2023学年完整公开课版古典概型

§3.2古典概型3.2.1古典概型自学导引 1.了解基本事件的特点.3.理解古典概型的定义.4.会用古典概型的概率公式解决一些实际问题.

1.基本事件的特点.(1)任何两个基本事件是________.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________.2.古典概型试验有两个共同的特征(1)在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有___________不同的基本事件;(2)每个基本事件发生的可能性是___________的.互斥的基本事件的和有限个相等3.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=___________.1.古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只能出现一个基本事件,每个基本事件的出现是等可能的,这就是古典概型.(2)古典概型是一种最基本的概型,也是学习其他概率的基础.深入理解等可能性事件必须抓住以下三个特点:第一,对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同试验结果;第二,对于这有限个不同试验结果,它们出现的可能性是相等的;第三,求事件的概率可以不通过大量重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可.2.古典概型的概率公式(1)如果试验的基本事件的总数为n,A表示一个基本事件,即(2)对于古典概型,如果试验的所有结果(基本事件)数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,则由互斥事件概率的加法公式可得所以,在古典概型中,

(3)用集合的观点来考查A的概率,有利于帮助学生生动、形象地理解事件A与基本事件的关系,有利于理解公式.如右上图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I,其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合,则事件A是集合I的一个子集,则有3.应用公式计算概率的步骤(1)判断试验是否为古典概型;(2)算出基本事件总数n;(3)算出事件A包含的基本事件数m;(4)代入公式:题型一基本事件的个数问题例1:连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的基本事件空间;(2)求这个试验的基本事件的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?分析:用列举法写出所有结果.解:(1)这个试验的基本事件空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};(2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).规律技巧:在一次试验中,所有可能发生的每一个基本结果都称为一个基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.变式训练1:一只口袋里装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中一次摸出两个球.(1)共有多少个基本事件?(2)两个球都是白球包含几个基本事件?解:(1)记白球为1､2､3号,黑球为4､5号,有以下基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个.(2)两个球都是白球包含(1,2),(1,3),(2,3)共3个基本事件.题型二古典概率的计算例2:袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:(1)A:取出的两球都是白球;(2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球.分析:首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件A:取出的两球都是白球的总数和事件B:取出的两球1个是白球,而另1个是红球的总数.套用公式求解即可.解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事件数,即是从4个白球中任取两个的基本事件数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)(2,4),(3,4).∴取出的两个球全是白球的概率为

(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个为红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为规律技巧:取出两球的结果数15还可以这样计算,从袋中6个球中任取两球,并按抽取顺序(x,y)记录结果,由于随机抽取,因此x有6种,y有5种,共有5×6=30种,但在记录的结果中有些是重复的,如(1,2),(2,1)是30种中的两种,它们在“从袋中取出2球”这件事上,是同一种情况,从而应有5×6÷2=15种情况.变式训练2:(2009·福建)袋中有大小､形状相同的红､黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.(1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;(2)若摸到红球时得到2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红､红､红)､(红､红､黑)､(红､黑､红)､(红､黑､黑)､(黑､红､黑)､(黑､黑､红)､(黑､黑､黑)､(黑､红､红).(2)记“摸球3次所得总分为5”的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(红､红､黑)､(红､黑､红)､(黑､红､红),事件A包含3个基本事件,由(1)知,基本事件总数为8.所以事件A的概率为题型三较复杂的概率计算问题例3:同时抛掷两枚相同的骰子,求:(1)点数之和为7的概率;(2)点数之和不大于5的概率;(3)有一个点数是6的概率.分析:解答本题可先列出抛掷两枚骰子的所有基本事件,由于含基本事件较多,可采用表格的方法列出,然后再分情况解答.解:列表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)第二枚掷得点数第一枚掷得点数由表可知,共有基本事件36种.(1)设点数之和为7的事件为A,则A包含的基本事件有:(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种.(2)设点数之和不大于5的事件为B,则B包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10种,(3)设有一个点数是6的事件为C,则C包含的基本事件有:(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),共11种,规律技巧:在求概率时,通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接､更准确地找出某个事件所包含的基本事件种数,然后代入公式求出概率.变式训练3:现从A､B､C､D､E五人中选取三人参加一个重要会议.五人被选中的机会相等.求:(1)A被选中的概率;(2)A和B同时被选中的概率;(3)A或B被选中的概率.解:从A､B､C､D､E五人中任选三人参加会议共有以下10种方式:(A､B､C)､(A､B､D)､(A､B､E)､(A､C､D)､(A､C､E)､(A､D､E)､(B､C､D)､(B､C､E)､(B､D､E)､(C､D､E),且每种结果出现是等可能的.(1)事件“A被选中”共有6种方式.故所求事件的概率(2)A､B同时被选中共有3种方式,故所求事件的概率为(3)方法一:“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率方法二:“A或B被选中”即A､B两人至少有一个被选中,共有9种方式.故所求事件的概率.例4:(2009·山东)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经验测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.分析:本题主要考查分层抽样及古典概型的应用,考查应用所学知识解决实际问题的能力.解:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,则z=2000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,

