( 线性代数)向量组的秩

向量组的秩(一)向量组的极大无关组(二)向量组的秩

如果向量

1

2

s不全为零向量

则它至少有一个向量的部分组线性无关

再考察两个向量的部分组

如果有两个向量的部分组线性无关

则往下考察三个向量的部分组

依此类推

最后总能达到向量组中有r(

s)个向量的部分组线性无关

而没有多于r(

s)个向量的部分组线性无关

则含有r个向量的线性无关的部分组是最大的线性无关的部分组

(一)向量组的极大无关组定义3

8(极大无关组)

说明

向量组的极大无关组可能不止一个

但由定义可知

其向量的个数是相同的

(一)向量组的极大无关组定义3

8(极大无关组)

说明

如果向量组

1

2

s线性无关

其极大无关组就是其自身

仅含零向量的向量组不存在极大无关组

(一)向量组的极大无关组定义3

8(极大无关组)

举例

设二维向量组

1

(0,1)

2

(1,0)

3

(1,1)

4

(0,2)

因为任何3个二维向量必线性相关

又

1

2线性无关

故

1

2是

1

2

3

4的一个极大无关组

(一)向量组的极大无关组定义3

8(极大无关组)

定理3

10(极大无关组的判断法)

显然

向量组与其极大无关组可互相线性表示

即向量组与其极大无关组等价

(二)向量组的秩定义3

9(向量组的秩)

向量组

1

2

s的极大无关组所含向量的个数

称为向量组的秩

记为r(

1

2

s)

规定

全由零向量组成的向量组的秩为零

举例

在二维向量组

1

(0,1)

2

(1,0)

3

(1,1)

4

(0,2)中

1

2是

1

2

3

4的一个极大无关组

所以

r(

1

2

3

4)

2

(二)向量组的秩定义3

9(向量组的秩)

向量组

1

2

s的极大无关组所含向量的个数

称为向量组的秩

记为r(

1

2

s)

矩阵的行秩与列秩矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩

矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩

定理3

11(矩阵的秩与其行秩和列秩的关系)

A为m

n矩阵

则r(A)

r的充分必要条件是

A的列(行)秩为r

推论矩阵A的行秩与列秩相等

相关结论如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵

A

则

A的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系

即

矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系

例1

求向量组

1

(2

4

2)

2

(1

1

0)

3

(2

3

1)

4

(3

5

2)的一个极大无关组

并把其余向量用该极大无关组线性表示

对矩阵A

(

1T

2T

3T

4T)仅施以初等行变换

解

由最后一个矩阵可知

1

2为一个极大无关组

且

3

(1/2)

1

2

4

1

2

记r(

1

2

s)

r1

r(

1

2

t)

r2

例2

设向量组

1

2

s可以由向量组

1

2

t线性表示

证明

r(

1

2

s)

r(

1

2

t)

证

定理3

12(等价向量组的秩)

设有向量组

1

2

s(A)和

1

2

t(B)如果向量组(A)与(B)等价

则r(

1

2

s)

r(

1

2

t)

设r(

1

2

s)

r1

r(

1

2

t)

r2

因为向量组(A)

(B)可以相互线性表示

利用上面的例2

有r1

r2且r1

r2

故r1

r2

即

r(

1

2

s)

r(

1

2

t)

证

应注意

此定理的逆命题一般不正确

即秩相等的两个向量组未必等价

例3

设Am

n及Bn

s为两个矩阵

证明

A与B乘积的秩不大于A的秩和B的秩

即r(AB)

min(r(A)

r(B))

设A

(aij)m

n

(

1

2

n)

B

(bij)n

s

AB

C

(cij)m

s

(

1

2

s)

证

因此有

j

b1j

1

b2j

2

bnj

n(j

1

2

s)即AB的的列向量组

1

2

s可由A的列向量组

1

2

n线性表示

由定理3

11及例2有

r(AB)

r(A)

类似方法

可以证明r(AB)

r(B)

因此

r(AB)

m