2024届广西柳州市高级中学高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届广西柳州市高级中学高一上数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角为第四象限角，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400 B.40C.4 D.6003．函数y＝sin2x，xR的最小正周期是（）A.3π B.πC.2 D.14．函数y=log2的定义域A.（，3） B.（，+∞）C.（，3） D.[，3]5．若角与终边相同，则一定有（）A. B.C.， D.，6．已知角的终边与单位圆的交点为，则（）A. B.C. D.7．已知f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A.(0，1) B.C. D.8．若，则的最小值为（）A. B.C. D.9．函数的定义域为（）A B.C. D.10．已知为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为____________12．函数的图象一定过定点，则点的坐标是________.13．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.14．已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________15．设为向量的夹角，且，，则的取值范围是_____.16．函数在上的最小值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）若在上是减函数，求的取值范围；（2）设，，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.18．若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的-增长函数.(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；(2)已知函数，且是区间上的-增长函数，求正整数的最小值；(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.19．已知函数为奇函数（1）求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；（2）求关于的不等式的解集20．计算下列各式的值：（1）lg2（2）sin21．已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上.（1）求实数a的值；（2）若函数有两个零点，求实数b的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.【题目详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，故选：C2、A【解题分析】频数为考点：频率频数的关系3、B【解题分析】根据解析式可直接求出最小正周期.【题目详解】函数的最小正周期为.故选：B.4、A【解题分析】由真数大于0，求解对分式不等式得答案；【题目详解】函数y=log2的定义域需满足故选A.【题目点拨】】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是中档题5、C【解题分析】根据终边相同角的表示方法判断【题目详解】角与终边相同，则，，只有C选项满足，故选：C6、A【解题分析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【题目详解】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.7、B【解题分析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.【题目详解】令，.要使函数在上为减函数，则有在区间上为减函数，在区间上为减函数且,∴,解得.故选：B【题目点拨】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.8、B【解题分析】由，根据基本不等式，即可求出结果.【题目详解】因为，所以，，因此，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.9、D【解题分析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.【题目详解】由题设可得：，故，故选：D.10、A【解题分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.【题目详解】解：因为为所在平面内一点，，所以.故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得【题目详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，，则，存在故答案为：【题目点拨】关键点点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可，属于中档题.12、【解题分析】令，得，再求出即可得解.【题目详解】令，得，，所以点的坐标是.故答案：13、【解题分析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.【题目详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，所以在区间上单调上单调递减，且，所以的解集为.故答案为：14、【解题分析】分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心，15、【解题分析】将平方可得cosθ，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.【题目详解】两个不共线的向量，的夹角为θ，且，可得：，可得cosθ那么cosθ的取值范围：故答案为【题目点拨】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，考查计算能力，属于中档题.16、【解题分析】正切函数在给定定义域内单调递增，则函数的最小值为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】(1)由题意结合函数单调性的定义得到关于a的表达式，结合指数函数的性质确定的取值范围即可；(2)利用换元法将原问题转化为二次方程根的分布问题，然后求解实数的取值范围即可.【题目详解】（1）由题设，若在上是减函数，则任取，，且，都有，即成立.∵.又在上是增函数，且，∴由，得，即，且.∴只须，解.由，，且，知，∴，即，∴.所以在上是减函数，实数的取值范围是.（2）由题知方程有且只有一个实数根，令，则关于的方程有且只有一个正根.若，则，不符合题意，舍去；若，则方程两根异号或有两个相等的正根.方程两根异号等价于解得；方程有两个相等的正根等价于解得；综上所述，实数的取值范围为.【题目点拨】本题主要考查函数的单调性，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).【解题分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.【题目详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函数是区间上的增长函数，函数不是；(2)依题意，，而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=-4时，所以n2-8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；(3)依题意，，而，f(x)在区间[-a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，当x=-2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因为：当4a2<4时，①x+4≤-a2，f(x+4)>f(x)显然成立；②-a2<x+4<a2时，x<a2-4<-3a2，f(x+4)=-(x+4)>-a2，f(x)=x+2a2<-a2，f(x+4)>f(x)；③x+4>a2时，f(x+4)=(x+4)-2a2>x+2a2≥f(x)，综上知，当-1<a<1时，为上的增长函数，所以实数a的取值范围是(-1，1).【题目点拨】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.19、（1），函数为R上的增函数，证明见解析（2）【解题分析】(1)f(x)是R上奇函数，则f(0)＝0，即可求出a；设R，且，作差化简判断大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性；(2)，根据(1)中单调性可去掉“f”，将问题转化为解三角不等式.【小问1详解】∵的定义域是R且是奇函数，∴，即.为R上的增函数，证明如下：任取R，且，则，∴为增函数，，∴∴，∴，即，∴在R上是增函数【小问2详解】∵，，又在R上是增函数，，即，，∴原不等式的解集为.20、（1）1（2）-1【解题分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.【小问1详解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小问2详解】原式＝sin40°(sin10°cos＝sin40°(sin10＝2＝-2＝-＝-＝－121、