博弈论及其应用-课节

教案5教案5――第二章完全信息静态博弈 #教案4教学题目：（第一章完全信息静态博弈，§2—§3）学时数2教学目的和要求：理解Nash均衡的表达。掌握Nash均衡的应用。教学基本内容：基本方法：理解Nash均衡的表达。掌握Nash均衡的应用。教学重点与难点：重点在于Nash均衡的应用；难点在于例2.6的讨论。教学过程：课前复习理解博弈均衡的概念。讲授新课：§2.2Nash均衡我们再以囚徒困境为例讨论如下：囚徒B坦白囚徒B抗拒囚徒A坦白-6,-60,-10囚徒A抗拒-10,0-1,-1显然，不论囚徒A选择坦白还是抗拒，囚徒B的最优策略都是坦白;不论囚徒B选择坦白还是抗拒，囚徒A的最优策略都是坦白;由收益函数：UA（抗拒，坦白）=」10;UA（坦白，坦白）=-6;

UA（抗拒，抗拒）=—1;UA（坦白，抗拒）=0。UB（抗拒，坦白）=0;UB（坦白，坦白）=-6;

UB（抗拒，抗拒）=—;UB（坦白，抗拒）=—10。UA（坦白，。）＞UA（抗拒O）；Ub（O,坦白）＞Ub（O,抗拒）；这时，“坦白”策略就成为囚徒A,B的严格优策略，如果一个博弈中的所有局中人都存在严格优策略，那么由这些严格优策略组成的局势，就是该博弈的惟一均衡解。在囚;困境中的囚徒A,B的严格优策略“坦白”组成的局势（坦白，坦白）就是该博弈的惟-均衡解记S斗=（仆2,…，s^，s加…，Sn），则局势s^Ss?,…，S斗S，S如…，Sn）=（s，sJES=3宀咒S。定义2—2（严格优策略）在n人博弈G=N,S,U冲，除局中人i夕卜，其余n—1个局中人的所有可能的局势s_j=（q,s2,…，第，s十,…,sn），局中人i存在着一个自己的策略s*，使得对一切的SiES（Si式s），有**Ui（Si,S_J=Ui（si,s2,…，匚，s，sm…，sj＞Ui（q,…，Si「’，Sn）=Ui（Si，St）,则称S*•Si是局中人i的严格优策略。囚徒A,B在囚徒困境中都有自己俨格优策略“坦白”组成的局势(坦白，坦白)为该博弈的惟一均衡解。这种现象是一般规律吗？命题2—1在n人博弈G=〈N,S,U〉中，如果每一个局中人都有自己的严格优策略s*(i=1,…，n),那么，n个局中人每人的严格优策略组成的局势s*=(s*,…，s*,…，s；)是博弈G=〈N,S,U)的惟一均衡解并称S*=(s*,…,S*,…,s；)为严格优策略均衡局势或严格优策略均衡解。证明：由以上的讨论，n个局中人的严格优策略组成的局势*=(『••■,s*,…，s；)是博弈G=(N,S,U〉的一个均衡解。如果博弈G=〈N,S,U〉有两个均衡解s*,s**，则至少有一个局中人j有两个严*************格优策略Sj, Sj ,设S=(s,…,Sj，…,sn), s= (s,,…，Sj ,…，sj.因为s*是局中人j的严格优策略所以***(1) Uj(S)>Uj(S)；又因为Sj也是局中人j的严格优策略所以***⑵ Uj(sp"Uj(s).结合(1)(2)两式有：****Uj(S)>Uj(S)=Uj(S), 、,******此为矛盾因此，Sj=Sj.从而S=S,即解是唯一的口定义2—4(优策略)在n人博弈G=〈N,S,U〉中，除局中人i外，其余n—1个局中人的所有可能的局

