几种制约灯光变换矩阵的因素

几种制约灯光变换矩阵的因素

随着激光科学研究的发展，矩阵光学研究领域迅速发展，其优点是它简单、规范、方便的计算机求解和其他处理方法。用矩阵方法研究光束的传输变换特别方便,。众所周知,光学系统对光线或激光束的变换作用可由其变换矩阵表示。因此,光学系统对光线或激光束的变换矩阵对用矩阵方法研究光学问题是非常重要的。本文将总结五种变换矩阵的推导方法,并加以举例说明。1导出方法本文采用文献符号法则和有关规定,并限于讨论近轴近似条件下的轴对称光学系统。1.1均匀介质中光学系统的变换矩阵近轴近似下,光线变换的基本方程为:[r′θ′]=[ABCD][rθ](1)式中,Μ=[ABCD]为光学系统的光线变换矩阵,[rθ]和[r′θ′]分别为入射和出射光矢量,θ和θ′分别为入射和出射光线与传输Z轴的夹角,r和r′分别为入射和出射光线与入射参考面(RP1)和出射参考面(RP2)的交点到Z轴的距离。根据光的反射、折射和在均匀介质中光的直线传播定律,可以找出入射光线与出射光线之间的几何关系,从而确定光学系统的变换矩阵。实例分析1:光在均匀介质中的传播变换矩阵。设光线传播距离为l(如图1所示),在近轴近似下:{r′=r+lθθ′=θ(2)所以Μ=[1l01](3)实例分析2:球面反射变换矩阵。如图2所示,设球面反射镜曲率半径为ρ,在近轴近似下由光的反射定律可以得到:{r′=rθ′≃-2ρr+θ(4)故Μ=[10-2ρ1](5)同理,根据折射定律可求出球面折射的变换矩阵为:Μ=[10n2-n1n2ρn1n2](6)式中n1和n2分别为球面左、右方介质的折射率。1.2近轴近似下的二阶小量s1和r近轴近似下,光线方程为ddz(ndrdz)=∇n(7)式中n为介质的折射率。光线方程描述了光线传播规律,由它可以计算出光线在介质中的传播轨迹。因此,求解光线方程可得到光学系统的光线变换矩阵。实例分析3:正类透镜介质n(r)=n0(1-β2r2/2)的变换矩阵(β为大于零的常数,n0为轴上的折射率)。将n(r)代入光线方程(7)式中,并略去近轴近似下的二阶小量r2和rd2rdz2,得到:d2r(z)dz2+β2r(z)=0(8)求出其通解为:r=C1cosβz+C2sinβz(9)式中,C1和C2为任意常数。近轴近似下,边界条件为:{r(z)|z=0=r(0)dr(z)dz|z=0≃θ(0)(10)将(10)式代入(9)式可得:{r(z)≃r(0)cosβz+1βθ(0)sinβzθ(z)≃dr(z)dz≃-βr(0)sinβz+θ(0)cosβz(11)因此,Μ=[cosβz1βsinβz-βsinβzcosβz](12)同理,可求出负类透镜介质n(r)=n0(1+β2r2/2)的变换矩阵为Μ=[chβz1βshβz-βshβzchβz](13)1.3各相干合成的光束复参数用复参数1q=1R-iλπω2描述的高斯光速的传输满足ABCD定律:q′=Aq+BCq+D(14)式中A,B,C,D为变换矩阵M的诸元素。q和q′分别为光学系统变换前后的光束复参数。显然,当光束的光斑半径ω,ω′→∞时,得到球面所满足的ABCD定律:R′=AR+BCR+D(15)式中R和R′分别为光学系统变换前后的光束的曲率半径。实例分析4:薄透镜的变换矩阵。众所周知,薄透镜成像的高斯公式为:1R-1R′=1f(16)式中f为薄透镜的焦距。将(16)式变形为:R′=R-Rf+1(17)则,由ABCD定律(15)式可得到:Μ=[10-1f1](18)1.4反射器对系统稳定性分析实际应用中,光学系统通常是由若干个光学元件构成。由(1)式可知,m个首尾相连轴向排列的元件组成的光学系统,其变换矩阵等于这些元件各自变换矩阵逆序的乘积。实例分析5:失调望远镜的变换矩阵(图3)。Μ=[ABCD]=[10-1f21][1l01][10-1f11]=[ΜΤ+Δf1l-Δf1f21ΜΤ+Δf2](19)上式中ΜΤ=-f2f1为望远镜放大率,Δ=f1+f2-l为望远镜的失调量。实例分析6:猫眼反射器的变换矩阵(图4)。Μ=[ABCD]=[1f01][10-1f1][1f01][1f01][10-1f0][1f01]=[-100-1](20)实例分析7:厚透镜系统的变换矩阵(图5)。设厚度透镜厚度为l,两端面曲率半径分别为R1和R2,介质折射率为n,其左、右空间折射率分别为n1和n2。则Μ=[10n2-n1n2Rnn2][1l01][10n-n1nR1n1n]=[1+ln-n1nRn1nln2-nn2R2+n-n1n2R1+(n2-n)(n1-n)m2R1R2ln1n2+n1(n2-n)m2R2l](21)1.5特例法当某一光学系统是另一光学系统在某一极限情况下的特例,那么可直接得到其变换矩阵。如:球面反射镜(5)式ρ→∞→平面反射镜Μ=(22)球面折射(6)式ρ→∞→平面折射Μ=[100n1n2](23)失调望远镜(19)式Δ→0→调焦望远镜Μ=[ΜΤl01ΜΤ](24)厚透镜(21)式l→0→薄透镜Μ=[10n2-nn2R2+n-n1n2R1n1n2](25)上式中,令1/f=-C=-(n2-nn2R2+n-n1n2R1),则f为薄透镜的焦距。2常用的推导方法本文共归纳了5种推导