第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版

第16讲复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x轴,虚轴是y轴；与复数z二a+bi(a,bgR)对应的点是(a,b)；非零复数z二a+bi(a,bgR,a2+b2丰0)与复平面上自原点出发以点Z(a,b)为终点的向量0Z一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.f*!【特别提醒】:(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为(0，),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是I:实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.:(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是——对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax2+bx+c二0(a,b,cgR,a丰0)中的A=b2一4ac为根的判别式,那么1)A>01)A>0O方程有两个不相等的实根-b±pb2-4ac2ab(2)A=0O方程有两个相等的实根-亍;2a3)A<3)A<0O方程有两个共轭虚根-b±、：4ac—b2i2a在(3)的情况下，方程的根与系数关系(韦达定理)仍然成立．求解复数集上的方程的方法：设z二x+yi(x,ygR)化归为实数方程来解决(化归思想).把z看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数)，用复数的性质来变形(整体思想)．对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式(公式法)．/【注意】（1）在复数集C中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅!在实数集上有效；（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；:（3）齐二次实系数二次方程az2+加爲+迅2=0（a,b,cGR），将等式两端除以z2后,!Z将得到一个关于〜得实系数一元二次方程；（不作要求）!Z2I（4）虚系数一元二次方程ax2+bx+c二0（a丰0,ab，c至少有一个为虚数）■!①判别式判断实根情况失效；②虚根成对出现的性质失效；I；如x2-ix-2=0，虽然A=7>0，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.例题解析一、复数的几何意义例1.（2021•上海杨浦区•复旦附中高二期末）若复数”，z2满足Z]=z2=3,z+=3返，则|2Z]—打的值是.【答案】3、舌【分析】设复数所对应的向量分别为a，b，根据|zj=|z2|=3，|z+^1=3迈，利用平面向量的模的运算，由a+b2=|a|2+2a-b+b2，得到a-b=0，再由2a一b2=4|a|2一4a-b+b2求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a，b因为复数Z1，Z2满足|Z|=|^|=3，|Z+《I=3血，所以a=3，b=3，a+b=3>/2，所以a+b2=|a|2+2a-b+b2=18，即a-b=0所以a丄b所以2a一b2=4|a|2一4a-b+b2=45，解得2a-b=3运所以|2zi-z?的值是3招故答案为：K5例2.(2021•上海市松江二中高二期末)已知复数z满足|z+斗(x+2)2+(y-4)2=斗(x+2)2+(y-4)2=2，即(x+2)2+(y一4)2=4二在复平面内点z表示的是以(-2'4)为圆心，r=2为半径的圆.|z-1|表示的是点z与(1,0)之间的距离，圆心与点(1，°)之间的距离d=€(-2-1)2+42=5则Iz-1I的范围是[d-r，d+r]，即b,7]故答案为：b,7]例3.(2021•上海市西南位育中学高二期末)设O是复平面的原点，满足z-iI+1z-1I=巨的复数在复平面上所对应的点构成集合M，在M中任取不同的两点A和B，则ZAOB的最大值是.兀【答案】【分析】根据Iz-iI+1z-1I=41可以知道复数z在复平面所表示的轨迹，从而确定集合范围是【答案】b,7]【分析】设z=(x，y)，(x，y匸R)，由复数z满足1z+2-4i|=2，可得在复平面内点z表示的是以(-2,4)为圆心，丫=2为半径的圆.1z―11表示的是点z与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d.可得1z—11的范围是[d-r，d+r]【详解】解：设z=(x,y)，(x,yeR)••复数z满足Iz+2-4il=2

