图像变换的不变性与偏微分方程

第六章图像变换的不变性与偏微分方程讨论具有单调和对比不变的图像变换，即形态学算子(基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像的分析和识别的目的，其基本元算有四个：膨胀、腐蚀、开启、闭合)，重点介绍：膨胀、腐蚀和中值算子。然后依次赋予形态学算子平移不变性、欧氏不变性和仿射不变性，并讨论它们的微分性质，导出相关的偏微分方程。6.1形态学算子—单调和对比不变的图像变换6.1.1定义前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由R2→R的特殊函数组成的函数空间，并记为F。图像变换T是作用在F上的一个算子，即T将一副图像u变换为另一幅图像Tu。图像水平集之间的变换，是对于F中所有函数，Y表示在F所拥有的所有水平集，即

Y={clu;u∈F,l∈[0,1]

}这是一个由R2的子集组成的集合族。对于图像变换T，引进算子T′作用在Y上，它将一个水平集X转换为另一个水平集T′X，即

T′:X∈Y→T′X∈Y定义1：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两两幅图像u,v∈F

u≥v⇒

Tu≥Tv集合算子T′是单调递增的，如果对于任意X,Y∈YX⊂Y⇒T′(X)⊂

T′(Y)定义2：图像变换T是对比不变的，如果对每一个连续对比变换g，对任意的u∈F

，都满足g(u)∈F

和

g(Tu)=T(g(u))同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形态学算子。可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：其中B是包含原点的闭集，x+B={x+z;z∈B}。假设，由于x+B为闭集，∃z∈x+B，满足u(z)=a，而

u(y)≤u(z),∀y∈x+B又因为对比变换g是单调递增的，所以

g(u(y))≤

g(u(z))=g(a)

∀y∈x+B即，对图像g(u)满足对比不变定义

D(gu(x))=g(a)=g(Du(x))对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像u的值域，即

R(u)={s∈[0,1],∃x,u(x)=s}

其中

Ru是包含R(u)的最小闭集。定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像u，R(Tu)⊂Ru，特别的，如果图像u只有有限个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。证明：考虑一连续单调递增函数g，满足g(s)=s，当

s∈Ru时。否则，g(s)﹥s。定义：

g(s)=s+d(s,Ru)∕2其中d(s,X)表示s到X距离。当且仅当

s∈Ru时，有

d(s,Ru)=0因此，当且仅当s∈Ru时，g(s)=s，所以g(u)=u。因为T是对比不变的，所以

Tu=T(g(u))=g(Tu)因此(Tu)(x)∈Ru

。■定义3：一个图像变换T是灰度平移不变的，如果对任意的常数C，有

T(u+C)=Tu+C如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x)是R2上的Lipschitz函数，那么Tu(x)也是Lipschitz函数，并且Tu(x)的Lipschitz常数比u(x)的Lipschitz常数小。Lipschitz常数定义：如果函数u满足

|u(x)–u(y)|﹤k|x-y|,∀x,y则u为Lipschitz函数，k为u的Lipschitz常数。证明：假设u的Lipschitz常数为K。对任意的x,y,z有

|u(x+z)-u(y+z)|≤K|x-y|u(y+z)-K|x-y|≤u(x+z)≤u(y+z)+K|x-y|因为T单调，考虑上面关于z的函数，有

T(u(y+z)-K|x-y|)≤Tu(x+z)≤T(u(y+z)+K|x-y|)注意到取z=0,有T(u(y+z))=(Tu)(y)，用T的灰度平移不变性（将K|x-y|看做C）得

Tu(y)-K|x-y|≤Tu(x)≤Tu(y)+K|x-y|。

|Tu(x)-Tu(y)|≤K|x-y|■6.1.2从形态学算子到集合算子记集合X⊂W上的特征函数为1x，即1x也被认为是一个图像函数，即1x∈F

。借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算子）T衍生出一个集合变换T′。定义4：令T是一个单调、对比不变的图像变换，定义T的伴随集合算子T′为