势s」=（q,s2,…，s」s扣…,sn），局中人i存在着一个自己的策略s*，使得对一切的s€S，有Ui（s*,s_J=Ui（3,s2,…，s*,s和…,sn）>Ui（s「…，Si,…,Sn）=Ui（s,S」），并且局中人i至少存在着一个自己的策略s"eS，使得Ui（s*,s」）=Ui（s, ,Si“s*,s1, , sn） Ui（Si, ,Si, , Sn）二Ui（s, s」），则称s•Si是局中人i的优策略。显然,严格优策略一定是优策略但在许多情况下，不要说严格优策略，就是优策略都未必存在!我们以例2-1（猎鹿博弈）为例讨论如下猎人B-猎鹿猎人B-猎兔猎人A-猎鹿何河0,1猎人A-猎兔1,0I1, □由收益函数:UAUA（猎鹿，猎鹿）=10;UA（猎鹿，猎兔）=0;UB（猎鹿，猎鹿）=10;UB（猎鹿，猎兔）=0;UA（猎兔，猎鹿）=1;UA（猎兔，猎兔）=1UB（猎兔，猎鹿）=1;UB（猎兔，猎兔）=1但是，UA（猎鹿，o）>uA（猎兔，。）不成立，因为UA（猎鹿，猎鹿）=10>UA（猎兔，猎鹿）=1;UA（猎鹿，猎兔）=0<UA（猎兔，猎兔）=1;因此，猎人A没有优策略，更没有严格优策略。对猎人B的讨论也同样没有优策略

但却存在两个Nash均衡解。博弈解的第一组值为（10,10）（双值），对应博弈的解为（猎鹿，猎鹿）;博弈解的第二组值为（1, 1）（双值），对应博弈的解为（猎兔猎兔），它们都是Nash均衡，即此博弈有2个解，或两个均衡点。问题是：这两个解应当如何去看？如果将博弈改为猎人乙-猎鹿猎人乙-猎兔猎人甲-猎鹿10,100,1猎人甲-猎兔1,00,0请同学们发表意见。毛泽东的思考Ua（猎鹿,Ua（猎鹿,猎鹿）=10;Ua（猎兔,猎鹿）=0;Ua（猎鹿,猎兔）=1;Ua（猎兔,猎兔）=0Ub（猎鹿,猎鹿）=10;Ub（猎兔,猎鹿）=1;Ub（猎鹿,猎兔）=0;Ub（猎兔，猎兔）=0<Ua（猎鹿,©)>Ua（猎兔,©)成立，显然,因为UA（猎鹿，猎鹿）=10>UA（猎兔，猎鹿）=1;UA（猎鹿，猎兔）=1>UA（猎兔，猎兔）=0;因此，猎人A有严格劣策略’猎兔”同理，猎人B也有严格劣策略“昔兔”我们在上述基本式中剔除严格劣策略，我们就只剩下一个均衡解:

猎人B孑昔鹿猎人A-猎鹿10,10我们为什么要割资本主义的尾巴？智猪博弈产生了，我的经历：猎鹿博弈=智猪博弈=囚徒困境例2-2斗鸡博弈首先，依据情景描述写出博弈的基本式再列出博弈双方的收益矩阵双矩阵）飞车党党徒B让飞车党党徒B撞飞车党党徒A让—10—10—10+10飞车党党徒A撞+10—10——OO ——OO最后，用相对优势策略的划线法求解飞车党党徒B让飞车党党徒B撞飞车党党徒A让—10—10飞车党党徒A撞+0—10——OO ——OO博弈解的第一组值为（一10,+10）（双值），对应博弈的解为（让，撞）；博弈解的第二组值为（+10,—10）（双值），对应博弈的解为（撞让），它们都是Nash均衡，即此博弈有2个解，或两个均衡点。例2-3双寡头垄断博弈（Cournot模型（1838年））首先，依据情景描述写出博弈的基本式；再列出博弈双方的收益矩阵双矩阵）企业乙-定咼价企业乙-定低价企业甲-定咼价1000,1000500, 1500企业甲-定低价1500, 500700, 700最后，用相对优势策略的划线法求解企业乙-定咼价企业乙-定低价企业甲-定咼价1000,1000500, 1500企业甲-定低价〔1500, 500匝，殛博弈的值为（700,700）（双值），对应博弈的解为（低价，低价）;它是Nash均衡。思考它与哪一个博弈是一致的？例2—4（双人抬物）

博弈G「博弈G「N,S,U的基本式为局中人的集合N=｛1,2｝；策略空间S1S,=收益函数：Ui（出力，出力）=v-c•0,U1（出力，不出力）=v-2c：：0,U1（不出力，出力）=v0,U1（不出力，不出力）=0。容易看出局中人1的偏好序为：（不出力，出力）「（出力，出力）容易看出局中人2的偏好序为：（出力，不出力）—（出力，出力）显然，两局中人均有｛出力，不出力｝X｛出力，不出力;U2（出力，出力）=v-c•0,U2（出力，不出力）=v-2s0,

