2023-2024学年湖南省部分学校高二上学期8月联考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省部分学校高二上学期8月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合U={−3,−2A.{−2,−1,0,12.复平面内复数z所对应的点为−2,−1，则A.5 B.2 C.2 3.将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为(

)A.4π3 B.6π8 4.已知向量a=(1,1)，b=A.8 B.−8 C.2 D.5.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABA.13 B.23 C.1 6.设点Px,y满足ax+by+c=0A.

充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.过点0,−2与圆x2+y2A.15 B.14 C.−18.已知a>0，若函数fx=ax2−A.1,+∞ B.1,+∞二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知x，y是正数，且x+y=2，下列叙述正确的是

A.xy最大值为1 B.2x+2y有最大值4

C.x+10.2022年10月22日，党的二十大胜利闭幕．为了更好的学习二十大精神，某市市委宣传部面向全市各部门开展了二十大宣讲活动．某部门为了巩固活动成果，面向其下属甲、乙、丙三个单位开展“领悟二十大精神”知识竞赛，竞赛成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,A.a=0.03 B.众数为80

C.第71百分位数是82 D.11.已知直线l：x−my+A.直线l的斜率可以等于0

B.若直线l与y轴的夹角为30°，则m=33或m=−33

C.直线l12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.存在点Q，使得C1Q//A1C

B.存在

点Q，使得C1Q⊥A1C

C.对于任意点Q三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l:x+y−1=0：与圆C14.为了得到函数y=sinx+π3的图象，只需把函数y=cosx的图象向15.在正四棱锥P−ABCD中，PB=AB=1，点M16.已知圆C1:x2+y2−kx−y=0和圆四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，次日离开．

(1(2)求此人在该市停留期间恰有118.(本小题12.0分)直线l过点P3,2且与x轴、y轴正半轴分别交于A

(1)若直线与直线2x(2)如图，若AP=2PB，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和O19.(本小题12.0分)已知锐角▵ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.(1)求角(2)若c=120.(本小题12.0分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠AB21.(本小题12.0分)已知圆O:x2+y2=4，过点P(−22,0)的直线

(1)求直线l

的(2)▵ABO的面积为S22.(本小题12.0分)已知函数f(x)(1)若函数y=f((2)记g(x)=f(x)x，若y=g答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】先求出集合

A

，再根据补集的定义即可得解．解：由

x+2x−1≤0

，得

又因为

U=−3,−2故选：C．2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可．【解答】解：因为复数

z

所对应的点为

−2,−1

，所以所以

z+i所以|故选：B．3.【答案】C

【解析】【分析】根据给定条件，求出该正方体的内切球的体积即可作答．解：棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，当磨成的球是这个正方体的内切球时，球体零件体积最大，此时球体的半径为

r=12

，球体的体积为

故选：C4.【答案】A

【解析】【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标表示即可求得

λ

．解：由

a=1,1

，

b=2,−1

因为

λa+2b⊥a−b

，所以故选：A．5.【答案】D

【解析】【分析】根据空间向量线性运算及空间向量基本定理求出

x

、

y

、

z

，即可得解．解：因为

EC=2PE

所以

A=23又

AE=所以

x=13y=1故选：D．6.【答案】B

【解析】【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解．解：若

x+2即点

Px,y

到直线

显然，这两条直线平行，如图，

所以当点

Px,y

在与这两条直线平行的直线上时，此时直线

ax+by+c=即

b=2a

，且

a≠0,所以“

b=2a

”是“

故选：B7.【答案】A

【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，记点

P0,−2

，求出

PC

，在

Rt▵PBC解：圆

x2+y2−2x−1=0

可化为

设

P0,−2

，切线为

PA

、

PB

在

Rt▵PBC

中，

sinα故选：A．8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查利用分段函数存在最小值求参数的取值范围，分析每支函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．分

0<a≤12

、

12<a<1

、

a=1

、

a>1

四种情况讨论，分析函数

fx

在区间

解：①当

0<a≤12

时，二次函数

fx此时函数

fx

在区间

−∞,1

上单调递减，此时函数

fx=ax−1−1

在区间若使得函数

fx=ax2−x,x≤②当

12<a<1

时，二次函数

fx此时函数

fx

在区间

−∞,1

上的最小值为函数

fx=ax−1−1

在区间若使得函数

fx=ax2−x,x≤③当

a=1

时，函数

f则函数

fx

在区间

−∞,1

上的最小值为当

x∈1,+∞

此时，函数

fx=④当

a>1

时，二次函数

fx=ax此时函数

fx

在区间

−∞,1

上的最小值为函数

fx=ax−1−1

在区间若使得函数

fx=ax2−x,x≤1ax−综上所述，实数

a

的取值范围是

1,+故选：B．9.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果．解：

∵x

，

y

是正数，

2=x+y≥2xy

，当且仅当2x+2y≥22x⋅2y=2因为

(x+y)2=x+y+对于D，

1x+4y=121故选：AC10.【答案】AC【解析】【分析】根据频率分布直方图，小矩形面积之和为1可判断A；利用众数的定义可判断B；根据百分位数计算公式可判断C；利用平均数的计算公式可判断D．解：对于A，根据频率分布直方图可知，

0.010+0.015+0.040+a+0.005对于B，众数的估计值为75，故B错误；对于C，前三组数据的频率之和为

0.010+0.015前四组数据的频率之和为

0.010+0.015则设第71百分位数是

x,x所以

0.65+x−80×0.030=0.71

，解得

x对于D，由频率分布直方图估计平均数为

0.010×10×55故选：AC11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，直线的斜率与倾斜角的关系，直线方程的应用，属于较易题．