∀X⊂

W,1X

∈FT′(X)=c1(T(1X))另外

T′(F)=F,T′(W)=W如果T作为函数是单调的，那么T′作为集合变换也是单调的。因为

X⊂

Y⇒1X

≤1YT作为单调的图像变换，使单调性得以保持

T(1X)≤T(1Y)定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数gl(s)定义为,如果s≥l，则gl(s)=1；否则gl(s)=0。那么T几乎处处和每一个阈值函数相交换，即

gl

(Tu)=T(gl

(u))对l,x几乎处处成立。证明：定义则gel(s)是对比变换（连续、单调递增的），且gel(s)≥gl，于是同样的方法，用不减函数

g

el

≤

gl，可证明

T(gl(u))≥g-l(Tu)其中，g-l(s)=1，当s﹥l

时；

g-l(s)=0，当s≤l时。因此，有

gl(Tu)≥T(gl(u))≥

g-l(Tu)我们考虑可数因而可忽略的子集∧∈R，所有的l

满足

meas({x,Tu(x)=l})﹥0对于l∈R\∧

，有g-l(Tu)=gl(Tu)几乎处处成立。这样对几乎每一个l，会得到

T(gl(u))=gl(Tu)几乎处处成立。■定理4：T是定义在图像函数集合F

上的单调对比不变算子，1x∈F

。T的伴随集合算子为T′，则T′是单调的，并且∀u∈F

有

T′(clu)=cl(T(u))*对l,c几乎处处成立。并且

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}**对x几乎处处成立。另外，

T′(F)=F,T′(W)=W几乎处处成立。*式说明图像变换后的水平集是原图像水平集（并且是同一个l）在伴随集合算子作用下的结果。T′(F)=F

说明当l=1时，*式成立；T′(W)=W

说明当l=0时，*式成立。这里涉及到水平集和最大值表示公式：

cl(u)={x∈W;u(x)≥l}u(x)=sup{l;x∈cl(u)}证明：根据T′的定义，显然有

1clu

=gl(u)

c1(gl(v))=clv并且T和gl几乎处处可交换。由定理3，得到：

T′(clu)=c1(T(1clu

))=c1(T(gl(u)))=c1(gl(Tu))=cl(Tu)对于x,l﹥0几乎处处成立。由T′(clu)=cl(Tu)知T′(clu)是Tu的水平集。那么显然**式成立。令u是一个常函数0，对于l﹥0，有clu=F

。利用*式，有

cl(Tu)=T′(clu)=T′(F

)对∀l﹥0几乎处处成立。而且，由于对比不变算子T和常函数0相交换，因此Tu=0，并且对l

﹥0，cl(Tu)=F，则有T′(F)=

F几乎处处成立。同理可证T′(W)=W。■定理说明：如果图像变换T是单调且对比不变的，那么计算Tu可以通过一下算法实现：（1）计算u的所有水平集cl(u)(l∈[0,1])；（2）对每一个水平集cl(u)，用T的伴随集合算子T′作用，得到T′(cl(u))；（3）用最大值表示公式得到Tu,整个过程如下。这种算法适用于T难以实现，而T′容易计算的情况。6.1.3从集合算子到形态学算子考虑，给定一个单调的集合算子T′是否可以得到一个对比不变的单调图像变换呢？自然的思路就是令

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}定理5：令T′是一个Y→

Y单调算子，满足

T′(F)=F

,T′(W)=W那么，可以定义图像变换

Tu(x)=sup{l,x∈T′(clu)}对于所有的l，满足

cl(Tu)=T′(cl(u))则对几乎所有的

l

∈Rg(Tu)=T(g(u))证明：对每一个l

，我们有

cl(Tu)=T′(cl(u))即对∧∈R中的所有l满足meas(R\∧)=0。注意到u≤v当且仅当clu⊂

clv，对R的一个稠密可数子集合上的所有l

，可得T是单调的

cl(Tu)=T′(cl(u))≤T′(cl(v))=cl(Tv)Tu≤Tv下面证明，T和对比变换相交换。假设g是严格增加的，设和，对于l﹥g(+∞)有clg(u)=F，因此，T′(clg(u))=

F；对于

l﹤g(-∞)有clg(u)=RN，因此T′(clg(u))=RN

。T(g(u(x)))=sup{l,g(-∞)≤l≤g(-∞),x∈T′(clg(u))}=sup{g(m),x∈T′(cgg(u))}=sup{g(m),x∈T′(cmu)}=g(Tu(x))下面验证T和一般的不减对比变换g相交换。严格增加连续函数gn和hn满足

gn(s)→g(s)，hn(s)→g(s)对所有的s和gn≤g≤hn。因此由上面结论有

T(g(u))≥T(gn(u))=gn(Tu)→g(Tu)T(g(u))≤T(hn(u))=hn(Tu)→g(Tu)可以推出

T(g(u))=g(Tu)。■6.1.4应用实例：“ExtremaKiller”算子“ExtremaKiller”算子是一个图像光滑算法，作用是去除图像中的“峰（peak）”——孤立的水平集，尤其对椒盐噪声效果显著。算法如下：（1）假设一个集合X有若干连通区域组成定义一个集合变换T′b(X)=Xb，而（2）ExtremaKiller图像变换定义为

