《计算电磁学》第一讲课件

Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)Oct.

9,

2011ComputationalElectromagnetics

计算电磁学

E-mail:pdu@10/7/2023Dr.PingDU(杜平)SchoolofElec1为什么要学习《计算电磁学》？

©为何要学习科学计算？

现代科学研究的基本模式——科学实验、理论分析、科学高性能计算（或高性能计算）。科学计算是20世纪重要的科技进步之一。伴随着电子计算机的出现迅速发展并得到广泛应用。目前，其已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段。现今科学计算已是体现国家科学技术核心竞争力的重要标志，是国家科学技术创新发展的关键要素之一。

科学计算技术：硬件+软件。硬件：计算机

软件：算法第一讲绪论10/7/2023为什么要学习《计算电磁学》？第一讲绪论10/6/2

©为何要学习《计算电磁学》？它的重要性是什么？

随着科技的发展，比如分析深亚微米集成电路的Crosstalk问题、信号完整性问题；军用目标（比如战机）的电磁特性；大型天线阵列的设计等，人们对快速精确计算的要求越来越高。战机的电磁特性，如雷达散射截面(RCS)的计算，一般要在设计时就要得到。美国在上世纪90年代开发了FISC、XPATCH等分析该问题的软件。目前，我国虽然也开发了几款类似软件，但据说计算精度和实际要求还有一定差距。因此需要继续研究《计算电磁学》。

10/7/2023©为何要学习《计算电磁学》？它的重要性是什么？13

《计算电磁学》的研究特点？

先建立电磁、数学模型，然后通过适当的算法在计算机上实现。算法(algorithm)，简单说就是解决具体问题时计算机所能执行的步骤。算法的评价标准：能否得到结果、精度是否满足要求、计算量等。

10/7/2023《计算电磁学》的研究特点？10/6/20234

算法得到的结果与真实结果之间总会存在误差，其主要来源有：模型误差

观测误差方法误差舍入误差另外，收敛性和稳定性问题也要考虑。

10/7/2023算法得到的结果与真实结果之间总会存在误差，其5电磁场问题求解方法

三类：解析法、数值法、半解析数值法。

©解析法

偏微分方程：分离变量法(Separationofvariables)积分方程：变换法

10/7/2023电磁场问题求解方法10/6/20236

优点：可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果；

可作为近似解和数值解的检验标准；可方便观察到问题的内在联系和各参数对数值结果所起的作用。

缺点：只能解决很少量的问题。比如，标量亥姆霍兹问题，只有在11种坐标系下才能用分离变量法求解。所分析问题的边界面只能为11种坐标系中的一个或几个的组合；另外，边界条件只能为一类或二类才行。对积分方程，只有其核为某些形式时才能用变换法得到解。因而近似解析法就显得十分重要。10/7/2023优点：缺点：只能解决很少量的问题。对7

近似解析法常见的有微扰法、变分法、多极子展开近似等。高频近似法，如几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、一致性绕射理论（UTD）、物理绕射理论(PTD)、弹跳射线法(ShootingandBouncingRays,SBR)。低频近似法，如准静态场近似。这些近似法共同点是：根据求解问题的解的范围(定义域、值域)作出该范围内成立的近似假设，从而得到简化模型和求解过程的目的。10/7/2023近似解析法这些近似法共同点是：10/6/20238

©数值方法：

优点：普适性强；用户不必掌握高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识就能用提供的程序解决实际问题。

主要有：有限元法(FEM)时域有限差分法(FDTD)矩量法(MoM).10/7/2023©数值方法：10/6/20239

©半解析数值法

它结合了纯解析法和纯数值法的优点，使数值计算工作量显著降低，适合微机计算。同时，保留了纯数值法的灵活性和通用性。比如，直线法(MethodofLines)10/7/2023©半解析数值法10/6/202310常用的几种数值计算方法©有限元法（FEM法)：离散泛函形式的麦克斯韦方程。早在1940年代就提出，1950年代用于飞机设计；但开创性工作是R.W.Clough在1960年的著作中奠定的。1960年代末-70年代初，被移植到电磁场工程领域。

10/7/2023常用的几种数值计算方法10/6/202311

早期：里兹有限元：应用瑞利-里兹方法，广泛应用于求解Laplace方程和Poisson方程所描述的场问题。后来：伽略金(最小二乘)有限元法：应用加权余量法中的伽略金(Galerkin)法或最小二乘法也可以得到有限元方程。这样，FEM法能够分析任何微分方程所描述的各类物理场。另外，它也能用于分析时变场、非线性场以及复杂媒质中的电磁场问题。

10/7/2023早期：里兹有限元：应用瑞利-里兹方法，广泛12有限元法的几个优点：采用物理上离散与分片多项式插值，对材料边界、激励有广泛适应性；基于变分原理，将数理方程变为代数方程组求解；采用矩阵形式和单元组装方法，其各环节易于标准化，程序通用性强，且具有较高的计算精度，便于编写程序和维护，适宜于制作商业软件.国际学术界对有限元法的理论、计算技术和各方面的应用做了大量的工作，许多问题均有现成的程序，可用的商业软件资源相对较多。电磁领域有HFSS。

10/7/2023有限元法的几个优点：10/6/202313早期有限元法存在几个缺点：出现伪解，这是由于未强加散度条件引起的；在材料边界和导体表面强加边界条件不便；处理导体和介质边缘及角有困难。

