2021年上海市宝山区高考数学二模卷详解版

2020学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；可使用符合规定的计算器答题.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1題至第6题每题填对得4分，否则一律得寒分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得寒分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.TOC\o"1-5"\h\z抛物线y^8x的焦点到准线的距离为 .不等式|xi|<2的解集为 .若关于x,y的方程组f；：；：有无穷多组解，则m+n的值为 •若-1+迈i(i为虚数单位)是方程x?+bx+c=0(b、cGR)的一个根，则c-b= .已知常数mER,若函^f(x)=2xm的反函数的图像经过点(4,2),则/= ・设无穷等比数列化｝的公比为m,若lim(x6-x7+—+xj=x4t贝ljm= 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为 •7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为 •左视图8.在(l+x)8(l-x)9的展开式中，x"项的系数为 (结果用数值表示).9.如图，点M9.如图，点M为矩形&BCD的边BC的中点,AB=1.BC=2・将矩形43CD绕直线力D旋转所得到的几何体体积记为乞，将3CD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为匕，则寺的值为 “21().为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率是 (结果用最简分数表示).TOC\o"1-5"\h\z3 111.设函= - (a£R),若函数y=4/(x)+5的零点为4,则使得8/(n2-3)+63^0X~\o成立的整数n的个数为 •12.如图，若同一平而上的四边形PQRS满足：mn^=n(l-3m)^12.(m>0、n>0),贝lj当"RS的面积是\PQR的而积的扌倍时，石刍的最大值为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.设xWR,则“x>3”是恢2>9”的 ().(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件用系统抽样的方法抽取一个容量为)•14-某班有学生40人，将这40人编上1到用系统抽样的方法抽取一个容量为)•4的样本•已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一学生在样本中的编号为((A)12(B)13(A)12(B)13(C)14(D)15a在平面直角坐标系中，角抄(n<^<y)的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半()•轴重合，终边经过函数f(力二-2%与g(x)=-logi(-x)的交点，角()•2(A)-1Vcot(&+a)V_芈(C)(A)-1Vcot(&+a)V_芈(C)-1<cos(0+a)<(D)-1<sin(^+a)<如果数列“1，"2,…，"10同时满足以下四个条件：(2)upz(/=1,2,…，10)；

（2）点（叫，2U2+U&）在函数尸/的图像上；（3）向量扌=（1,%）与7=（3,%）互相平行：2 3（4）耳+1—耳与一的等差中项为㊁（/=1>2,…，9）./+1Ui那么，这样的数列勺，"2,…，"10的个数为（）.（A）78 （B）80 （C）82 （D）90解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步琼.（本题满分14分〉本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.如图，在四棱锥P—ABCD中，刊丄平而ABCD,ABCD是边长为2的正方形，必=4,M为侧棱用的中点.（1） 求四棱锥P-ABCD的体积：（2） 求直线PD与平而MBC所成角的正弦值.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分.将关于x的函数丫=处严SGR）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为C,并设C所对应的函数为f（x）.（1）当m>0时，试直接写岀函数和x）的单调递减区间；（2）场（4）=8,若函数矗）=疋一2“兀+5（Q1）对于任意/岸[0,1]，总存在r2e[0,1],使得g（Q才仏）成立，求a的取值范風（本题满分14分〉本题共有2个小题，第1题满分6分•第2题满分8分在某地区的平面规划图中（如图），三点A、B、（7分别表示三个街区，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1,到街区A、C的距离相等.（1） 若线段AD的长为3,求sinZBCD的值；（2） 若'BCD的而积为萌，求点人到直线BC的距离.