Tbu(x)=sup{l

,x∈T′b(clu)}*式定义了集合算子是ExtremaKiller变换的伴随集合算子，即

cl(Tbu)=T′b(clu)噪声图像killer算子作用后图像（改进的ExtremaKiller）6.2平移不变的形态学算子主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算子，也就是平移不变的单调集合算子。记平移为tx，且满足（1）对于集合X：

txX=x+X={x+y|y∈X}（2）对于图像u：

(tx)u(y)=u(y-x)其中x不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。定义5：集合算子T′是平移不变的，如果

tx(T′(X))=T′(txX)定义图像变换是平移不变的，如果

tx(T(u))=T(txu)定理6：（Matheron）令T′是平移不变的单调集合算子，那么存在一个集合族B

B={X,0∈

T′(X)}其中0是R2中的原点，T′满足其中X-y=X+(-y)。相反*式也定义了一个单调、平移不变的集合算子。证明：先看*式等价于利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系第五个等价性质成立理由是：如果B⊂X，并且B∈B那么X∈B

，因为B∈B

，即{B,0∈T′(B)}又因为B⊂X，则有{X,0∈T′(X)}→X∈B就有。相反的，如果算子通过*式定义，显然是单调和对比不变的。■定理7：F是图像函数空间，Y是F中所有水平集的集合。假设对比不变下是稳定的，并且包含了T中所有元素的特征函数。令T′是T的伴随集合算子。如果∀x∈R2，集合族Bx={X,x∈T′(X)}那么∀u∈F有：对x几乎处处成立。其中B=B0{X,0∈T′(X)}另外，如果T′是位移不变算子，则相反的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该算子是单调和对比不变的。证明：令

其中Bx={X,x∈T′(X)}x以下证明

Tu(x)=Tu(x)几乎处处相等。选择一个可数的稠密y∈[0,1]，满足∀l∈y,clTu(x)=T′(clu)(x)对x∈RN﹨Nl成立。（对比下稳定——定理4）这里Nl的Lebesge测度为0。设N=∪Nl

，则N的Lebesge测度也为0。为证明定理，先证明对所有的l∈y和所有的

x∈RN﹨Nl，有：（即处处相等了）

Tu(x)≥l⇔Tu(x)≥l对任意l,m∈y，我们有：第五个等价关系：因为如果B∈B

并且B∈Bx则

X∈Bx。

{B,0∈T′(B)}、{B,x∈T′(B)}因为B⊂X则有

{X,0∈T′(X)}、{X,x∈T′(X)}=B

x那么，如果某些B∈B

x,那么一定有B⊂cmu

，就也有cmu∈B

x，于是证明了提出的命题。■布尔代数（BooleanAlgebra）中有个著名的结论：如果T是一个supinf形式的算子，那么T也具有infsup的形式，即此时的B

′与supinf形式中的B

是不同的。定理8：如果T是平移不变的形态学算子，那么它的伴随算子集合T′可以通过一下公式来定义，证明：T满足定理7，并且可以延拓到F中函数的所有水平集。很容易由定理7推出定理6的结果。■对于X的特征函数1x，则

,当x+B

X

,当x+B

X于是，当且仅当∃B∈B

满足

x+B⊂X和定理6。6.3形态学算子：膨胀和腐蚀算子6.3.1定义定义6：X是R2中一子集，t≥0是一尺度参数。称Dt是基于一个集合B和尺度参数t的膨胀，如果其中集合B称为结构元素。同样，Et表示结构元素B的尺度参数t的腐蚀公式说明Dt和Et是平移不变的单调集合算子，满足定理6，此时B

