chap4-对称要素组合定理及对称型解读课件

第三节对称要素的组合定理

对称要素有时并不是孤立的，且对称要素(操作)之组合也可导出新的对称要素(操作)。对称要素组合（共存）是有规律的，其规律是：必须遵循对称要素的组合定理；

不符合对称要素组合定理的共存形式不可能存在。对称要素的组合问题提出例如：立方体3L44L36L29PC

第三节对称要素的组合定理对称要素有时并不是孤立的，且对1

定理1

如果有一个L2垂直于Ln，则①必有n个L2垂直于Ln；②任意相邻两个L2的夹角为Ln的基转角的一半。Ln

L2

LnnL2L2与L2的夹角是Ln基转角的一半定理1如果有一个L2垂直于Ln，则LnL22逆定理

若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍，并在垂直于Ln平面内导出n个L2。思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?逆定理若两L2相交，在交点并垂直两L2必产生Ln，其基3定理2

若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存在对称中心C。Ln

P

LnP

C(n为偶数)石膏定理2若一对称面P垂直于偶次轴Ln(偶)，其交点处必然存4逆定理若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C且垂直该对称轴必有一对称面P；或若有一对称面P与对称中心C共存，则过C且垂直于P必有一个偶次对称轴。该定理说明：L2、P、C三者中任意两者可产生第三者。PCL2P

CLn

C

LnP

C(n为偶数)逆定理若有一偶次对称轴Ln(偶)与对称中心C共存，则过C5定理3

若有一对称面P包含对称轴Ln，则①必有n个P包含Ln；②相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。Ln

P//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）例如：L6

P//L66P//（定理3与定理1对应）红锌矿定理3若有一对称面P包含对称轴Ln，则LnP//L6逆定理

若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?逆定理若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对称轴，其7定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含Linn为奇数时——必有n个L2垂直于Lin和n个P包含Lin；n为偶数时——必有n／2个L2垂直于Lin和n／2个P包含Lin。LinP//=LinL2

Linn/2L2

n/2P//

（n为偶数）

LinnL2

nP//（n为奇数）定理4若有一L2垂直于Lin，或有一P包含LinLin8第四节对称型（点群）

1、对称型的概念

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。

一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。

根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？

第四节对称型（点群）1、对称型的概念92、对称型的推导依据：对称型中高次轴数量多少：A类对称型（高次轴不多于一个）B类对称型（高次轴多于一个）（1）A类对称型的推导

1）对称轴Ln单独存在（原始式）：

可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6

。2、对称型的推导10（1）A类对称型的推导：2）对称轴与对称轴的组合（轴式）：

在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组合规律Ln

L2→LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2与Ln斜交有可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类对称型了（1）A类对称型的推导：11（1）A类对称型的推导：

3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合（中心式）：

根据组合规律Ln(偶次)

P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。

（1）A类对称型的推导：12（1）A类对称型的推导：

4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（面式）：

根据组合规律Ln

P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

（1）A类对称型的推导：13（1）A类对称型的推导：

5）对称轴Ln与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合（轴面式）：

垂直Ln的P与包含Ln的P的交线，必为垂直Ln的L2，

即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)PC（偶数）

Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2nP（奇数）

可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。（1）A类对称型的推导：14（1）A类对称型的推导：6）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合（反伸面式）：根据组合规律：当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。（1）A类对称型的推导：15这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。这样推导出来的对称型共有27个，见表4－2。16例1：若晶体中有一L3，又有一L2垂直于它，据组合定理1，形成L33L2对称型，石英晶体即为这种对称型。推导实例例1：若晶体中有一L3，又有一L2垂直于它，据组合定理117例2：晶体中有一L4，又有一L2和一个P垂直L4

，则：L4×L2⊥→L44L2（定律1）L4×P⊥→L4PC（定律2）又同时垂直L4的L2和P必为包含关系，故：L2×P∥→L22P（定律3）这两个P中，一个垂直L4包含L2，另一个包含L4垂直L2，包含L4的P则与L4组合：L4×P∥→L44P，最后产生对称型L44L25PC，金红石就是这种对称型。推导实例例2：晶体中有一L4，又有一L2和一个P垂直L4，则：推导1832晶类低、中、高级晶族7大晶系属于同一对称型的晶体高次轴的有无及多少晶体第五节晶体的对称分类32晶类低、中、高级晶族7大晶系属于同一对