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分.设平而直角坐标系中的动点P到两泄点（-2,0）、（2,0）的距离之和为4迄，记动点P的轨迹为厂.（1） 求T的方程；（2） 过厂上的点Q作圆2+产1的两条切线，切点为％Q2,直线Qg与八y轴的交点依次为异于坐标原点O的点Q、Q，试求△Q3OQ4的而积的最小值：（3） 过点（2,0）且不垂直于坐标轴的直线/交厂于不同的两点M、N,线段的垂直平分线与仃 人 0 2X轴交于点D,线段MN的中点为是否存创（2>y）,使得T31 9=0成立？4 \DH\02IMNI请说明理由.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分.若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的2（；.GR）倍，则称该数列具有性质PU）.（1） 已知数列-1，2-x,3-兀具有性质P（4）,求实数x的取值范围：（2） 删除数列32,…，3",…中的第3项，第6项，…，第3”项，…，余下的项按原来顺序组成一个新数列亿｝,且数列的前“项和为7；,若数列｛7；｝具有性质P（2）,试求实数人的最大值：（3） 记工气=气”+叫”,+%2 un（"隹N）,如果ak>0（k=l,2,…，2021）.证明:Z=m“龙你>1”的充要条件是“存在数列｛"｝具有性质P（l），且同时满足以下三个条件：址1（i）数列｛暫｝的各■项均为正数，且互异；（ii）存在常数A>0,使得数列｛兀｝收敛于A；2Q21 2020（圧）x厂％才色+血+k5」2,…，这里Xo=°）•”k=\ 竝0上海市宝山区2021届高三二模数学试卷2021.4填空题(本大题共12题，1・6每题4分，7・12每题5分，共54分)抛物线>'2=8.x的焦点到准线的距离为 【答案】p=4【解析】由抛物线的走义得V2=的焦点到准线的距离为p=4.不等式lx-ll<2的解集为 【答案】(-1,3)【解析】由Ix—llv2解得—lvxv3，故解集为(-1,3).若关于x、y的方程组<'+'m有无穷多组解，则m+n的值为 x+ny=1【答案】m+n=2T+丫一>ii【解析】由题意得彳 应为同一方程.所以m=/?=1•所以m+n=2.X+72V=1【注】也可使用行列式求解.若-l+2i(i是虚数单位)是方程F+加+c=0(b,ceR)的一个根,则c"=【答案】1【解析】由题意得另一根为-1-血,,由韦邊理得c_b=(-1+72/)(-1-血)+(_1+屈+(_1_咼=3_2=1

已知常数/hgR，若函数fix)=2^M反函数的图像经过点(4,2),则〃心 【答案】m=0【解析】由题意得/(X)=2V-H1的图像经过点(2,4)，所以4=2宀，所以m=0.6•设无穷等比数列｛兀｝的公比为mt若Iim(x6+x7+---+XJ=x4r则m= 【解析】因为，巴(兀+心+…+兀上耳，所以佥=耳，所以芒严'所以m2=\-m,又we(-1,1),所以m=7.某四棱锥的三视图如图所示，贝！n亥四棱锥的最长侧棱的长度为 【答案】73【解析】 ‘/ " y由三视图可得直观图，在四棱锥P-ABCD中，最长的棱为P4即PA=x/pF+PC7=((州+卩=^3&在(1+x)8(1-x)9的展开式中，x4项的系数为 (结果用数值表示)【答案】28【解析】(1+a-)8(1-x)9=[(14-x)(1-x)]s(1-a)=(1-x2)8-x(1-x2)8,故工丄n—y2丄n—y2_Qy2设函数/(A)=一――(6/eR),若函数y=4f(x)+5的零点为4,则使得x+88/(h2-3)+63>0成立的整数n的个数为 【答案】14如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点tAB=\,BC=2，将矩形ABCD绕直线AD旋转所得到的几何体体积记为岭，将厶MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为匕,则人的值为v2【答案】6【解析】X为圆柱体的体积，匕为圆锥体的体积,—所以严第12题ZD\【解析】X为圆柱体的体积，匕为圆锥体的体积,—所以严第12题ZD\主视怪左视图A\第7题第9题V=久.12.2=2龙,匕=-3为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为 (结果用最简分数表示)【答案】4【答案】445512 4【解析】选择的4天恰好为连续4天的概率是P=-^=—-.C：45533S /7_r2_Qr2【解析】因为函数y=4f(x)+5的零点为4，所以/(4)=--，又f(x)= '.4 x+83丄zj-8-16 5 9_人迈_8迈所以广(4)="二 ，所以°=9,所以f(x)=JA/A,根据复合函数的单调性,易得.心)在［O.+oo)上单调递减,且/(64)=-^,OS8/(Z72-3)+63>0/(/r-3)>-y，所以OGF-3564,故"卜问、-,又neZ,故"=±&±7,...,±3,故整数"的个数为14.