2023-2024学年山东省泰安第三中学高二上学期开学考试数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省泰安第三中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法中正确的是A.经过三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面 D.不共面的四点可以确定4个平面2.在正方体ABCD−A1B1C1A.30∘ B.45∘ C.60∘3.已知Rt▵O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边OA.22 B.1 C.24.设向量a=(1,0),b=12,12，给出下列四个结论：①A.① B.③ C.①④ D.5.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层随机抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为

(

)A.10 B.9 C.8 D.76.若圆锥的底面直径和高都等于2R，则该圆锥的体积为

(

)A.23πR3 B.2πR7.若a=(2,0,A.(−1,−2,0) 8.已知点A(2,3)，B(3,0)，点P在线段AA.(53,1) B.(8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”(

)A.是互斥事件 B.不是互斥事件 C.是对立事件 D.不是对立事件10.要从已编号(1−60)的60A.5，10，15，20，25，30 B.3，13，23，33，43，53

C.1，2，3，4，5，6 D.8，18，28，38，48，5811.已知复数：满足(i−1)A.|z|=2 B.z虚部为−i

C.z的共轭复数为z12.已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则(

)A.棱台的高为23

B.棱台的表面积为1263

C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知两条相交直线a，b，且a//平面α，则b与α的位置关系是____________．14.在四边形ABCD中，AB⋅BC15.甲、乙两人打把，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______．16.已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊂α，l⊂β且④若l⊂β且l⊥⑤若m⊂α，l⊂β且其中正确命题的序号是_______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(1,−2)18.(本小题12.0分)如图，在ΔABC中，AD=14AB，点E，F(1)用a⇀,b(2)如果∠A=60∘，19.(本小题12.0分)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别是

20.(本小题12.0分)如图，在正方体ABCD−A(1)求证：A1(2)求证：平面A1A21.(本小题12.0分)已知ABCD是矩形，PA⊥平面AE为BC(1)求证：DE(2)求直线DP与平面22.(本小题12.0分)如图，在正方体ABCD−A1B1C(1)求证：D1(2)求向量EF答案和解析1.【答案】D

【解析】解：不共线的三点确定一个平面，因此A不正确；两条异面直线不能确定一个平面，因此B不正确；空间四边形不能确定一个平面，因此C不正确；不共面的四点中每三个点都不共线，则任三点可确定一个平面，共可以确定4个平面，因此D正确．故选D．2.【答案】B

【解析】【分析】利用正方体的性质确定异面直线所成的角，应用数形结合进而确定大小即可．解：如图所示，在正方体

ABCD−A1故

∠B1BA1

就是异面直线

BA1

与

故选：B．3.【答案】D

【解析】【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答．解：根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，

其中

OB=O′B′所以这个平面图形的面积为

S=1故选：D4.【答案】B

【解析】【分析】根据向量的坐标运算，结合选项即可逐一判断．解：对于①，

|a|对于②，

a⋅b对于③，

a−b对于④，

a,b故选：B5.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查分层随机抽样的比例分配，属于基础题．

根据分层随机抽样的比例，即可求解．【解答】

解：设从高三学生中抽取的人数应为x，

根据分层随机抽样的比例分配可得，

2107=300x，解得x=6.【答案】A

【解析】【分析】由题意，可知圆锥的底面半径和高，代入锥体的体积公式即得．解：由圆锥的体积公式得，

V圆锥故选：A7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．

利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解．【解答】解：因为a=所以a+故选D．8.【答案】B

【解析】【分析】利用平面向量的数乘运算及相等的定义列出关于

x,y解：设

P(x,y)

，由

P

在线段

AB

上且

A所以

(x−2,y−3)=2故选：B．9.【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可求解．解：从3男2女中人选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女，至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件．故选：A10.【答案】BD【解析】【分析】根据系统抽样的特征即可求解．解：根据从编号(1−60)的60枚中选取6枚，则间距为10，所以故选：B11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模、共轭复数，方程的根等，属于基础题．

由复数的四则运算，得到z的值，再根据相关概念逐个进行判断即可得到答案．【解答】

解：因为(i−1)z=2i，

所以z=2ii−1=−2i(1+i)(1−i)(1+i)=−−12.【答案】BD【解析】【分析】由题意，在正三棱台ABC−A1B1C1中，在平面ABB1A1中，由点A1向AB作垂线，垂足为D，取线段解：由题意，在正三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=6，AB=12，AA1=6，在平面ABB在等腰梯形ABB1A1中，AB=12，所以棱台的表面积为3×12又三棱台为正三棱台，所以A1F为正三棱台所以A1F⊥AB，由A1F在Rt▵A在Rt▵A所以棱台的高为26，故选项棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE，棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF，故选：BD13.【答案】b//平面

α

或b与平面

α

【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题．

画出图形不难看出直线

b

与平面

α

的位置关系，平行或相交．解：

由题意画出图形，当

a,b

所在平面与平面

α

平行时，

b

与平面

α当

a,b

所在平面与平面

α

相交时，

b

与平面

α故答案为：

b//平面a或b与平面

α14.【答案】矩形

【解析】【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行．解：由

AB⋅BC=0,

可知

由

BC=AD

可得

BC=故答案为：矩形15.【答案】0.88

【解析】【分析】由题意，该靶子被击中有三种情况：甲击中而乙没有击中；乙击中而甲没有击中；甲乙都击中，从而由相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解．解：因为甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，所以甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中的概率

P=0.6故答案为：0.88．16.【答案】①④【解析】【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例；对于③考虑

α⊥β

解：对于①，由线面垂直的判断定理可知，若l垂直于a内的两条相交直线，则

l⊥α

，故对于②，若

l//α

可知，

l

与

a

是异面关系，故②不正确，对于③，若

m⊂α

，

l⊂β

且

l⊥m

，无法得到

l⊥α对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若

l⊂β

且

l⊥α

，，则

α对于⑤，如图2，满足

m⊂α

，

l⊂β

且

α//

故⑤不正确，故正确命题的序号是①④故答案为：①17.【答案】解：

3a=(3,−kb=(3k,∵

(3a−b)//解得，

k

【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解．18.【答案】解：(1)

CEF=(2)

CD⊥EF

，证明如下：设

AC=m

C=12∴

CD⊥EF

，∴

【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。(1)根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出

CD

(2)设

AC=m

，则

AB=2m

，19.【答案】解∵

E

、

F

分别是

AB

，

AD

的中点，∴又

平面

BDG,BD⊂

平面

∵

D1G//∴

D1G//EB,D又

D1E⧸⊂

平面

BDG,GB⊂EF∩D1E=E,故平面

D1EF/

【解析】【分析】根据线线平行求证线面平行，进而可证面面平行．20.【答案】解：试题分析：(1)设

AC∩BD=O

，连接

OE

，因为O，E(2)

∵AA1⊥平面ABCD∴A

【解析】【分析】线面平行垂直的判定平面内一直线与平面外一直线平行，则线面平行；直线垂直于平面内两相交直线则直线垂直于平面，进而得到两面垂直21.【答案】解：(1)在

ΔADE

中，

AD∵

PA⊥

平面

ABCD

，

DE⊂

平面

又

PA∩AE=A