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文档简介
北京市西城区41中2024届高一上数学期末学业质量监测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知函数是定义在上的奇函数,对任意的都有,当时,,则()A. B.C. D.2.已知函数以下关于的结论正确的是()A.若,则B.的值域为C.在上单调递增D.的解集为3.如图,在正四棱柱中底面是正方形的直棱柱,侧棱,,则二面角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.90°4.将化为弧度为A. B.C. D.5.在如图所示中,二次函数与指数函数的图象只可为A. B.C. D.6.设,,若,则ab的最小值是()A.5 B.9C.16 D.257.已知集合,集合,则()A.0 B.C. D.8.定义运算,则函数的部分图象大致是()A. B.C. D.9.函数的零点所在的大致区间是()A. B.C. D.10.在四棱锥中,平面,中,,,则三棱锥的外接球的表面积为A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.函数是定义在R上的奇函数,当时,2,则在R上的解析式为________.12.设集合,对其子集引进“势”的概念;①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大.最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列,则排在第位的子集是_________.13.给出下列命题:①函数是偶函数;②方程是函数的图象的一条对称轴方程;③在锐角中,;④函数的最小正周期为;⑤函数的对称中心是,,其中正确命题的序号是________.14.下列命题中正确的是________(1)是的必要不充分条件(2)若函数的最小正周期为(3)函数的最小值为(4)已知函数,在上单调递增,则15.在区间上随机取一个实数,则事件发生的概率为_________.16.某医药研究所研发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(时)之间近似满足如图所示的关系.若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗疾病的有效时间为___________小时.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=CD=1,BC=2,PD=(Ⅰ)求证:PD⊥平面PBC;(Ⅱ)求直线AB与平面PBC所成角的大小;(Ⅲ)求二面角P-AB-C的正切值18.如图,已知圆的圆心在坐标原点,点是圆上的一点(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)若过点的动直线与圆相交于,两点.在平面直角坐标系内,是否存在与点不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由19.已知,且向量在向量的方向上的投影为,求:(1)与的夹角;(2).20.求满足以下条件的m值.(1)已知直线2mx+y+6=0与直线(m-3)x-y+7=0平行;(2)已知直线mx+(1-m)y=3与直线(m-1)x+(2m+3)y=2互相垂直.21.已知函数,(,且)(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;(3)设,解不等式
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】由可推出,可得周期,再利用函数的周期性与奇偶性化简,代入解析式计算.【题目详解】因为,所以,故周期为,又函数是定义在上的奇函数,当时,,所以故选:C.2、B【解题分析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.【题目详解】解:A选项:当时,若,则;当时,若,则,故A错误;B选项:当时,;当时,,故的值城为,B正确;C选项:当时,,当时,,在上不单调递增,故C错误;D选项:当时,若,则;当时,若,则,故的解集为,故D错误;故选:B.3、C【解题分析】连接AC,BD,交点为O,连接,则即为二面角的平面角,再求解即可.【题目详解】解:连接AC,BD,交点为O,连接,∵,,,∴平面,即即为二面角的平面角,∵四棱柱中底面是正方形的直棱柱,,,∴,则,∴.故选:C【题目点拨】本题考查了二面角的平面角的作法,重点考查了运算能力,属基础题.4、D【解题分析】根据角度制与弧度制的关系求解.【题目详解】因为,所以.故选:D.5、C【解题分析】指数函数可知,同号且不相等,再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论【题目详解】根据指数函数可知,同号且不相等,则二次函数的对称轴在轴左侧,又过坐标原点,故选:C【题目点拨】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质,属于基础题6、D【解题分析】结合基本不等式来求得的最小值.【题目详解】,,,,当且仅当时等号成立,由.故选:D7、B【解题分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.【题目详解】由题意,集合,,∴.故选:B8、B【解题分析】根据运算得到函数解析式作图判断.【题目详解】,其图象如图所示:故选:B9、C【解题分析】由题意,函数在上连续且单调递增,计算,,根据零点存在性定理判断即可【题目详解】解:函数在上连续且单调递增,且,,所以所以的零点所在的大致区间是故选:10、B【解题分析】由题意,求长,即可求外接圆半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】由题意中,,,则是等腰直角三角形,平面可得,,平面,,则的中点为球心设外接圆半径为,则,设球心到平面的距离为,则,由勾股定理得,则三棱锥的外接球的表面积故选:【题目点拨】本题考查三棱锥外接球表面积的求法,利用球的对称性确定球心到平面的距离,培养空间感知能力,中等题型.