2024届上海市上外附中数学高一上期末监测模拟试题含解析

2024届上海市上外附中数学高一上期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数取最小值时的值为（）A.6 B.2C. D.2．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. B.C. D.4．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.π B.6πC.5π D.8π5．已知函数，，则的零点所在的区间是A. B.C. D.6．已知集合，，则中元素的个数是（）A. B.C. D.7．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A. B.2C.3 D.2或8．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．若幂函数的图象经过点，则的值为（）A. B.C. D.10．函数（为自然对数的底）的零点所在的区间为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），则|AB|＝_____12．命题“，”的否定是_________.13．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___14．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，__________15．设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是__________16．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数，（1）根据定义证明在区间上单调递增；（2）判断并证明的奇偶性；（3）解关于x的不等式.18．已知函数且.(1)求函数的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)若0＜a＜1,解关于x的不等式.19．已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式.（2）写出的递增区间.20．已知以点为圆心的圆过点和，线段的垂直平分线交圆于点、，且,（1）求直线的方程；（2）求圆的方程（3）设点在圆上，试探究使的面积为8的点共有几个？证明你的结论21．已知为第三象限角，且.（1）化简；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】变形为，再根据基本不等式可得结果.【题目详解】因为，所以，所以，当且仅当且，即时等号成立.故选：B【题目点拨】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.2、B【解题分析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系3、B【解题分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长【题目详解】因为直观图正方形的边长为1cm，所以，所以原图形为平行四边形OABC，其中，，，所以原图形的周长4、B【解题分析】由题意结合平面几何、线面垂直的判定与性质可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面几何的知识即可得该几何体外接球的球心及半径，即可得解.【题目详解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性质可知，线段CD的中点O到点A，B，C，D的距离均为，∴该三棱锥外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为4π＝6π.故选：B.【题目点拨】本题考查了三棱锥几何特征的应用及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.5、C【解题分析】由题意结合零点存在定理确定的零点所在的区间即可.【题目详解】由题意可知函数在上单调递减，且函数为连续函数，注意到，，，，结合函数零点存在定理可得的零点所在的区间是.本题选择C选项.【题目点拨】应用函数零点存在定理需要注意：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上只有一个零点.6、B【解题分析】根据并集的定义进行求解即可.【题目详解】由题意得，，显然中元素的个数是5.故选：B7、A【解题分析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可【题目详解】函数是幂函数，，解得：或，时，，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选A【题目点拨】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题8、B【解题分析】分析】首先根据可得：或，再判断即可得到答案.【题目详解】由可得：或，即能推出，但推不出“”是“”的必要不充分条件故选：B【题目点拨】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.9、C【解题分析】由已知可得，即可求得的值.【题目详解】由已知可得，解得.故选：C.10、B【解题分析】分析：先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点的存在定理，即可求解.详解：由题意，函数为单调递减函数，又因为，由函数的零点判断可知，函数的零点在区间，故选B.点睛：本题主要考查了函数的零点的判定定理及应用，其中熟记函数的零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】直接代入空间中两点间的距离公式即可得解.【题目详解】∵空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），∴|AB|4故答案为:4【题目点拨】本题考查空间中两点间的距离公式,属于基础题.12、，##【解题分析】根据全称量词命题的否定即可得出结果.【题目详解】由题意知，命题“”的否定为：.故答案为：.13、【解题分析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.【题目详解】圆的标准方程为，则，若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，故答案为：【题目点拨】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.14、【解题分析】函数是定义在上的奇函数，当时，当时，则，，故答案为.15、【解题分析】由题意得，又因为在上是增函数，所以当，任意的时，，转化为在时恒成立，即在时恒成立，即可求解.【题目详解】由题意，得，又因为在上是增函数，所以当时，有，所以在时恒成立，即在时恒成立，转化为在时恒成立，所以或或解得：或或，即实数的取值范围是【题目点拨】本题考查函数的恒成立问题的求解，求解的关键是把不等式的恒成立问题进行等价转化，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16、【解题分析】由可得，求出在上的值域，则实数a的取值范围可求【题目详解】由，得，即由，得，又∵函数在上存在零点，即实数a的取值范围是故答案为【题目点拨】本题考查函数零点的判定，考查函数值域的求法，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）奇函数，证明见解析（3）【解题分析】（1）根据函数单调性的定义，准确运算，即可求解；（2）根据函数奇偶性的定义，准确化简，即可求解；（3）根据函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为，得到，即可求解【小问1详解】证明：，且，则，因为，，，所以，即，所以在上单调递增【小问2详解】证明：由，即，解得，即的定义域为，对于任意，函数，则，即，所以是奇函数.【小问3详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，又因为x是增函数，所以是上的增函数，由，可得，由，可得，因为奇函数，所以，所以原不等式可化为，则，解得，所以原不等式的解集为18、(1)(2)奇函数.（3）【解题分析】（1）根据对数的真数应大于0，列出不等式组可得函数的定义域；（2）函数为奇函数，利用可得结论；（3）不等式等价于，利用对数函数的单调性得，解不等式即可.试题解析：（1）由题得,所以函数的定义域为;（2）函数为奇函数.证明:由（1）知函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数;(3)由可得,即，又0＜a＜1，所以,故,即,解得，所以原不等式的解集为.点睛：本题主要考查了对数函数的定义域，函数奇偶性的证明，以及指数函数、对数函数的不等式解法，注重对基础的考查；要使对数函数有意义，需满足真数部分大于0，函数奇偶性的证明即判断和的关系，而对于指、对数类型的不等式主要是依据函数的单调性求解.19、（1）（2），【解题分析】(1)由函数的图像可得，得出周期，从而得出，再根据五点作图法求出，得出答案.(2)令解出的范围，得出答案.【小问1详解】由图可知，，∴，∴，将点代入得，，，∴，，∵，∴，∴【小问2详解】由，，解得，，∴的递增区间为，20、（1）；（2）或；（3）2【解题分析】（1）根据直线是线段的垂直平分线的方程，求出线段中点坐标和直线的斜率，即可解直线的方程；（2）作图，利用圆的几何性质即可；（3）用面积公式可以推出点Q到直线AB的距离，从而判断出Q的个数.【题目详解】由题意作图如下：（1）∵，的中点坐标为∴直线的方程为：即；（2）设圆