中只含有一个元素tB。例2：（1）如果结构元素B={x0}是仅仅包含一个点的集合，那么DtX=X+tx0是一个平移算子。相应的，EtX=X-tx0也是一个平移算子。（2）如果结构元素B是一个圆心在原点半径为1的开球D(0,1)，那么DtX就是X的t-领域，即与X的距离小于t的所有点的集合。(3)令B=D(0,1)，则定理9：（1）Dt(Xc)=(EtX)c其中Xc=R2/X；（2）如果结构元素为D(0,1)，那么Dt，Et是旋转不变的，即它们和旋转运算可以交换；（3）Ds+t=DsDt（Es+t=EsEt），当且仅当结构元素B是凸的。证明：（1）（3）首先证明任取B,(t+s)B=tB+sB当且仅当B是凸的。因为tB+sB={sx+ty|x,y∈B}，所以∀z∈tB+sB,∃x,y∈B，满足而(s+t)x和(s+t)y都属于(s+t)B，又因为B是凸的，所以(t+s)B=tB+sB。反过来，如果(t+s)B=tB+sB成立，那么对于任意的x,y∈B,存在z∈B，满足(s+t)z=sx+ty，也就是所以B是凸的。注意到

DtDsX=(X+sB)+tB=X+sB+tBDs+tX=X+(s+t)B根据上面的结论，Ds+t=DsDt成立当且仅当它们的结构元素B是凸的。同样的结论也适用于腐蚀算子。■定义7：u是一副图像，称Dt是基于结构元素B和尺度参数t的膨胀变换，如果类似，基于结构元素B和尺度参数t的腐蚀算子Et被定义为上面的定义说明Dtu(x)具有infsup的形式，即而B

只含有tB一个元素，所以Dt是一个平移不变的形态学算子，Et亦然。定理10：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果B是关于0对称的，那么

-Et(-u)=Dt(u)证明：第三个等号是由于B的对称性。原图对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀）

结构元素是圆盘I=imread('star.bmp');subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;[w,h]=size(I);r=10;fori=r+1:w-rforj=r+1:h-rmin=256;forx=-r:rfory=-r:rifsqrt(x*x+y*y)<r&I(i+x,j+y)<minmin=I(i+x,j+y);endendendJ(i,j)=min;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);I=imread('star.bmp');subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;[w,h]=size(I);r=10;fori=r+1:w-rforj=r+1:h-rmax=0;forx=-r:rfory=-r:rifsqrt(x*x+y*y)<r&I(i+x,j+y)>maxmax=I(i+x,j+y);endendendJ(i,j)=max;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);

原图膨胀腐蚀I=imread('girl.bmp');subplot(1,3,1),imshow(I);se=strel('disk',4);D=imdilate(I,se);subplot(1,3,2),imshow(D);E=imerode(I,se);subplot(1,3,3),imshow(E);从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨胀和腐蚀都不可能成为一个好的滤波器，因为膨胀是图像变亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加了黑色区域）。但经过一些组合可以产生很好的滤波效果。

开运算：先对图像进行腐蚀然后再膨胀；

闭运算：先对图像进行膨胀然后再腐蚀。例如：

T′

=Dt。Et。Et。DtT″=Et。Dt。Dt。Et原图腐蚀膨胀、腐蚀膨胀、膨胀、腐蚀腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀原图膨胀腐蚀、膨胀腐蚀、腐蚀、膨胀膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存在以下关系：（1）令图像膨胀变换的结构元素为{-tb，b∈B}，（2）令集合膨胀算子的结构元素为B，由于此时

Dt(clu)=cl(Dtu)所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随集合算子。所以有：Dt(clu)=cl(Dtu)6.3.2偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子记其中<,>表示内积，当B=D(0,1)时，||·||B就是Euchlid范数。定理11：（Laxformula）如果u(t,x)=Dtu0(x)，并且结构元素B是凸的，那么u(t,x)满足

∂u∕∂t=||Du||-B其中u对x两次可微。对应的，如果u(t,x)=Etu0(x)，那么u(t,x)满足∂u∕∂t=-||Du||-B其中u对x两次可微。证明：先看在t=0时的性质。假设u0在x处是C2的，已知

u(t,x)=Dtu0(x)，u(0,x)=u0(x)所以既然u0在x处是可微的，那么两边同除以h，并令h→0，得到（t=0时成立）下证对于任意尺度t时具有同样的关系：由于B是凸的，因此Dt+h=DtDh=DhDt，所以

u(t+h,x)-u(t,x)=Dh(u(t))(x)-u(t)(x)两边同除以h，并令h→0，由上面的结果且用u(t)代替u0，就得到一般的结果。■6.3.3膨胀和腐蚀算子的离散算法膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算子的伪代码。已知图像u的分辨率为m×n，u[i,j]（i=1,…m,j=1…n）表示在[i,j]处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，V[i,j]表示运算的结果：Dilation(u,B,t)FORx0=1tomFORy0=1tonFOREACH(tB中的像素点p)

