数学欣赏的三维度

数学欣赏的三维度

近年来，张景祥先生倡导“数学阅读”。虽然数学阅读不是一个新概念，但现在当数学成为一个负担、家庭职业、教师、学生和其他目的的名词时，它会突然地提到数学的阅读。这是偶然的。1数学之美:数学的真—数学欣赏的含义与对象先来看看何谓欣赏?欣赏的中文含义是领略、赞赏、观赏、喜欢,还有佩服.英语是toadmire或toenjoy,都包含着一种在喜好、倾慕的前提下愉快、积极地接受、沉浸并享受某种客体(或对象)的情感.可见欣赏是一个与主观意识和心理倾向紧密相关的概念.例如,欣赏一幅美景,一幅书画作品,一场精彩的足球比赛等.欣赏,作为一种伴随着较为积极的心理倾向的活动,对一个人的知识水平有什么要求呢?这是一个值得研究的问题.初步的看法是,随着欣赏对象的不同,要求也不一样.对于较为复杂和高级的欣赏活动,有时候要求欣赏者具有较高的知识素养或艺术素养.即使是欣赏同一件事物或对象,也是有层次之分的.比如,欣赏一件艺术品,欣赏者之间可能相距万里,有的人是鉴宝专家,有的人是一无所知的外行.俗话说,“外行看热闹,内行看门道”,意思就是说对同一事物,不同的知识层次和观赏力会出现不同的效果.这也就是说,即使是对于同一对象,由于审视者个人修养的不同,会出现完全不同的欣赏感受和欣赏效果.说到数学的欣赏,细细想来,感觉“数学欣赏”的概念在实际语境中远比想象的要复杂些,特别是当这个概念与数学教学联系在一起的时候更是如此.初步看来,可以把数学的欣赏理解为个体认同、喜欢数学的一种心理趋向,一种对于数学的美好情感和认知.在最初的数学欣赏中,一个人懂不懂数学或者懂得多少其实都没有什么关系,正如许多五音不全和一点五线谱知识都没有的人也可以很喜欢音乐一样.在数学的受众中,不懂数学但仍喜欢数学的人数量是不多的.其中,有些人并不很懂数学,但在长期的社会文化与科学文化氛围中,感受到了数学计算之精确,形式结构之严密和论证推理之充分有力,因此,对数学有一种崇敬之情,也是在情理之中的.一个社会对数学的文化评价越高,就越容易获得公众对数学的喜爱和认可.这些都可以看作是一种较为朴素的对数学的欣赏了.而研究者在数学教育中所倡导的“数学欣赏”,应该是高于朴素的大众数学文化层面的,即需要建立在必要的数学认知基础之上.也就是说,数学欣赏是要以一定深度的数学理解、数学习得和数学认知作为前提的.在数学中,哪些内容和成分可以成为欣赏的对象呢?以往发表的相关文章大多集中在对数学美的欣赏上.固然,数学之美是数学欣赏的一个重要领域,然而,如果仅仅认为只有数学之美才是数学欣赏的对象,那就有些过于局限和片面了.为了进一步探讨相关问题,先看看大家是怎么说的.著名数学家陈省身先生曾有“我们欣赏数学,我们需要数学”和“数学好玩”等题词,强调了数学的真、美与善等不同层面[3~4].著名数学家丘成桐先生曾在接受《光明日报》记者采访时说:“数学是一门很有意义、很美丽、同时也很重要的科学.从实用角度讲,数学遍及到物理、工程、生物、化学和经济,甚至与社会科学也有很密切的关系.文学最高境界,是美的境界,而数学也具有诗歌和散文的内在气质,达到一定的境界后,也能体会和享受到数学之美.数学既有文学性的方面,也有应用性的方面,我对这些都感兴趣,探讨它们之间妙趣横生的关系,让我真正享受到了研究数学的乐趣.”就拿数学之美来说,应该如何理解呢?丘成桐先生说:“数学之美在于简约严谨,应用一些简单的数学定理把大自然万物的关系描述出来.我想物理学家和工程师也可以体会到数学的美,比如,电脑的各种各样的问题都可以用数学来解释.以简驭繁,这是一种很美好的感觉.这是与文化艺术共通的语言,张大千的国画,寥寥几笔,栩栩如生,跃然纸上.”因此,数学之美具有简洁、生动、应用性等特征,数学之美是渗透于数学的知识、结构和模式当中的.可见,在陈先生和丘先生看来,数学具有真、善、美3个层次的表现力.这里对数学的真善美的概念略加说明.所谓数学的真,就是数学的真理属性,全部的数学知识都是以数学的真理性为依归的.而数学的善,则是衡量数学功用价值的一个重要尺度.至于数学的美,则是数学艺术价值的一种体现.数学的真、善、美构成了数学表现力的主要侧面,而3者的综合则是全面审视并欣赏数学的基本起点.因此,数学的欣赏可以从上述3个维度各自展开并予以适当的组合.这里,研究者提出数学欣赏的一个三维目标,即数学的“真—善—美”,这是一个相互联系的三维结构(如图1所示),其中单独一个或任意两个的结合或三位一体都可以成为数学欣赏的对象.需要稍微对图1做一些说明.除了数学的美可以作为欣赏对象之外,数学的真和善也同样可以作为数学欣赏的对象.