如图，若同一平面上的四边形PQRS满足:miiRP=n(\-3m)QP+m(n-\)SP(m>0,//>0)，贝11当厶观的面积是厶P"的面积的丄倍时，」一的最大值为 3m+n【答案】I0-5V3【解析】法一：因为tnnRP=n(l-3m)QP+m(n-1)SP,所以丽i亦口瓦,TOC\o"1-5"\h\zm n过点S作SA丄PR于A,过点0作QB丄PR于B,1 一 Y因为的面积是面积的勺，所以QB=3SA，从而BQ=35Ar■・・■・・1— fl—1■ •在PR=^~^PQ+1PS的两边同时点乘BQrm n得0=L^pqbq+!Lz1-ps.3SA,m n由向呈数呈积的几何意义(投影)得PQBQ=BQ2,PS-3SA=-3SA2,0= BQ2+—(-3SA2),即0=1z2^.3+!Lz1.(_1),m n m n3 1整理得_+丄=10rmn所以1 =m+n=叭厂103 1,5（2"）,（〃心）丄+2 4+生竺4+2蕭knm） nm当且仅当加:-®时取等号,所以］的最大值为5（2-73）・m+n由平面几何知识得S“Rs=SpRS，'、PR'Q=S'PRQr由平面几何知识得S“Rs=SpRS，'、PR'Q=S'PRQrmnRP=n（l-3m）QP+m（n一\）SP转化为"（1一3m）PQ+m（n一1）PS+mnPR^=0,由奔驰走理得匹空=〃仃_""=］，即3〃（1一3/〃）=〃心—1）,'SPR'Q 〃?（〃-1）'3 1从而-+-=10,以下同法一・mn选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）设xeR,则*>3”是“，>9“的（ ）A.充分非必要条彳牛 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】X>90*（—oc,_3）U（3,+00）,故为充分非必要条件，选A.某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码r用系统抽样的方法抽取一个容呈为4的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（ ）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B

【解析】学生40人，现用系统抽样的方法,从中抽取一个容呈为4的样本，则抽样间隔为10,故另一个学生在样本中的编号为133/r在平面直角坐标系中，角&(兀＜。＜可)的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过函数/(A)=-2‘与g(x)=-log,(-x)的交点，角ae(0,|),则( )A.-1Vcot(8+a)V——-2/JC.一A.-1Vcot(8+a)V——-2/JC.一1<cos(8+c)<-二^2D.-1<sin(&+Q)v-上2【答案】D【解析】因为f(x)=-2\g(x)=-log](-X)=log2(-x)互为反函数,其交点在y=x±,又所以宀乎’而-又所以宀乎’而-nIz4>和故选和故选D.所以lan(&+a)e(l,+cc),cot(&+a)e(0,l),sin(G+a)e-1,如果数列同时^足以下四个条件：(1)耳wZ(7=12…」0)；(2)点(的枷)在函数y=4”的图像上；(3)向呈方=(1“)与/；=(3,岭)互相平行；(4)咕-q与」一的等差中项为斗(心1,2,…,9)；那么，这样的数列5,u2，…，岭.的个数为( )乙A.78 B.80 C.82 D.90【答案】B【解析】由(1)得坨€Z(f=1,2,…,10),由(2)得“2+“8=加5‘由(3)得“io=3“],2、由(4)得如一％+ =3,从而如一耳=1或也一山=2,咕一®从而=2"|e[9J8],故m=5,6,7,&9,xx考虑"l—>u2—>"3—>"4—>u5—>lt6—>"7—>Z/s—>"9—>"10的变换，每一步变换均为+1或+2,且“2T“3T”4-和”5T”6T"7―>”8所力0^•和相等，若"严5，则％=15，则9步中只有1步为+2，且只能在2边，故有3种；若//|=6,则“I。=18,则9步中有3步+2,6步+1,共有1+C；GC；=28种；若5=7,则“I。=21,则9步中有5步+2,4步+1,共有gC；+C；C；C；=36种；若n,=8，则w10=24f则9步中有7步+2,2步+1,共有C；g+C；C；C；=12种，若5=9，则%=27，则9步都为+2，共有1种，综上,共有3+28+36+12+1=80种，选B.三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)如图在四棱锥P-ABCD中屮A丄平面初CD"BCD是边长为2的正方形,PA=4,M为侧棱PA的中点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；18.将关于x的函数y=/H(A^2)(2)求直线18.将关于x的函数y=/H(A^2)C(ineR)的图像向右平移2个半u口伶也口卩国冷自像记为C,并设C所对应的函数为/(X)・(1)当加>0时，试直接写出函数/(力的单调递减区间；(2)设/(4)=8,若函数g(x)=x2-2ax+5(a>\)对于任意/圧[0,1]，总存在r2e[0,l],使得R(『2)=/(/,)成立,求。的取值范围.7【答案】(1)[0,2)和(2,4);(2)a>^.某地区的平面规划图中(如图)，三点久B、C分别表示三个街区，ZABC=-,现准备在线段初上的点D处建一个停车场，它到街区3的距离为1,到街区A.C的距离相等.(1)若线段AD的