北京高考近5年三角、数列考题

./2017数列〔2017年文科数列1道大题〔2017年理科数列1小题、1大题2017年北京高考文科第15题15.已知等差数列和等比数列满足,,．〔1求的通项公式；〔2求和：．15.〔1等差数列,,,可得：,解得,所以的通项公式：．

〔2由〔Ⅰ可得,等比数列满足,,可得〔等比数列奇数项符号相同,所以,是等比数列,公比为,首项为,．2017年北京高考理科第10题〔10若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=_______.[答案]1[解析]2017年北京高考理科第20题20.设和是两个等差数列,记,其中表示,,,这个数中最大的数．〔1若,,求,,的值,并证明是等差数列；〔2证明：或者对任意正数,存在正整数,当时,；或者存在正整数,使得,,,是等差数列．20.〔1,,,,,,当时,,当时,,当时,,下面证明：对,且,都有,当,且时,则由,且,则,则,因此,对,且,,,又,所以对均成立,所以数列是等差数列．

〔2设数列和的公差分别为,,下面考虑的取值,由,,,,考虑其中任意〔,且,则下面分,,三种情况进行讨论,①若,则,当,,则对于给定的正整数而言,,此时,所以数列是等差数列；当,,则对于给定的正整数而言,,此时,所以数列是等差数列；此时取,则,,,是等差数列,命题成立；②若,则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数,故必存在,使得时,,则当时,因此当时,,此时,故数列从第项开始为等差数列,命题成立；③若,此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数,故必存在,使得时,,则当时,因此,当时,,此时令,,,下面证明：对任意正整数,存在正整数,使得,,若,取,表示不大于的最大整数,当时,此时命题成立；若,取,当时,此时命题成立,因此对任意正数,存在正整数,使得当时,；综合以上三种情况,命题得证．2017三角〔2017文科一小题一大题〔2017理科一小题一大题2017年北京高考文科第9题9.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称,若,则．9.2017年北京高考文科第16题16.已知函数．〔1求的最小正周期；〔2求证：当时,16.〔1所以,所以的最小正周期为．

〔2因为,所以,所以,所以．2017年北京高考理科第12题〔12在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.[答案][解析]2017年北京高考理科第15题〔15〔本小题13分在△ABC中,=60°,c=a.〔Ⅰ求sinC的值；〔Ⅱ若a=7,求△ABC的面积.[答案]〔1根据正弦定理〔2当时,,△ABC中2016数列〔2016文科一大题〔2016理科一小题一大题2016年北京高考文科第15题15.已知是等差数列,是等比数列,且,,,．〔1求的通项公式；〔2设,求数列的前项和．15.〔1等比数列的公比,所以,．设等差数列的公差为．因为,,所以,即．所以．

〔2由〔1知,,．因此．从而数列的前项和2016年北京高考理科第12题12.已知为等差数列,为其前项和,若,,则．12.[解析]为等差数列,,所以,,解得．所以．2016年北京高考理科第20题20.设数列：,,,．如果对小于的每个正整数都有,则称是数列的一个"时刻"．记是数列的所有"时刻"组成的集合．〔1对数列：,,,,,写出的所有元素；〔2证明：若数列中存在使得,则；〔3证明：若数列满足,则的元素个数不小于．20.〔1的元素为和．

〔2因为存在使得,所以．记,则,且对任意正整数,．因此．从而．

〔3当时,结论成立．以下设．由〔2知．设,．记,则．对,记．如果,取,则对任何,．从而且．又因为是中的最大元素,所以．从而对任意,,特别地,．对,．因此．所以．因此的元素个数不小于．2016三角〔2016文科一小题一大题〔2016理科一小题一大题2016年北京高考文科第13题13.在中,,,则．13.[解析]在中,由正弦定理知,又,,所以,解得,又为锐角,所以,,所以．2016年北京高考文科第16题16.已知函数的最小正周期为．〔1求的值；〔2求的单调递增区间．16.〔1因为,.所以．

〔2由可知,,,,．所以单调递增区间是．2016年北京高考理科第7题7.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点．若位于函数的图象上,则 A.,的最小值为 B.,的最小值为 C.,的最小值为 D.,的最小值为7.A [解析]因为点在的图象上,所以．点向左平移个单位长度得到．因为在的图象上,所以．所以,所以．又,所以．2016年北京高考理科第15题15.在中,．〔1求的大小；〔2求的最大值．15.〔1因为,所以,所以．

〔2在中,,所以当时,的最大值为．2015数列〔2015文科一大题〔2015理科一小题一大题2015年北京高考文科第16题16.已知等差数列满足,．〔1求的通项公式；〔2设等比数列满足,,问：与数列的第几项相等?16.〔1设等差数列的公差为．因为,所以．又因为,所以,故．所以〔．