根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．【解答】

解：当m=0时，直线l的斜率不存在，

当m≠0时，直线l的斜率为1m，不可能等于0，故A选项错误；

∵直线l与y轴的夹角为30°，

∴直线l的倾斜角为60°或120°，

∴直线l的斜率为1m，

∴1m=tan60°=3或1m=tan120°=−3，

∴m=33或m=−33，

故B选项正确；

直线l的方程可化为(12.【答案】BC【解析】【分析】根据题意，以

A

为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果．解：由题知，在正方体

ABCD−A1B1C1建立以

A

为原点，分别以

AB

，

AD

，

AAI

的方向为

x

轴、

y

轴、

z

轴的正方向的空间直角坐标系

所以

A10,0,1

，

C1,1,0

，

所以

C1Q=−1,当

C1Q=λA1C

，即

所以不存在

λ

使得

C1Q=λA1C

，即不存在点

Q

当

C1Q⋅A1C=−因为

A1Q=(0,所以点

Q

到

A1C

的距离为=2a−因为

QC=1,0,−a

，所以

cosQC所以三角形

A1CQ

故选：BC13.【答案】2【解析】【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解．解：由圆

C:x−32+y+42又由圆心

C

到直线

l:x+y−1根据圆的弦长公式，可得

AB=故答案为：

2314.【答案】右(或左)π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一个值)(或

11π6

【解析】【分析】首先变形

y=cosx=sinx解：函数

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的图象向右平移

π6

个单位长度，或是向右平移

π6+2kπ

或是

y=cosx=sinx所以

y=cosx

的图象向左平移

11π6

个单位长度，或是向左平移

11π6+2k故答案为：右；

π6

(或

π6+2kπ

，

k∈Z

中的任何一个值)；或左；

11π6

(15.【答案】3【解析】【分析】作出辅助线，得到

∠BMO

为异面直线

PA

和

BM

所成的角或其补角，根据边长求出

∠M解：如图，连接

AC,BD

相交于

O

，连接

OM

，则

O

又

M

为

PC

的中点，所以

OM所以

∠BMO

为异面直线

PA

和又

▵PCB

为等边三角形，且边长为1，故

又

OM=12PA=12

所以

∠MOB=90∘异面直线

PA

和

BM

所成的角的余弦值为

故答案为：

3316.【答案】45【解析】【分析】利用圆与圆之间的关系求出公共直线所过的定点，将其代入

mx+ny=2

中，用

m

表示

n解：由圆

C1:x2+y可得圆

C1

和

C2

的公共弦所在的直线方程为

k联立

x−2y=0y−1=0又因为点

M

在直线

mx+ny=2所以

n=2所以

m2+当

m=45

取等号，所以

m2+n故答案为：

45

17.【答案】解：(1)由图看出，1日至13日这13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共故此人到达当日该市空气重度污染的概率为

213

(2)此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况为

86,25

，

25,57

，

57,143

，

143,220

，

220,160

，

160,40

，

40,217

，

217,160

，

160,121其中只有1天空气重度污染的是

143,220

，

220,160

，

40,217

，故此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为

413

【解析】【分析】(1(2)明确此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的事件等价于此人在4日或5日或7日或18.【答案】解：(1)由题设直线

l:3x−2y+C解得

C=−5

，故直线

(2)因为

AP=2PB

，设

Aa,0

，

B0,b

即有

3−a可得

a=9

，

b=3

，

M0,2

，

梯形

AOMP

的面积为

12×2×3设

Em,2

，

Fn,0

，可得

1当

m≠n

时，直线

EF

的方程为

将

n=6−m

代入上式可得由

y−1=06y+2x−12=0

当

m=n=3

时，

EF

的方程为

x=3

，

EF

过点

3,1

【解析】【分析】(1)由题设直线

l:3x−2y+C(2)设

Aa,0

，

B0,b

，根据

AP=2PB

求出

a

、

b

，从而求出直角梯形

OAPM

的面积，设

Em,2

，

Fn,0

，依题意可得

m19.【答案】解：(1)因为

2可得

acosC由正弦定理得

sinAcos又因为

sinB=可得

3sin且

C∈0,π2

，则

sinC>0

，可得又因为

A∈0,π2

，则

A−π6∈−(2)由正弦定理

bsinB=c则

▵ABC

=3因为

▵ABC

为锐角三角形，故

0<C<所以

tanC>33

，则

0<所以

S▵ABC

的取值范围为

【解析】【分析】(1(2)根据题意利用正弦定理和面积公式，并结合三角恒等变换可得

S▵ABC=20.【答案】解：(1)证明：四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1，CC1延长后交于一点，故A，C，C1，A1共面，

因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA 1⊥BD，

连接AC，

因为底面四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，

又AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

故BD⊥平面ACC1A1，

因为CC1⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥CC1；

(2)过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN方向作为x轴，以【解析】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，二面角的求法，属于中档题．

(1)连接AC，根据线面垂直的性质定理得到AA1⊥BD，再根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，进而证明BD⊥CC1；

(2)过点A作BC的垂线交B21.【答案】解：(1)解法一；设直线

l

的斜率为

k

，则直线

l

的方程：

y由题意知：圆心到直线的距离

d=2因为直线

l

与圆

O

相交于不重合的

A,B

两点，且

A所以

0<22kk2+1<2

.得所以

k

的取值范围为

−1,解法二：设直线

l

的斜率为

k

，则直线

l

的方程：

y=k联立

y=kx+2Δ=32k4−4因为

A,B,O

三点构成三角形，所以所以

k

的取值范围为

−1,(2)直线

l:y=k点

O

到直线

l

距离：

d=2所以

AB=所以

S=12ABd设

k2+1=t1所以

S=4所以当

1t=34

，即

t=43

，即

所以

S

的最大值为2