(3)样本平均数设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包含的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,变式训练4:(2008·辽宁)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的卡片上的数字之和为奇数的概率为()答案:C解析:从4张卡片随机取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),6种基本事件,其数字之和为奇数的有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4).1.从甲､乙､丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为()答案:D解析:甲､乙､丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲､乙)､(甲､丙)､(乙､丙),其中甲被选中包含两种,因此概率课堂测评2.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()答案:D解析:由题知,在该问题中基本事件总数为5,一位乘客等车这一事件包含2个基本事件,故所求概率为课堂测评3.一枚硬币连掷3次,只有两次出现正面的概率是()解析:一枚硬币连掷3次,有8个不同的结果,而两次出现正面向上的情况有(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),包含3个结果,因此所求概率为

.答案:A课堂测评4.有4条线段,长度分别为1､3､5､7,从这四条线中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率是()解析:在4条线段1,3,5,7中任取3条有4种取法:(1,3,5),(1,5,7),(1,3,7),(3,5,7),其中仅有(3,5,7)能构成三角形,故所求概率为

.答案:A课堂测评5.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集恰含两个元素的概率为()解析:设集合A={a1,a2,a3},则A有8个子集,它们是∅,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}.其中含有两个元素的子集有3个.故所求概率为P=

.答案:D课堂测评6.利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生,其中戴眼镜的同学有120人,若在这个学校随机调查一名学生,则这名学生戴眼镜的概率是________.0.6解析:依题意知,随机调查一名学生,戴眼镜的概率为课堂测评7.从编号为1到100的100张卡片中,任取一张,所得编号是4的倍数的概率为___________.0.25解析:设4的倍数为4k,k取整数,令1≤4k≤100,解得1≤k≤25,即在1到100之间共有25个数是4的倍数,因此

课堂测评8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它的六个面分别标有点数1､2､3､4､5､6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为________.解析:由log2xy=1,得y=2x,∵1≤y≤6,∴x=1,2,3.而先后抛掷两个骰子,有6×6=36个基本结果,而适合题意的结果有3个,由古典概型公式知,所求概率为课堂测评1.随意安排甲､乙､丙3人在3天节日中值班,每人值班1天,则(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法?(2)其中甲在乙之前的排法有多少种?(3)甲排在乙之前的概率为多少?能力提升解:(1)三人值班共有排法(甲､乙､丙)､(甲､丙､乙)､(乙､甲､丙)､(乙､丙､甲)､(丙､乙､甲)､(丙､甲､乙)6种.(2)因为甲排在乙之前与甲排在乙之后的可能性是相等的,且甲排在乙之前与甲排在乙之后构成对立事件,∴甲排在乙之前的排法有3种.(3)甲排在乙之前的概率为10.(2008·四川文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.能力提升解:(1)总体平均数为

(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),

共有15个基本结果.能力提升事件A包含的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7个基本结果.所以所求的概率为11.(2009·江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.0.2品味高考解析:从5根竹竿中任取2根的取法有

×5×4=10种可能结果,而满足它们的长度恰好相差0.3m的取法就有2种,即取2.5和2.8,2.6和2.9.由古典概型公式得品味高考12.(2009·天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,对列举法计算2个工厂中至少有1个来自A区的概率.品味高考解:(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为∴从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂.在这7个工厂中随机地抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(