2024届上海市市三女中高一数学第一学期期末检测试题含解析

2024届上海市市三女中高一数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，，，则（）A. B.C. D.2．已知函数有唯一零点，则（）A. B.C. D.13．已知幂函数的图象过点，则A. B.C.1 D.24．函数f（x）=的定义域为（）A.（2，+∞） B.（0，2）C.（-∞，2） D.（0，）5．已知函数，则的概率为A. B.C. D.6．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知命题p：，，则（）A.， B.，C.， D.，8．命题：的否定是（）A. B.C. D.9．已知函数在内是减函数，则的取值范围是A. B.C. D.10．已知正实数x，y，z，满足，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线与直线平行，则实数的值为_______.12．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________13．已知函数f(x)=(5-a)x-a+1,x<1ax,x≥1，满足对任意都有成立，那么实数14．如图,二面角的大小是30°,线段，与所成的角为45°,则与平面所成角的正弦值是__________15．设函数的图象关于y轴对称,且其定义域为,则函数在上的值域为________.16．在空间直角坐标系中，点A到坐标原点距离为2，写出点A的一个坐标：____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为，设n年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a倍.（1）请用a，n表示x.（2）若，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？参考数据：，.18．已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）判断并证明在的单调性.19．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并20．设全集，集合，，（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.21．如图，在长方体中，，，是与的交点.求证：(1)平面(2)求与的所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解【题目详解】由题意，故故又，故，则故选：C【题目点拨】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题2、B【解题分析】令，转化为有唯一零点，根据偶函数的对称性求解.【题目详解】因为函数，令，则为偶函数，因为函数有唯一零点，所以有唯一零点，根据偶函数对称性，则，解得，故选：B3、B【解题分析】先利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后将代入求得的值.【题目详解】设，将点代入得，解得，则，所以，答案B.【题目点拨】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.4、B【解题分析】列不等式求解【题目详解】，解得故选：B5、B【解题分析】由对数的运算法则可得：，当时，脱去符号可得：，解得：，此时；当时，脱去符号可得：，解得：，此时；据此可得：概率空间中的7个数中，大于1的5个数满足题意，由古典概型公式可得，满足题意的概率值：.本题选择B选项.6、B【解题分析】当时可知；当时，采用分离变量法可得，结合基本不等式可求得；综合两种情况可得结果.【题目详解】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.7、A【解题分析】直接利用全称命题的否定即可得到结论【题目详解】因为命题p：，，所以：，.故选：A.8、A【解题分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案.【题目详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定为“”.故选：A.9、B【解题分析】由题设有为减函数，且，恒成立，所以，解得，选B.10、A【解题分析】根据指数函数和对数函数的图像比较大小即可.【题目详解】令，则，，，由图可知.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.【题目详解】由题意，直线与直线平行，则有故答案为：【题目点拨】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.12、.【解题分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【题目详解】由余弦定理得，，，故答案为.【题目点拨】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13、【解题分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解【题目详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：14、【解题分析】过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.连结AD，由CD⊥l,AC⊥l得，l⊥面ACD，可得AD⊥l，因此,∠ADC为二面角α−l−β的平面角,∠ADC=30°又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin30°=x，Rt△ABD中,∴Rt△ABC中,故答案为.点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15、【解题分析】∵函数的图象关于y轴对称，且其定义域为∴，即，且为偶函数∴，即∴∴函数在上单调递增∴，∴函数在上的值域为故答案为点睛：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键16、（2，0，0）（答案不唯一）【解题分析】利用空间两点间的距离求解.【题目详解】解：设，因为点A到坐标原点的距离为2，所以，故答案为：（2，0，0）（答案不唯一）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）2033【解题分析】（1）每年的产量比上一年减少的百分比为，那么n年后的产量为2019年的，即得；（2）将代入（1）中得到式子，解n，n取正整数。【题目详解】（1）依题意得，即，即.（2）由题得，即，则，即，则，又，，∴n的最小值为14.故至少要到2033年才能使年产能不超过2019年25%.【题目点拨】本题是一道函数实际应用题，注意求n时，n表示某一年，要取整数。18、（1）（2）在上单调递增，在上单调递减，证明过程见解析.(1)【解题分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.【小问1详解】因为是奇函数，所以，因为，所以是奇函数，因此；【小问2详解】在上单调递增，在上单调递减，证明如下：设是上的任意两个实数，且，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减.19、（1）46（2）n的最大值为14【解题分析】（1）对于集合P7，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9}中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14综上可得，n的最大值为1420、(1)(2)【解题分析】（1）先求集合B补集,再根据数轴求交集（2）由数轴可得m条件，解方程组可得实数的取值范围试题解析：（1）当时，，所以，故；（2）因为，所以解得.21、(1)见解析；(2)【解题分析】（