【详解】由Iz-iI+1z-11二迈可知，复数z表示在复平面内到P(0,1),Q(1,0)两点的距离之和为二2，而PQ二迈，所以复数z表示的线段PQ，因此集合m是表示线段PQ上的点，如下图所示：兀兀兀兀显然当ZAOB=ZpOQ=—时，ZAOB有最大值，最大值为—兀故答案为：-【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4.(2021・徐汇区•上海中学高二期末)已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根，求复数z的模的最小值.x+-Vx+-V-i，根据复数模的计算公kx丿【分析】根据题意，设xeR，且x丰0，得到z=式，得到|z|式，得到|z|=，进而可求出其最值.详解】由题意，可设xeR，且x丰0，则x2+x2+4+3iz=-|z|=2=Jx—+25+3迈x2即x=±匸5时取等号,25即x=±匸5时取等号,当且仅当x—=-x2故|z|=3^—min【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z二x+yi满足|z|=|z-2-2i|，则3x+3y的最小值是()A、18BA、18B、6D、2运~3~【难度】★★【答案】B例6.设复数z二(a+cosB)+(2a—sinO)i(i为虚数单位)，若对任意实数9,|z|<2，则实数a的取值范围为答案】[答案】[<5]【巩固训练】1.若复数z满足|z+1|+|z-1|=2，则|z+i—1|的最小值是【难度】★★【答案】1TOC\o"1-5"\h\zh32.设0为坐标原点，已知向量OZ、OZ分别对应复数乙、乙,z-+(10-a2)i,12121a+5z二二一+(2a-5)i(其中agR),若z+z是实数，求打的值。21-a122【难度】★★—332【答案】由z=—(10—a2)i,z+z=++[(a2—10)+(2a—5)]i1a+512a+51-a/.a2+2a—15=0,解得a=—5,或a=3,又分母不为零，…a=3=—1+i|z|=J222二、实系数一元二次方程例1.(2020・上海咼一课时练习)关于x的方程x2+ax+1=0(agr)没有实数根，则()．B．|a|=2C.B．|a|=2C.Ia1>2d.Ia1工2【答案】A分析】根据判别式小于0，可解得结果.【详解】因为关于x的方程x2+ax+1=0(agR)没有实数根,所以A=a2—4<0，所以IaI<2.故选：A.22【点睛】本题考查了实系数一元二次方程无实根的条件，属于基础题.例2.（2020・上海高二课时练习）方程x2—2x+k=0的一个根是2—i，则复数k的值为（）.A.1+2iB.5C.1—2iD.2【答案】A【分析】将根代入方程，再根据复数运算得结果.【详解】因为方程x2—2x+k=0的一个根是2—i所以(2—i)2—2(2—i)+k=0/.3—4i—4+2i+k=0/.k=1+2i故选：A.点睛】本题考查方程的根、复数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.例3.（2020・上海高二课时练习）设z「z是非零复数，且满足z2—y'3zz+例3.（2020・上海高二课时练习）设z「1122z<z1z<z12B.C.Iz|=|z12D•不确定答案】分析】z将方程两边同时除以答案】分析】z将方程两边同时除以zi，化为z的一元二次方程,2z利用求根公式求出：，再求2出其模，即可得到答案.出其模，即可得到答案.详解】因为z2—\3zz+z2=0，且z丰0详解】11222所以（亍2—朽-于+1=0，所以（22z73z73丄所以十—=±z22z朽丄1.所以亠=土厅Iz222=1=1，所以甘=1，所以1z121=1zI2故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质属于基础题.例4.（2020,上海咼一课时练习）当a>1时，方程x2+2x+a=0有两个根m,n，则ImI+InI的值为（）.A.2B.2aC.2、石D.2或2爲【答案】C【分析】根据判别式小于0,可知方程有2个共轭虚根，设m=c+di（c,deR），则n=c-di，根据韦达定理以及模长公式可得结果.【详解】因为a>1，所以A=4-4a<0所以n为两个共轭虚根，设m二c+di（c,deR），则n=c一di所以m+n=-2=2c,mn二a二c2+d2所以c=-1,a=1+d2所以1m1+1n|=|-1+di1+1-1一di1=、；1+d2++d2=、：'a+pa=2、：a.故选：C.【点睛】本题考查了虚根成对定理考查了复数的模长公式属于基础题.例5.（2020・上海咼二课时练习）对实系数一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）,下列结论不成立的是A.当b2-4ac=0时，有相等的根B.当b2-4ac<0时,有不相等的两虚根C•两根xC•两根x1,X2满足X1-X2bx+x=-—12acD.当一>0时，两根之积不一定为正a【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根的判别式可判断选项A,B；再由根与系数关系可判断选项CD.【详解】在实系数一兀一次方程ax2+bx+c—0（a丰0）中,当△二当△二b2-4ac二0时,方程有相等的根，所以选项A正确；方程有两不相等的共轭虚根，所以选项B正确；当△二b当△二b2—4ac>0时,方程两根x,x为—b2-4ac122a分析】由韦达定理求得x]分析】由韦达定理求得x]+x2,兀凡，代入计算.详解】由题意x1+x2-4，x1x2-1c此时叮x2=，珥+x2一a成立,2a当A=b2—4ac<0时，方程两根x,x为—b4ac—b22a12cb此时x•x=,x+x成立，所以选项C正确；12a12acc由x-x=，若一＞0，得两根之积为正数，所以选项D不正确.12aa故选：D点睛】本题考查实系数一兀一次方程根的判定，以及根与系数间的关系，属于基础题.例6.（2020北京市昌平区实验学校高一期中）方程x2—4x+1=0的两根为珥,x2，则11+=xx121所以x+匸二12TOC\o"1-5"\h\z1x1所以x+匸二1212==4.xx112故答案为：4．例7.（2020华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程2x2+4x—3二0的两个根为11xx则||—+—二12xx12【答案】322分析】利用韦达定理代入求解即可.【详解】由方程2x2+4x-3二0的两个根为xix2x+x=—212TOC\o"1-5"\h\z利用韦达定理得：］3,x-x=——I12211x+x41=2=xxx-x31212故答案为：4-例8.(2020・上海高二课时练习)已知a,卩是方程x2+(2—i)x+4+3i=0的两根，则答案】—5—10i分析】根据韦达定理以及配方法可求得结果.【详解】因为a,卩是方程x2+(2—i)x+4+3i=0的两根,以a+B=—(2—i)=—2+i,a0=4+3i所以a2+B2=(a+B)2—2aB=(—2+i)2—2(4+3i)=—5—10i.故答案为：—5—10i点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理，属于基础题.x+x12=3，则a=例9.=3，则a=x2—2ax+a2—4a+4=0两个虚根为x,x?，且【答案】2【分析】根据关于x的实系数的方程有两个虚根，由A<0解得a的范围，再根据3|xj+|xj=3及两根互为共轭，由=、：a2—4a|xj+|xj=3及两根互为共轭，由【详解】由A=16a—16<0，得a<1因为x因为x1+x=3，3所以lxl=lxI=a2—4a+4=-12277即a2—4a+=0417解得a-或2（舍）-1所以a=--故答案为：2例10.（2020・上海市金山中学高一期中）已知a>°，t，x2为方程x2+2x+a二0的两个实11数根，则；T+丁的取值范围为xx12【答案】（-©-2111【分析】由判别式不小于0得出a的范围，由韦达定理得出現+x2,現x2，扌巴+转化1212xx12为a的函数后可得结论主．【详解】由题意A=4—4a>0，a<1，又a>01/.0<a<1.>1ax+x=—2，xx=a，1212=三<-211x+=三<-2—+—=2xxxx1212故答案为：（—s，-2].例11.（2020・上海高一开学考试）若关于x的一元二次方程2X2-2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2）2+2k（1-k）的值为.【答案】321【分析】一元二次方程有两个相等的实数根则A=0，列出方程化简可得k2+2k=，所求等式展开配凑即可得解.【详解】•••关于x的一元二次方程2x2-2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，1a=（-2k）2-4x-x（i-4k）=0,21整理得，2k2+4k_1=0,即k2+2k=石2:.(k-2)2+2k(1—k)二k2-4k+4+2k-2k2二-k2-2k+4=-(k2+2k)+4=--+4=3122故答案为：32【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，属于基础题.例12.(2020・上海高二课时练习)若xi,x2为方程X2-x+7二0的两个根，则兀1-叮=——-【答案】27【分析】在复数范围内解方程，代入计算得到答案.【详解】x2-X【详解】x2-X+7=0，故廿呼1-3j3ix=—22=27.2二3问2二故答案为：27.【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.例13.(2020・上海高二课时练习)实系数方程ax2+bx+1=0有纯虚根的充要条件是【答案】b二0,a>0【分析】根据一元二次方程的求根公式以及充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】充分性：若b二0,a>0，则ax2=-1-b±Jb2-4ax=2a即x2=-丄，解得x=±i，所以实系数方程-b±Jb2-4ax=2a必要性：实系数方程ax2+bx+1=0若方程ax2+bx+1=0有纯虚根，贝I」b=0，b2-4a<0所以a>0，即b=0，a>0.故答案为：b=0，a>0

