北京市西城35中2024届高一数学第一学期期末检测试题含解析

北京市西城35中2024届高一数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式可以是（）A. B.C. D.2．若，，，则、、大小关系为（）A. B.C. D.3．设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（）A. B.C. D.4．已知，则（）A. B.C. D.5．已知函数，，则的零点所在的区间是A. B.C. D.6．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|7．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃8．已知，则的值为（）A. B.C.1 D.29．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．函数且的图象恒过定点（）A.(－2，0) B.(－1，0)C.(0，－1) D.(－1，－2)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，则满足的实数的取值范围是__12．已知定义在区间上的奇函数满足：，且当时，，则____________.13．已知且，则=______________14．已知，且，则______15．函数的最小值为______16．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,,若（1）求证：（2）求三棱锥的体积.18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2（1）求证：AC1//（2）二面角B119．已知函数（1）若为偶函数，求；（2）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围20．已知全集，集合，集合（1）若集合中只有一个元素，求的值；（2）若，求21．已知.（1）求的值；（2）若且，求sin2α－cosα的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据图象，先确定以及周期，进而得出，再由求出，即可得到函数解析式.【题目详解】显然，因为，所以，所以，由得，所以，即，，因为，所以，所以.故选：A2、B【解题分析】由指数函数、对数函数、正弦函数的性质把已知数与0和1比较后可得【题目详解】，，，所以故选：B【题目点拨】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，对于幂、对数、三角函数值的大小比较，如果能应用相应函数单调性的应该利用单调性比较，如果不能转化，或者是不同类型的的数，可以结合函数的性质与特殊值如0或1等比较后可得结论3、D【解题分析】利用函数的概念逐一判断即可.【题目详解】对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.故选：D【题目点拨】本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.4、D【解题分析】先求出，再分子分母同除以余弦的平方，得到关于正切的关系式，代入求值.【题目详解】由得，，所以故选：D5、C【解题分析】由题意结合零点存在定理确定的零点所在的区间即可.【题目详解】由题意可知函数在上单调递减，且函数为连续函数，注意到，，，，结合函数零点存在定理可得的零点所在的区间是.本题选择C选项.【题目点拨】应用函数零点存在定理需要注意：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上只有一个零点.6、D【解题分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【题目详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.故选：D7、B【解题分析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【题目详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B8、A【解题分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.【题目详解】由已知使用诱导公式化简得：，将代入即.故选：A.9、B【解题分析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.【题目详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，因存在实数，使得，则，因此，，解得，所以的取值范围是.故选：B10、A【解题分析】根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案【题目详解】由题意，函数且，令，解得，，的图象过定点故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.【题目详解】对，分别大于1，等于1，小于1讨论，当,解得当，不存在，当时，，解得，故x的范围为【题目点拨】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等12、【解题分析】由函数已知的奇偶性可得、，再由对称性进而可得周期性得解.【题目详解】因为在区间上是奇函数，所以，，，得，因为，，所以的周期为..故答案为：.13、3【解题分析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解.【题目详解】且，令，则，即，解得，故答案为：3.14、##【解题分析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.【题目详解】由题设，，又，即，且，所以，故.故答案为：15、【解题分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【题目详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立故函数的最小值为.故答案为：16、【解题分析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，结合图象，设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，﹣log0.5（﹣x3+1）=a，x3=1﹣2a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，∴a=故答案为.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解题分析】（Ⅰ）在等腰梯形中，易得，即又由已知，可得平面，利用面面垂直判定定理可得平面平面.（Ⅱ）求三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，如果不好求，可以换底，本题这样容易求出三棱锥的体积为试题解析：证明：（Ⅰ）在等腰梯形中，∵，∴又∵，∴，∴，即又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（Ⅱ）∵∵平面，且，∴，∴三棱锥的体积为考点：线面垂直及求三棱锥体积【方法点睛】（1)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即利用线面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．或定义法利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全，证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（2)利用棱锥的体积公式求体积，在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算18、(1)见解析(2)45°【解题分析】1设BC1∩B1C=E，连接ED，则2推导出CD⊥AB，BB1⊥CD，从而CD⊥平面ABB1A1，进而CD⊥B1解析：（1）在直三棱柱ABC-A1B则E为BC1的中点，连接∵D为AB的中点，∴ED//AC，又∵ED⊂平面CDB1，AC∴AC1//（2）∵ΔABC中，AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，又∵BB1⊥平面ABC，CD⊂∴BB1⊥CD，又AB∩BB1∵B1D⊂平面ABB1A1，AB⊂平面∴∠B1DB∵ΔABC中，AB=2，∴BD=1，RtΔB1BD中，∴二面角B1-CD-B19、（1）（2）【解题分析】（1）根据偶函数的定义直接求解即可；（2）由题知命题“，”为真命题，进而得对，且恒成立，再分离参数求解即可得的取值范围是【小问1详解】解：因为函数为偶函数，所以，即，所以，即，所以.【小问2详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，对，且恒成立，所以，对，且恒成立，由对勾函数性质知，函数在上单调递增，所以，且，即实数的取值范围是.20、（1）（2）【解题分析】（1）对应一元二次方程两根相等，.（2）先由已知确定、的值，再确定集合、的元素即可.【小问1详解】因为集合中只有一个元素，所以，【小问2详解】当时，，，，此时，，21、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用诱导公式化简可得，代入数据，