〔2设等比数列的公比为,因为,,所以,,所以．由得,所以与数列的第项相等．2015年北京高考理科第6题6.设是等差数列,下列结论中正确的是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则6.C [解析]数列是等差数列,如数列,满足,则；如数列,满足,则；所以A,B不正确；对于等差数列,所以D不正确；等差数列若,则数列是单调递增数列,有,所以C正确．2015年北京高考理科第20题20.已知数列满足：,,且记集合．〔1若,写出集合的所有元素；〔2若集合存在一个元素是的倍数,证明：的所有元素都是的倍数；〔3求集合的元素个数的最大值．20.〔1,,．

〔2因为集合存在一个元素是的倍数,所以不妨设是的倍数．由可归纳证明对任意,是的倍数．如果,则的所有元素都是的倍数．如果,因为或,所以是的倍数,于是是的倍数．类似可得,,都是的倍数．从而对任意,是的倍数,因此的所有元素都是的倍数．综上,若集合存在一个元素是的倍数,则的所有元素都是的倍数．

〔3由,可归纳证明〔．因为是正整数,所以是的倍数．从而当时,是的倍数．如果是的倍数,由〔2知对所有正整数,是的倍数．因此当时,,这时的元素个数不超过．如果不是的倍数,由〔2知对所有正整数,不是的倍数．因此当时,,这时的元素个数不超过．当时,有个元素．综上可知,集合的元素个数的最大值为．2015三角〔2015文科一小题一大题〔2015理科一小题一大题2015年北京高考文科第11题11.在中,,,,则．11.2015年北京高考文科第15题15.已知函数．〔1求的最小正周期；〔2求在区间上的最小值．15.〔1因为,所以的最小正周期为．

〔2因为,所以．当,即时,取得最小值．所以在区间上的最小值为．2015年北京高考理科第12题12.在中,,,,则．12.[解析]因为中,,,,所以,,所以,,所以．2015年北京高考理科第15题15.已知函数．〔1求的最小正周期；〔2求在区间上的最小值．15.〔1由题意得,所以的最小正周期为．

〔2因为,所以．当,即时,取得最小值．所以在区间上的最小值为．2014数列〔2014文科一大题〔2015理科两小题一大题2014年北京高考文科第15题15.已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列．〔1求数列和的通项公式；〔2求数列的前项和．15.〔1设等差数列的公差为,由题意得：所以设等比数列的公比为,由题意得：解得．所以从而

〔2由〔1知,数列的前项和为,数列的前项和为所以数列的前项和为2014年北京高考理科第5题5.设是公比为的等比数列,则""是"为递增数列"的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.D2014年北京高考理科第12题12.若等差数列满足,,则当时,的前项和最大．12.[解析]根据等差数列的性质,得,,于是,,即,,故为的前项和中的最大值．2014年北京高考理科第20题20.对于数对序列,记,,其中表示和两个数中最大的数．〔1对于数对序列,,求,的值；〔2记为四个数中最小值,对于由两个数对,组成的数对序列,和,,试分别对和时两种情况比较和的大小；〔3在由个数对,,,,组成的所有数对序列中,写出一个数对序列使最小,并写出的值．〔只需写出结论20.〔1

〔2当时,因为是中最小的数,所以,从而当时,因为是中最小的数,所以,从而综上,这两种情况下都有．

〔3数对序列〔不唯一对应的最小,此时．2014三角〔2014文科一小题一大题〔2014理科一小题一大题2014年北京高考文科第12题12.在中,,,,则；．12.,2014年北京高考文科第16题16.函数的部分图象如图所示．〔1写出的最小正周期及图中,的值；〔2求在区间上的最大值和最小值．16.〔1的最小正周期为,,．

〔2因为,所以于是,当,即时,取得最大值；当,即时,取得最小值．2014年北京高考理科第14题14.设函数〔,,是常数,,．若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为．14.[解析]记的最小正周期为．由题意知,又,且,可作出示意图如图所示〔一种情况：所以,,所以,所以．2014年北京高考理科第15题15.如图,在中,,,点在上,且,．〔1求；〔2求的长．15.〔1因为所以

〔2在中,即解得在中,所以．2013数列〔2013文科一小题一大题〔2013理科一小题一大题2013年北京高考文科第11题11.若等比数列满足,,则公比；前项和．11.,2013年北京高考文科第20题20.给定数列,,,,对,,,,该数列前项的最大值记为,后项,,,的最小值记为,．〔1设数列为,,,,写出,,的值；〔2设,,,是公比大于的等比数列,且,证明：,,,是等比数列；〔3设,,,是公差大于的等差数列,且,证明：,,,是等差数列．20.〔1,,．

〔2因为,公比,所以,,,是递增数列．因此,对,,,,,．故,,,,因此,且,即,,,是等比数列．

〔3设为,,,的公差．对,因为,,所以又因为,所以从而,,,是递增数列．因此又因为所以因此,所以所以因此对,,,都有即,,,是等差数列．2013年北京高考理科第10题10.若等比数列满足,,则公比；前项和．10.,2013年北京高考理科第20题20.已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为,．〔1若为,是一个周期为的数列〔即对任意,写出的值；〔2设是非负整数,证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；〔3证明：若,则的项只能是或者,且有无穷多项为．20.〔1．

〔2〔充分性因为