点睛】本题考查了复数的概念、充要条件的定义，属于基础题.例14.(2020•上海高二课时练习)已知复数2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的—个根，向量m=(b，c)，n=(8,t)，求实数九和t，使得m=九n.【答案】X=-1，t=-10【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出b,C，再根据向量共线可求得结果.【详解】2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，•••2+i也是方程的根.则b=-[(2-i)+(2+i)]=-4,c=(2-i)(2+i)=5.m=(-4,5)由m=九n，得(-4,5)=X(8,t).X=-—2t=-10-4=X=-—2t=-10二<5=Xt故答案为：X=-1,t=-10.【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.例15.(2018•上海市金山中学高二期中)设复数z=(a2-4sin20)+2(1+cos0)-i，其中aeR,0g(0,兀)，i为虚数单位•若z是方程x2-2x+2=0的一个根，且z在复平面内对应的点在第一象限，求0与a的值.2兀r【答案】0=-,a=±2【分析】先计算出方程的复数根，再利用复数相等得到0满足的方程组，解这个方程组可以得到0与a的值.【详解】解：方程x2-2x+2=0的根为x=1±i.a2-4sin20=1又z在复平面内对应的点在第一象限，故z=1+i，所以2(1+cos0)-1-解得cos0=-2•又0e(0,兀)，故0=―^•从而a=±2•所以0=―^,a=±2.点睛】(1)实系数的一元二次方程必有两个复数根且它们是共轭复数.

