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文档简介

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的十分重要的运算

它在解线性方程组、求逆矩阵以及矩阵理论的研究中起着重要作用

定义2

10(矩阵的初等变换)

对矩阵施以的下列3种变换

称为矩阵的初等变换

(1)交换矩阵的两行(列)

(2)以一个非零数k乘矩阵的某一行(列)

(3)把矩阵的某一行(列)的l倍加于另一行(列)上

定义2

11(初等矩阵)

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵

(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵

定义2

11(初等矩阵)

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵

(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵

(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵

定义2

10(矩阵的初等变换)

对矩阵施以的下列3种变换

称为矩阵的初等变换

(1)交换矩阵的两行(列)

(2)以一个非零数k乘矩阵的某一行(列)

(3)把矩阵的某一行(列)的l倍加于另一行(列)上

定义2

11(初等矩阵)

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵

(1)对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵

(2)对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵

(3)把I施以第(3)种初等变换得到的矩阵

定义2

10(矩阵的初等变换)

对矩阵施以的下列3种变换

称为矩阵的初等变换

(1)交换矩阵的两行(列)

(2)以一个非零数k乘矩阵的某一行(列)

(3)把矩阵的某一行(列)的l倍加于另一行(列)上

举例定理2

2(初等矩阵的作用)

设Am

n

(aij)m

n

(1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的m阶初等矩阵左乘A

(2)对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的n阶初等矩阵右乘A

举例定理2

2(初等矩阵的作用)

设Am

n

(aij)m

n

(1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的m阶初等矩阵左乘A

(2)对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的n阶初等矩阵右乘A

定理2

2(初等矩阵的作用)

设Am

n

(aij)m

n

(1)对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的m阶初等矩阵左乘A

(2)对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵

等于用同种的n阶初等矩阵右乘A

初等矩阵都是可逆的

且它们的逆矩阵仍是初等矩阵

定理2

3

任意一个矩阵Am

n

(aij)m

n经过若干次初等变换

可以化为下面形式的矩阵D

推论如果A为n阶可逆矩阵

则D

In

等价矩阵如果矩阵A经有限次初等变换可化为矩阵B

则称矩阵A与矩阵B等价

矩阵D称为矩阵A的等价标准形

定理2

4(矩阵可逆的充要条件)

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积

求逆矩阵的初等行变换法

作一个n

2n的分块矩阵(A¦I)

然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换

使子块A化为I

同时子块I即化成A

1了

即

解

解

解

由X

A

AX有

(I

A)

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