U2（出力，不出力）=v0,U2（不出力，不出力）=0。（不出力，不出力）—（出力，不出力）;（不出力，不出力）-（不出力，出力）;U1（不出力＞U1（出力，O）,U2（不出力U2（出力，。）;即，选择“不出力”是两局中人的严格优策略，因此，惟一的Nash均衡为（不出力，不出力）博弈的值为（0,0）。我们还可以用划线法解决：局中人2出力局中人2不出力局中人1出力v—C,v—Cv-2c,v局中人1不出力v,v-2c0,0讨论：例2—5（双人抬物）和哪一个博弈一致?关于道德风险；如何从技术上改变这种情况？例2-6（双虎争猎物）博弈G「N,S,U的基本式为局中人的集合N二｛A,B｝;策略空间S=SASB=｛坚持，放弃坚持，放弃;收益函数：Ua（坚持,坚持）=UB（坚持,坚持0,Ua（坚持,放弃）=UB（放弃，坚持）=f0,Ua（放弃，坚持）=Ub（坚持,放弃）=0,Ua（放弃，放弃）=ue｝（放弃,,放弃）=0。容易看出两老虎没有严格优策略，我们还是用划线法解决:老虎B坚持老虎B放弃老虎A坚持—C，一cf,0老虎A放弃0,f0,0因此，Nash均衡为（坚持，放弃）和（放弃，坚持），博弈的值分别为（f,0）和（0,f）。讨论：例2-10和哪一个博弈一致？现实中有何意义？例2—7（情侣分歧）博弈G=N,S,U的基本式为局中人的集合N=｛甲（男），乙（女）｝；策略空间S二S乙二｛古典音乐，流行音乐古典音乐，流行音乐｝收益函数用矩阵表示为：乙-古典音乐乙-流行音乐甲一古典音乐a,b0,0甲一流行音乐0,0b,a,用划线法解决:乙-古典音乐乙-流行音乐甲一古典音乐a,b0,0甲一流行音乐0,0因此，Nash均衡为（古典音乐，古典音乐）和（流行音乐，流行音乐）博弈的值分别为（a,b）和小,a）,（O^b^a）。讨论：例2—7和哪一个博弈一致？协调型博弈在现实中有何意义？（总收益高）例2—8（公共产品的提供一一集资建桥博弈G“N,S,U的基本式为局中人的集合N二｛1,2，…，n｝;策略空间S2 Sn-｛出资，不出资｝乂……x｛出资，不出资;收益函数根据参加出资的人数有不同的情况：1）出资人数k二n（人人出资才能建桥）5=u2「二un（出资，……，出资）T-t0,出资居民i的收益Uj（至少有一个人不出资）=t舟0,不出资居民j的收益Uj（至少有一个人不出资）=0。我们简化问题为两个局中人的情况：局中人j出资局中人j不出资局中人i出资V-1,V-1-t,o局中人i不出资o, -t0,0因此，Nash均衡为（出资，……，出资）和（不出资，……，不出资）2）出资人数kn如果恰有k个居民出资而n-k个居民不出资。有2种情况，讨论如下：如果已经有k-1个居民出资而n-k个居民不出资，局中人将选择出资:k-1个局中人出资，n-k个局中人不出资局中人i出资v-1>0局中人i不出资0如果已经有k个居民出资而n-k-1个居民不出资k个局中人出资，n-kT个局中人不出资局中人i出资v-1a0局中人i不出资vNash均衡出现了：（k个居民出资，n-k个居民不出资）；根据组合的知识，这样的均衡共有Ck种。如果已经有0咗mk-1个居民出资，那么局中人的选择是不出资，因为0兰m*k-1个局中人出资局中人i出资-t局中人i不出资0由于每一个局中人面对m（0乞m”：kT）个局中人出资时，必选择不出资，因此，Nash均衡为（不出资，……，不出资。对m（m-k）个居民出资，局中人的选择是不出资，因为m（m-k）个局中人出资