2)两个复数相等的等价条件是它们的实部与虚部分别相等.例16.在复数范围内分解因式：2x2+2x+3【难度】★【答案】2x2+2x+3二2[x-"2+庾丫例17.已知方程x2—3x+5m二0(mgR)，求方程的解.【难度】★【答案】A=9—【难度】★【答案】A=9—20m当A>0时，当A=0时，当A<0时，9

即m<时,209

即m=时,203±J9—20mx=23x=；2即m>-时,203±J20m-9-ix=2例18已知a,卩是实系数元二次方程例18已知a,卩是实系数元二次方程ax2+bx+c=a2a0的两个虚根，且pGR，求—的值.答案】a2•••0GRa2a2—2a2•=——=…———a——即a3——3=0例19.已知x,x是实系数方程x2+x+P=0的两个根，且满足1x一x|=3，求实数p的1212值.【难度】★★【答案】A=1—4p，

1(1)当A>0时，即p<-时，x,x是实根，.•.Ix—xl=(x+x)2—4xx=3，即1(2)当1(2)当A<0时，即p>时，x,x是共4123・•・Ix—xl=l2bil=2Ibl=3nb=±-122轭虚根，设x=a+bi(a,bgR)，则x=a一bi121由x+x=2a=—1，得a=—.从而122P=X1X2=iX1I2=2综上，p=—2或2例20已知a,P是实系数一元二次方程x2-mx+3二0的两个根，求IaI+1PI的值.【答案】A二m2-12(1)当An0时，即m>2、；3或m<—2\/3时，ap=3>0,/.IaI+1Pl=la+P1=1mI(2)当A<0时，即一2営3<m<2空3时，IaI+1PI=2IaI=2JaP=2\.：3z例21.已知复数z,z满足Izl=2，Izl=1，Iz—zl=2，求f.121212z2【答案】Iz—zI2=(z—z)(z—z)=z-z—z-z—z-z+z-z=412121211121222zz:.1-z-z+T-z-z=1z22z1121zz-+=1zz21z=z=Tz2令t=二，则t+41=1zt・•・•・t=-土主i22旳z=1/.即1—±iz222例22.(1)方程x2—px+k=0(pgR)有一个根为1+2i，求实数k的值;(2)方程x2-4x+k二0有一个根为1+2i，求k的值.【难度】★【答案】(1)由题意：另一个根为1—2i,・・・k二(1+2/)(1-2i)二5(2)由题意(1+2i)2—4(1+2i)+k=0nk=7+4i例23.关于x的方程x2-(2a-bi)x+a-bi=0有实根，且一个根的模是2,求实数a、b的值.【难度】★★厂.t2—2at+a=0,【答案】设t(twR)是方程的一实根，则(t2—2at+a)+(bt-b)i-0.则\bt—b=0.(1)当b=0时，此方程为x2—2ax+a=0①有实根，A>0即a>1或a<04当根为2时，4—4a+a=0.得a=34当根为—2时，4+4a+a=0.得a=—当根为—2时，5②有一对共轭虚根即0<a<1.模为2，即有a=4(舍).(2)当b丰0时