得到p的坐标(px,py)

将u[x0+px,y0+py]的灰度值存入数组array中求array中的最大值max_array

令V[x0,y0]=max_arrayENDFOREACHENDEND6.4形态学算子：中值算子6.4.1定义首先假设图像u的所有水平集都是Lebesgue可测的。权函数k(y)满足集合B的k-测度为定义8：令X是R2的一个可测子集，k是权函数。称X的中值集（k加权）并用medkX来表为

medkX={x,|X-x|k≥1/2}定理12：算子medk:Y→Y是单调的算子并且满足集合连续性质，即，如果(Xl)l∈R是一个递减的可测集合，并且满足

Xl=∩m﹤lXm,∀l∈R那么medk(Xl)=∩m﹤lmedk(Xm)证明：由medk的定义知其是单调的，

X⊂Y→X-x⊂Y-x→所以medk(Xl)⊂∩m﹤lmedk(Xm)反过来，令

x∈∩m﹤lmedk(Xm)由medk的定义可得

∀m,|Xm

-

x|k

≥1∕2因为Xm是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根据实变函数中的Lebesgue极限收敛定理

|Xm

-

x|k→|Xl

-

x|k并且|Xl

-x|k≥1/2，再由medk的定义，有x∈medkXl即

medk(Xl)⊃∩m﹤l

medk(Xm)■其中可测，且其中可测，且则有若定义9：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素B，其定义为显然，medk(u)是个supinf型的，是一个平移不变的形态学算子。如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都记为medk。medk作为一个单调的集合算子，可以用最大值表现公式扩展到一个图像的变换T（定理4）

Tu(x)=sup{u(x)|x∈medk(X)}同时满足cl(Tu)=medk(clu)由于medk作为一个单调、平移不变的集合算子，所以T是一个单调的、对比不变的变换，根据定理7其中B={B,0∈medk(B)}。所以有：定理13：medk是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。6.4.2中值算子的离散算法已知图像u的分辨率为m×n，u[i,j]（i=1,…m,j=1…n）表示在[i,j]处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，V[i,j]表示运算的结果：Median(u,B,t)NB=结构元素B的像素数目FORx0=1tomFORy0=1tonFOREACH(B中的像素点p)

得到p的坐标(px,py)

将u[x0+px,y0+py]的灰度值存入数组array中对array进行排序，排在第（NB/2+1）的值med_array

令v[x0,y0]=med_arrayENDFOREACHENDEND噪声图像及32：32：224水平线中值滤波后图像及32：32：224水平线Matlab源码：Image=imread('lena.bmp');subplot(2,3,1),imshow(Image);I=imnoise(Image,'salt&pepper',0.05);subplot(2,3,2),imshow(I);L_s_I=Level_Set_Line(I,32,32,256);subplot(2,3,3),imshow(uint8(L_s_I));M=medfilt2(I,[3,3]);subplot(2,3,5),imshow(M);L_s=Level_Set_Line(M,32,32,256);subplot(2,3,6),imshow(uint8(L_s));6.5欧氏不变的形态学算子6.5.1定义和微分性质记

H[a]=T[x1+ax22](0)其中T[x1+ax22]表示T(u)，u=x1+ax22。如果T是单调的，那么H也是单调的。定义

Th[x]=h·T[x]=h·H[0]Th[x1+ax22](0)=h·T[x1+h·ax22](0)=h·H[a·h]用D(0,M)表示圆心在0，半径为M的圆。定理14：令B

是一族R2有界子集族（∀B∈B

，B∈D(0,M)）并且是各向同性的（∀B∈B

，RB∈D(0,M)，R是一个旋转变换）。令和相关的带参数h的变换那么，对于任意C2的函数u，有

(Thu)(x)=u(x)+h·T[x](0)·|Du|(x)+O(h2)证明：由于T(u-u(x))=Tu-u(x)，不失一般性，令u(x)=0。因为T是平移不变和旋转不变的，选择图像支撑集W的左下角定位在x，两个轴的方向(i,j)定义为所以，对y=(y1,y2)，Talyor展开有