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解题分析】由是定义域在上的奇函数,根据奇函数的性质,可推得的解析式.【题目详解】当时,2,即,设,则,,又为奇函数,,所以在R上的解析式为.故答案为:.12、【解题分析】根据题意依次按“势”从小到大顺序排列,得到答案.【题目详解】根据题意,将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为:,,,,,,,.故排在第6的子集为.故答案为:13、①②③【解题分析】由诱导公式化简得函数,判断①正确;求出函数的图象的对称轴(),当时,,判断②正确;在锐角中,由化简得到,判断③正确;直接求出函数的最小正周期为,判断④错误;直接求出函数的对称中心是,判断⑤错误.【题目详解】①因为函数,所以函数是偶函数,故①正确;②因为函数,所以函数图象的对称轴(),即(),当时,,故②正确;③在锐角中,,即,所以,故③正确;④函数的最小正周期为,故④错误;⑤令,解得,所以函数的对称中心是,故⑤错误.故答案为:①②③【题目点拨】本题考查三角函数的图象与性质、诱导公式与三角恒等变换,是中档题.14、(3)(4)【解题分析】对于(1)对角取特殊值即可验证;对于(2)采用数形结合即可得到答案;对于(3)把函数进行化简为关于的函数,再利用基本不等式即可得到答案;对于(4)用整体的思想,求出单调增区间为,再让即可得到答案.【题目详解】对于(1),当,当,不满足是的必要条件,故(1)错误;对于(2),函数的最小正周期为,故(2)错误;对于(3),,当且仅当等号成立,故(3)正确;对于(4)函数的单调增区间为,若在上单调递增,则,又,故(4)正确.故答案为:(3)(4).15、【解题分析】由得:,∵在区间上随机取实数,每个数被取到的可能性相等,∴事件发生的概率为,故答案为考点:几何概型16、【解题分析】根据图象求出函数的解析式,然后由已知构造不等式,解不等式即可得解.【题目详解】当时,函数图象是一个线段,由于过原点与点,故其解析式为,当时,函数的解析式为,因为在曲线上,所以,解得,所以函数的解析式为,综上,,由题意有或,解得,所以,所以服药一次治疗疾病有效时间为个小时,故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)30°;(Ⅲ).【解题分析】(Ⅰ)证明,则,又PD⊥PB即可证明平面(Ⅱ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,DF与平面所成的角等于AB与平面所成的角,为直线DF和平面所成的角,在中,求解即可(Ⅲ)说明是二面角的平面角,在直角梯形ABCD内可求得,而,在中,求解即可【题目详解】(Ⅰ)因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD又因为BC∥AD,所以PD⊥BC,又PD⊥PB,PB与BC相交于点B,所以,PD⊥平面PBC.(Ⅱ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=CF=1又AD⊥DC,故BC⊥DC,ABCD为直角梯形,所以,DF=.
在Rt△DPF中,PD=,DF=,sin∠DFP==所以,直线AB与平面PBC所成角为30°.(Ⅲ)设E是CD的中点,则PE⊥CD,又AD⊥平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.
在平面ABCD内作EG⊥AB交AB的延长线于G,连EG,则∠PGE是二面角P-AB-C的平面角.在直角梯形ABCD内可求得EG=,而PE=,所以,在Rt△PEG中,tan∠PGE==所以,二面角P-AB-C的正切值为【题目点拨】本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用,要正确地找出线面角及二面角的平面角,然后解三角形即可.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解题分析】(Ⅰ)设圆的方程为,将代入,求得,从而可得结果;(Ⅱ)先设,由可得,再证明对任意,满足即可,,则利用韦达定理可得,,由角平分线定理可得结果.【题目详解】(Ⅰ)设圆的方程为,将代入,求得,所以圆的方程为;(Ⅱ)先设,,由由(舍去)再证明对任意,满足即可,由,则则利用韦达定理可得,化为所以,由角平分线定理可得,即存在与点不同的定点,使得恒成立,.【题目点拨】本题主要考查待定系数法求圆方程及韦达定理、直线和圆的位置关系及曲线线过定点问题.属于难题.探索曲线过定点的常见方法有两种:①可设出曲线方程,然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为的形式,根据求解),借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点,也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).②从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.19、(1);(2)【解题分析】(1)由题知,进而得出,即可求得.(2)根据数量积的定义即可得出答案.【题目详解】解:(1)由题意,,所以.又因为,所以.(2).【题目点拨】本题考查了向量的夹角、向量的数量积,考查学生对公式的熟练程度,属于基础题.20、(1)(2)或【解题分析】(1)平行即两直线的斜率相等,建立等式,即可得出答案.(2)直线垂直即两直线斜率之积为-1,建立等式,即可得出答案.【题目详解】解:(1)当m=0或m=3时,两直线不平行当m0且m3时,若两直线平行,则(2)当m=0或m=时,两直线不垂直当m=1时,两直线互相垂直当m0,1,时,若两直线垂直,则或
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