（概率论与数理统计） 点估计

一、参数的点估计二、参数的区间估计下页参数估计

问题：若总体X的分布函数F(x)的类型已知，但它的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数？

想法：用X的一组样本观察值(x1,x2,…,xn)来估计总体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值.

估计量：设q为总体X的未知参数，用样本(X1,X2,…,Xn)构成的一个统计量来估计q的真值，称为q的估计量.

参数的点估计(方法):指用样本统计量的值估计未知参数的值.本节介绍①

矩估计法；②

极大似然估计法.

估计值：对应于样本的一组观测值(x1,x2,…,xn),估计量的值(x1,x2,…,xn)称为q的估计值，仍记作.§7.1参数的点估计下页○、基本概念mk=E(Xk)ck=E[X-E(X)]k总体矩总体矩的估计值样本矩==显然,通常取:理论根据：格利文科定理.一、矩估计法下页

矩估计法：是用样本矩估计相应的总体矩，用样本矩函数估计总体矩的同一函数的一种估计方法.例1．设总体X~N(m,s2

)，试求m,s2的矩估计量.解得m,s2

的矩计量分别为即下页解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，依题意知

E(X)=

m,D(X)=

s2，据矩估计法有解得q1,q2的矩估计量为即例2．设总体X~U[q1,q2]，试求q1,q2的矩估计量.下页解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，依题意知

据矩估计法有E(X)=q,根据矩估计法有(k=0,1,2…；0<q<+∞)同样，又由于D(X)=q，故可得q的另一个矩估计量为由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的.例3．设总体X服从参数为q的泊松分布，即问题：哪一个作为估计量更好呢？下页试求q的矩估计量.解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，依题意知

二、极大似然估计法

极大似然原理：一个随机试验有若干种可能的结果A，B，C，…．若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大．

引例．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个红球1个蓝球，乙箱有1个红球99个蓝球，今随机地取出一箱，再从该箱中任取一球，结果取得红球，问这球是从哪一个箱子中取出的？解：从甲箱中取得红球的概率：P(红/甲)=99/100；从乙箱中取得红球的概率：P(红/乙)=1/100.

显然，从甲箱中取得红球的概率，比从乙箱中取得红球的概率大得多.既然在一次抽样中取得红球，当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的，故可作出统计推断：红球是从甲箱中取出的(合理).

这就是－极大似然原理！下页⒊求极大似然估计步骤(1)写出似然函数;称为样本的似然函数.使似然函数取得最大值的称为q的极大似然估计值.这种方法称为极大似然估计法.⒉极大似然函数下页(2)取对数;(3)求导数;(4)由导数=0,解得估计值.

设总体X的概率密度函数为f(x;q)，[若X是离散型,f(x;q)是分布律]q为未知参数(q也可以是向量)，则函数

解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，则似然函数为两边取对数得对l求导数，并使其等于0得解这一方程得l的极大似然估计为

比如，n=10,样本观测值为：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123.则下页例4．X~P(l)，求l极大似然估计.例5．X服从参数为l的指数分布，求l的极大似然估计量.下页解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，则似然函数为解得l的估计值为由所以l的估计量为例6．设X~N(m,s2）,求m,s2的极大似然估计.解得m,s2的极大似然估计值为下页解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，则似然函数为例7．设总体X具有均匀分布，密度函数为求未知参数q的极大似然估计.显然L是q的一个单值递减函数，而另一方面，xi

≤q(i=1,2,3…,n),下页解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，则似然函数为所以q的极大似然估计值为三、估计量的评选标准⒈一致性则称为q的一致估计量.下页⒉

无偏性无偏估计量.设为未知参数q的估计量，若E(

)=q，则称为q的为未知参数q的估计量序列，设对于任意ε>0,有则称较有效.⒊有效性设是q

的两个无偏估计量，若解：因为下页

问哪个是

的无偏估计量？

例8．设X1,X2,X3是来自均值为

的指数分布总