数字图像 第3章的

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3.1图像的几何变换

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3.2图像的离散傅立叶变换

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3.3图像变换的一般表示形式

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3.4图像的离散余弦变换

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3.5图像的离散沃尔什－哈达玛变换

◆3.6K-L变换

◆3.7本章小结第3章图像变换

图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。图像信息的频域处理具有如下特点:(1)能量守恒，但能量重新分配；(2)有利于提取图像的某些特征；(3)正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码；(4)频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等。

概述◘图像的几何变换包括:

图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。◘图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。

3.1图像的几何变换◘图像几何变换的一般表达式

:

其中，为变换后图像像素的笛卡尔坐标，为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果，，则有，即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。3.1图像的几何变换◘平移变换

:若图像像素点平移到，则变换函数为

，写成矩阵表达式为：

其中，和分别为和的坐标平移量。

3.1图像的几何变换3.1图像的几何变换◘比例缩放

:若图像坐标缩放到（)倍，则变换函数为：

其中,分别为和坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。3.1图像的几何变换◘旋转变换

:

将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转角度，则变换后图像坐标为：图像旋转变换的示例

:(a)原始图像(b)逆时针旋转30度后的图像3.1图像的几何变换◘仿射变换

:仿射变换的一般表达式为:平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。仿射变换具有如下性质：（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。（2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。（3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。3.1图像的几何变换上式可以表示成如下的线性表达式

:设定加权因子和的值，可以得到不同的变换。例如，当选定，，，该情况是图像剪切的一种列剪切。

（a）原始图像（b）仿射变换后图像3.1图像的几何变换◘透视变换

:把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为:透视变换也是一种平面映射，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。3.1图像的几何变换◘灰度插值

:(1)最近邻插值法：也称作零阶插值，就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。

特点：造成的空间偏移误差为像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。(2)双线性插值:也称作一阶插值,该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。

3.1图像的几何变换◘灰度插值

:(3)卷积插值法:当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。

输入图像邻域插零的邻域

一般低通模板有：

柱形棱锥形钟形三次B样条3.1图像的几何变换(a)原始图像

（b）最近邻插值放大图像

（c）双线性插值放大图像

（d）三次B样条插值放大图像插值放大示例：图像的剪切傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念

令为实变x的连续函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：（1）有有限个间断点（2）有有限个极值点（3）绝对可积

则有以下二式成立：上式中x为时域变量（空间域），u为频率变量，i为虚数单位，通常称上式为傅立叶变换对。傅立叶变换的定义及基本概念因x为时域变量（空间域）故第一式：为逆变换，而且它们可以互为逆变换：是影像函数的傅立叶变换。第二式：傅立叶变换的定义及基本概念通常数字影像是一个实函数，故只考虑实函数的情况，然而，函数的傅立叶变换通常是一个复数，它可表示为：式中R（u)和I(u)分别是F（u)的实部和虚部。傅立叶变换的定义及基本概念上式也可以表示为指数形式：式中：

傅立叶变换的定义及基本概念幅函数被称为的傅立叶谱，而为相角。傅立叶谱的平方：一般称为的能量谱（功率谱）傅立叶变换的定义及基本概念推广到二维函数：式中，u,v是频率变量傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的实部与虚部傅立叶谱相位谱：能量谱（功率谱）：

傅立叶变换的定义及基本概念3.2图像的离散傅立叶变换◘一维离散傅立叶变换（1D-DFT）:1D-DFT的定义

：对于有限长序列,其DFT定义为：，1D-DFT的矩阵表示

：3.2图像的离散傅立叶变换其中：，，其中的称为变换矩阵。从的构成形式可知，是对称的，即又由，则称为酉矩阵，且，而1D-DFT就称为正交变换。同理可得到反变换的矩阵表示：3.2图像的离散傅立叶变换◘二维离散傅立叶变换（2D-DFT）1、2D-DFT的定义:

其中，都是整数，

它们的取值范围:

2、几个相关参数:傅立叶变换表示为复数形式:上式也可表示成指数形式：通常称为的频谱或幅度谱，为相位。，频谱的平方称为功率谱，即:3.2图像的离散傅立叶变换3、2D-DFT的性质

:（1）变换核的可分离性：

在离散傅立叶变换中，称为变换核，将代入2D-DFT定义式的正变换中，得

该性质说明2D-DFT可通过两次1D-DFT完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT：或3.2图像的离散傅立叶变换（2）移位特性：若，则：a.空间移位:b.频域移位:c.移位时幅度不变:

，d.频谱中心化:令，则即使的频谱从原点移到中心。

（a）原图像（b）|F(u,v)|的示意图（c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意图3.2图像的离散傅立叶变换（3）周期性和共轭对称性：a.周期性:

其中和为整数。b.共轭对称性:图像为实函数，则具有共轭对称性，即:（4）旋转不变性:若用极坐标,则以及其傅立叶变换就可以转化为和，这样，则

3.2图像的离散傅立叶变换

从上式可见，空域中函数旋转角度，它的傅立叶变换也旋转同样大小的角度，反之亦然。（a）原始图像（b）频谱（c）图像旋转45o（d）图c的频谱（5）实偶函数的DFT:

若,则，仅有余弦项的实部。3.2图像的离散傅立叶变换

（6）实奇函数的DFT:

若,则

，仅有正弦项的虚部。（7）线性性:若和是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即（8）比例性（尺度变换）:若和是标量，，则

3.2图像的离散傅立叶变换（9）平均值:数字图像的平均值可以定义为:将代入公式，有:故。

（10）卷积定理:

3.2图像的离散傅立叶变换其中：

3.2图像的离散傅立叶变换

（11）相关定理：其中：3.2图像的离散傅立叶变换

2D-DFT的计算

根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT可用两步1D-DFT来实现，而1D-DFT有快速算法FFT，这也就说明2D-DFT就可用FFT来完成，即Fourier变换示意图Fourier变换的频率特性

Fourier变换的低通滤波Fourier变换的高通滤波基于Fourier变换的压缩另一幅图像效果压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1基于Fourier变换的压缩压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：13.3图像变换的一般表示形式

前面介绍的2D-DFT只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。

1.图像变换的一般表达式其中和分别称为正、反变换核。

2.正交变换将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为其中的称为变换矩阵。3.3图像变换的一般表示形式正交变换矩阵及其主要性质

a.定义:[定义1]若阶实数矩阵满足,则称为正交矩阵；[定义2]若阶复数矩阵满足,则称为酉矩阵。

其中，表示的转置，表示的共轭，表示单位