构成不同或不全相同α=0.05计算检验统计T11=1080×987/2592=411.5T12=215.83T13=64.17T14=388.75T21=196.87T22=103.32T23=30.72T24=186.10 T31=378.88T32=198.8T33=59.12T34=358.15方法1：查χ2界值表v=（3-1）×（4-1）=6，由于则P<0.05，拒绝H0，认为三个地区的人群血型分布构成不同或不全相同。建立假设

H0：不同地区的人群血型分布构成相同

H1：