2024届北京市第171中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届北京市第171中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果函数是定义在上的奇函数，当时，函数的图象如图所示，那么不等式的解集是A. B.C. D.2．已知均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（）x01233.0115.4325.9807.6513.4514.8905.2416.892A. B.C. D.3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则4．若实数满足，则的最小值为（）A.1 B.C.2 D.45．已知函数f(x)=3x       A. B.C. D.6．已知,则=（）A. B.C. D.7．的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则的面积为（）A. B.C. D.18．如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为A. B.C. D.9．函数f（x）图象大致为（）A. B.C. D.10．若正实数，满足，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____12．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.13．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.14．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从__________年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：，）15．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为_____16．方程在上的解是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．化简求值：（1）已知，求的值；（2）18．已知函数（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围19．已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并求函数的值域；（2）判断函数的单调性（不需要说明理由），并解关于的不等式.20．设函数，函数，且，的图象过点及（1）求和的解析式；（2）求函数的定义域和值域21．已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上最大值为3，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.2、C【解题分析】根据函数零点的存在性定理可以求解.【题目详解】由表可知，，，令，则均为上连续不断的曲线，所以在上连续不断的曲线，所以，，；所以函数有零点的区间为，即方程有实数解的区间是.故选：C.3、C【解题分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系即得。【题目详解】A.因为垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；B.若，，，则或相交，故不正确；C.由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，正确；D.若，，，则或相交，故不正确.故选：C【题目点拨】本题考查空间直线和平面，平面和平面的位置关系，考查学生的空间想象能力。4、C【解题分析】先根据对数的运算得到，再用基本不等式求解即可.【题目详解】由对数式有意义可得，由对数的运算法则得，所以，结合，可得，所以，当且仅当时取等号，所以.故选：.5、B【解题分析】根据对数的运算性质求出，再根据指数幂的运算求出即可.【题目详解】由题意知，，则，所以.故选：B6、B【解题分析】根据两角和的正切公式求出，再根据二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入求值即可.【题目详解】解：解得故选：【题目点拨】本题考查三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系，属于中档题.7、B【解题分析】由，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解【题目详解】由于，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，∠BAC＝，斜边BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故选B.【题目点拨】本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基础题8、A【解题分析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；所以球的体积为：故答案选：A点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.9、A【解题分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【题目详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C又因为，排除D故选：A【题目点拨】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、B【解题分析】由基本不等式有，令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.【题目详解】解：由题意，正实数满足，则，令，可得，即，解得，或(舍去)，所以当且仅当时，取得最小值2，故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，又由方程有4个不同的实数根，即函数的图象与有四个不同的交点，可得，且，则=，因为，则，所以.故答案为.【题目点拨】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12、【解题分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.【题目详解】设，则，在中，，所以，即，解得，所以，所以在中，，则，又，所以.故答案为：13、①.②.【解题分析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.【题目详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，，，所以当时，；依题意，在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：；14、2021【解题分析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故答案为202115、【解题分析】由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．【题目详解】令，，则，∴定点为，，，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故答案为：．【题目点拨】本题考查指数函数的图象与性质，考查用基本不等式求最值．“1”的代换是解题关键．16、##【解题分析】根据三角函数值直接求角.【题目详解】由，得或，即或，又，故，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】18、（1）的定义域为，奇函数；（2）.【解题分析】（1）由求定义域，再利用奇偶性的定义判断其奇偶性；（2）将对于，不等式恒成立，利用对数函数的单调性转化为对于，不等式恒成立求解.【小问1详解】解：由函数，得，即，解得或，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以奇函数；【小问2详解】因为对于，不等式恒成立，所以对于，不等式恒成立，所以对于，不等式恒成立，所以对于，不等式恒成立，令，则在上递增，所以，所以.19、（1），的值域为；（2）在上单调递增，不等式的解集为.【解题分析】（1）根据定义域为R时,代入即可求得实数的值;根据函数单调性,结合指数函数的性质即可求得值域.（2）根据解析式判断函数的单调性;结合函数单调性即可解不等式.【题目详解】（1）由题意易知,,故,所以,,故函数的值域为（2）由（1）知,易知在上单调递增,且,故,所以不等式的解集为.【题目点拨】本题考查了奇函数性质的综合应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.20、（1），；（2）,.【解题分析】(1)根据得出关于方程，求解方程即可；（2）根据的图象过点及，列方程组求得的解析式，可得，解不等式可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得，利用对数函数的单调性求解即可.【题目详解】（1）因为，；因为的图象过点及，所以，；（2）由，得函数的定义域为，即的值域为.【题目点拨】本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③