局中人i出资v-1局中人i不出资vNash均衡出现了：(k个居民出资，n-k个居民不出资)；综上所述，这样的均衡共有2+C；种。讨论：1.通过例2-7，谈谈集资建设和公共产品如何摊派和收取集资款?例2-8(经济学著名例子：公共地悲剧n个牧民共同拥有一片草地，每年，他们在这片草地上放牧养羊。设牧民i放牧的羊为qj(i=0,1/,n,…)只，则全体牧民养羊G=q q? qn照看一只羊的平均成本为c,当草地上有G只羊时，牧民养每只羊的价值为v(G)(v(G)0)。假设使草地上草的生长和羊群达到平衡的羊的只数为imax，如果羊的数量超过了Gmax，必将使草地的生态受到损害，从而使整个羊群不能吃饱，使羊的值v(G)下降(此地将自变量3看作连续变量)，这就可以用数学语言来表达为(1)dV(1)dV0,dG4<odG2公共地悲剧博弈W二N,S,U的基本式为局中人的集合N二{1,2, ,n};策略空间S2 Sn=[0,x……x[0,，)；收益函数：Uj(q,…，q「…，qn)=v(G)qj-cq1兰i兰n.博弈问题：每一个牧民如何确定自己羊群的数量（i=1/,n），以获得自己的最大收益（仅仅考虑个人利益的最大化?根据微积分的知识，这需要去求n元函数Uj（q［，…，q,…，qn）的极值，而方法是先求n个变量的偏导数:-Ui dvdG dv芥呵①^拓亦一^心^詰一。（T「n）.再令v(G)qidV=c(i「, ,n),dG当v（G）为已知函数时，由以上n个方程，可以解出n个数q；,…，q；，则得到Nash均衡局势（q；,…，qn）=q。记我们以n二3,v（G）二kG=k（q1q2q3）为例，有3个方程构成的方程组:2q^q^q3=c/kq「2q2q3=c/kg+q2+2q3二c/k解出qi二q2=q3C4k为简单起见，我们进一步假设这1个牧民的基本情况相同，因此，我们不妨设q；=q*(仁i乞n),则n个收益函数成为Uj(q,…4,…，qn)二v(nq口一cq1G兰n,于是据（2）式,v(G*)q*v(G*)=c仁i乞n,1*]**v(G) -Gv(G)=c.n那么，为什么称作公共地悲剧呢？这n个牧民的总收益函数是⑶ U=nUj=nqv(G)-ncq=Gv(G)-cG.这n个牧民在Nash均衡q*下的总收益是(4) U=nUinqiv(G)-ncqi二Gv(G)-cG如果这块草地是由政府管理的，专家认定最佳的放牧量是*=Gmax,即F*是使得收益最优的值，即(5)收益最优的值，即(5)F*二maxU，或对一切的总收益J冬F根据极值的必要条件应当有9^4=0(边际收益=边际成本)从(3)式推得dGdU

dG二dU

dG二v(G)Gv(G)-c,代入執厂0有:v(F*)F*v(F*)二c.H(G)二v(G)Gv(G),我们首先有H(G)二2v(G)Gv(G)：0.所以函数H(G)是递减的，其次H(G*)-H(F*)二v(G*)G*v(G*)-[v(F*)F*v(F*)]二v(G*)G*v(G*)-c1* * * * I * *二v(G)Gv(G)-[v(G)Gv(G)]nn-1Gv(G) 0.n我们得到H(G*)：：H(F*),即**GF.牧民在均衡处的羊多于专家设定的羊的最佳数量，又由于1*是使得收益函数取得最大值的点，有：U*g*兰U*F* •公共地悲剧指出：如果每个牧民仅仅考虑个人利益的最大化那么，在Nash均衡(q；,…，q；)二q*处羊群的数量G*大，但不如羊群为F*的收益，而且，草地将退化,所以生产应当是有组织的公共资源应当科学地开发怎么组织学问很深！公共地悲剧(P.87)公共卫生一一国家资源一一 例2-9(密封式二级价格拍卖密封式二级价格拍卖——规则介绍分析局中人的集合：N二｛1,2, ,n｝;策略集A=(0,g)(i=1,2，…,n)，策略空间：A=A4…A；局势：｛sA|^(b1,b2/,bn)｝是一个无限集。收益函数:Uj(s)=«-sbi=1,2，…,n。表示为局中人12oooiooon标的物价值ViV2oooVioooVn竞拍报价bb2ooobooobn收益VifoooV-bj°oooVn-S为讨论方便，除第个局中人的报价b外，把其余的n-1个局中人报价的最大值记作眄刈口｝=bj°我们讨论如下：fb=Vi£bj°径b“]bj05=v二Ui=v-bb>0.biVibjo:brtbjo口<« =5r-S>0bibjoVi:.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"v「bj bj =Ui二w-％ 0 :\o