1980年代末、90年代初，提出了矢量有限元法(VectorFEM)，也叫棱边元(edgeelement)。该方法克服了上面提到的缺点。10/7/2023早期有限元法存在几个缺点：1980年代末、9014FEM法因为其优点受到了人们的欢迎。但随着对FEM的研究，特别是工程上实际应用的深入，一些新问题也随之出现：所解问题的复杂性和经费、时间以及计算机能力有限之间存在着矛盾；FEM法为区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致所需要的初始数据复杂、使用不便。但利用剖分软件如ANSYS、Patran等商业软件可以将分析区域自动剖分成三角形单元(二维问题，如波导的本征值问求解)或四面体单元(三维问题，如介质体的散射计算)。

(Tobecont’d)10/7/2023FEM法因为其优点受到了人们的欢迎。15有限元产生的代数矩阵方程的条件数。随着网格细分，单元尺寸h变小，条件数将变坏，导致计算结果很差。

为求解坏条件数的矩阵方程，人们提出了预条件技术(Preconditioningtechniques)，如稀疏近似逆（SAI）、双层(Two-level)预条件技术、稀疏化递归Cholesky分解以及折叠预条件(Foldedpreconditioning)(IEEETRANS.MAGNETICS,VOL.46,No.7,Jul.2010)等。

(Tobecont’d)10/7/2023有限元产生的代数矩阵方程的条件数。随着网格细分，单元尺寸h变16对于无限大区域中的问题，由于其边界条件难以妥善处理，即使能求得结果，误差也较大。两个解决办法：1.采用效果较好的截断边界条件；它可以保持FEM中矩阵方程稀疏性、但计算空间较大；2.采用有限元法+边界积分方程(FE-BI)。边界积分破坏了矩阵方程的稀疏性，但大多数情况下能够减少计算空间。

基于FEM法的商业软件如AnsoftHFSS。10/7/2023对于无限大区域中的问题，由于其边界条件难以妥善处理，即使能求17©时域有限差分法(FDTD):直接离散时域麦克斯韦方程。

有限差分法，在19世纪末已经提出。1950年代，它才与近似数值分析结合起来。它简单、直观，得到了广泛应用。原理：它是以差分原理为基础的一种数值方法，它把电磁场连续域内的问题变为离散系统的问题。有限差分法一般是在频域中应用的。1966年K.S.Yee将其应用于时域电磁问题，提出了时域有限差分法，即FDTD法。1980年代后期开始受到了人们的重视。10/7/2023©时域有限差分法(FDTD):直接离散时域麦克斯韦方程18

随着吸收边界条件(Absorbingboundarycondition,ABC)的不断完善、各种非标准网格划分技术、计算量压缩技术、抗误差积累技术等的深入研究使得它几乎应用于所有电磁问题，如电磁散射、天线特性、电磁波的生物效应、波导与谐振腔问题、微波与毫米波集成电路分析等。基于FDTD法的商业软件如GEMS。10/7/2023随着吸收边界条件(Absorbingbo19

©矩量法(MoM)：直接离散积分形式麦克斯韦方程。

1963年，K.K.Mei(梅冠香)在博士论文中首次采用了该方法。1968年R.F.Harrington(哈林顿)在其专著中FieldComputationbyMethodofMoments，对该方法进行了全面深入的分析，用统一的观点进行了简单扼要地介绍。

10/7/2023©矩量法(MoM)：直接离散积分形式麦克斯韦方程。1020MoM的步骤：将需要求解的微分或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程；将待求函数表示为一组基函数的线性组合并代入到算子方程；然后选一组权函数对所得的方程取内积，从而得到矩阵方程或代数方程组。最后就是利用计算机求解上面所得的方程组。

10/7/2023MoM的步骤：10/6/202321

MoM能够分析严格解析法和近似解析法不能解决的边界比较复杂的问题。MoM的计算量很大。对于由微分方程为基础的离散方程，其系数矩阵多为大型病态稀疏矩阵；对于由积分方程为基础的离散方程，其系数矩阵通常为满阵(Densematrix)，所有元素都要进行计算。

在电磁学中，MoM一般应用于分析积分方程。这样，它产生的系数矩阵为满阵，其内存需求为，CPU时间为，其中N为未知量数目。因而，该方法只适合分析较小的电磁问题。

10/7/2023MoM能够分析严格解析法和近似解析法不能22

为了能用它分析大型电磁问题，人们提出了许多方法，如快速方法，如©多层快速多极子方法MLFMA©共轭梯度-快速傅立叶法CG-FFT©自适应积分法AIM©pFFT新颖的基函数，如

©综合基函数(SynthesisBasisfunction,SBF)©特征基函数(CharacteristicBF)©子全域基函数(SEDBF)混合法，如物理光学-矩量法(PO-MoM)。10/7/2023为了能用它分析大型电磁问题，人们提出了许多方23基于MoM法的商业软件:FEKO（MLFMA）IE3DAnsoftDesigner等

10/7/2023基于MoM法的商业软件:10/6/202324本课程主要内容：

©FDTD(FDM)FDM:差分格式、差分方程组的求解；FDTD：差分格式及解的稳定性、吸收边界条件(开域问题)、激励源的设置等。ADI-FDTD：基本原理、吸收边界条件等

©MoM

MoM的基本原理、其在静电问题、二维/三维散射问题、天线/天线阵中的应用。

10/7/2023本课程