数学的真、善、美,既可以相对独立地作为欣赏的对象,也可以两两组合,如真—善,真—美,善—美,作为数学欣赏的二维对象,还可以真—善—美三位一体作为数学欣赏的对象.更进一步地,二维的动态性与第三维可以结合,形成新的欣赏对象的截面.如真—善的二维动态面,可以与美的维度进行结合,形成不同层次的真—善—美剖面.以真—善之美为例,源自于数学的真与善,是数学追求数学原理,刻画世界图式的两个基本诉求.在数学的真与善这样一个维度上,数学的美也随之展现.例如,在阿基米德、牛顿、拉普拉斯、傅里叶、高斯、麦克斯韦、狄拉克、爱因斯坦、冯·诺依曼等众多数学家和科学家的研究中,大自然及其现象成为其研究所因循的本宗.如三维状态下著名的拉普拉斯方程:既是最基本的偏微分方程形式,还是刻画电场、引力场和流场等有势场的最有效的数学物理方程.而这样一个兼具数学的真与善的著名方程,其形式之美(对称、均匀、简洁、整齐、划一、齐次等)也是如此地突出.真实地展现了在真—善层面上的美妙,堪称数学真、善、美的合一.再以真—美之善为例,物理学以探索自然之真为法宗.在这一过程中,对数学美的追求和感受构成了许多物理学家建立物理学定律的原动力和基本尺度.著名物理学家狄拉克就说过:“基本方程应该是具有美感的.”正是在这样的对于美的追求和欣赏中,著名的狄拉克方程才得以孕育,并预言了正电子的存在.这样看来,在数学美的原理当中,可以通达数学的真与善.如此通过数学的真、善、美3个维度的立体分析和结构剖析,数学欣赏的对象不仅有极大的丰富性,而且显示了很好的层次性和结构性.重要的是,在这样一个三维目标中,研究者改变了只有数学美才是数学欣赏对象的较为狭隘的观点,走向了真善美三位一体的欣赏空间里.2倡导数学的预防意识在数学教育或数学教学中,数学欣赏的含义就变得更为丰富了.由于研究者倡导的数学欣赏对象包含了数学的真、善、美这3个层面,因此在数学教育的过程中,数学欣赏是伴随着一个立体的数学教学空间而展开的.在数学教育中,对数学之真的欣赏包含了对数学科学性、真理性和学科知识特征的认同;对数学之善的欣赏是对数学价值(尤其是外部价值)的一种肯定;而对数学之美的欣赏是对数学的一种美感和由此带来的智力愉悦.在数学教育中,对数学真、善、美的欣赏是相互联系,不可分割的.但在具体的数学知识和内容上,3者所占的比例和分量可能会有所不同,其教育功能也会随之有所变化.相对看来,数学的真、善、美是一个相互联系的欣赏整体,而从数学教育的功能看,真、善、美依次构成了一个阶梯:数学的真处于最基本的位置,而数学的功用性在第二个位置,数学的艺术性则处于第三的位置.在数学教学中强调数学的真,是一种初级的数学教育形式.固然,没有数学的真,数学的善与美就无从谈起.但仅仅强调数学的真,则无法展开数学教育的深广画卷.只有把数学的善和美的欣赏作为数学教育的有机构成,才可以称得上是一种具有立体感的数学素质教育.此外,对数学欣赏的主体而言,在数学教育中,欣赏者不再是孤立的个体,而是变成了具有主体间性的个体与群体的有机结合.当数学的欣赏变成了一种主体间性的共同活动,教育和教学的深层本质才会被充分地揭示并展现.综上,在数学教育中提倡数学欣赏,承载着完成数学教育功能的使命.提倡数学欣赏,在数学教育中具有重要的现实意义.数学教育的现实境地是,许多学生害怕数学、恐惧数学、讨厌数学.因此,如果时下多数学生说,我们不是多么讨厌数学(言外之意,也不是多么喜欢数学),这已经是烧高香的事情了,更勿遑论喜欢甚至欣赏了.君不见,当数学成为应试教育的急先锋,扮演着诸如小学奥数和各种升学考试的敲门砖的丑陋角色时,当数学教师在课堂上说,你看这个数学公式或这个图形多么美呀,多么有吸引力时,学生却自叹到,我怎么欣赏不了啊,一点美好的感觉都没有呀?这难道不是长期以来应试教育所制造出来的教育失败吗?因此,从当下数学教育的现实看,研究者们要做的倒不是立即进入欣赏数学的境界,而是要从逐步消除学生的厌学情绪、恐惧心理入手,进而,慢慢培育学生的数学情趣.让学生逐步喜欢数学.让学生学会欣赏数学.进而让学生学好数学.自新课标实施以来,一种清新的理念试图吹开一直笼罩在数学教学头上的沉闷的阴霾.比如,数学的应用性、生活化以及数学文化的观念被抬到了一个较高的位置.这些都是对数学的善与美(而非仅仅是真)层面的考量,其课程价值之深远是不可估量的.因为在实际教学中,数学教师和数学工作者大多都有感触,即使到了本科层次,仍有不少学生错误地、根深蒂固地坚信,数学其实是最没有实际用处的一门学科.如果有学生认为数学没有什么用,那对数学的善的欣赏又从何谈起呢?而事实上,数学的真、善、美是相互关联,互相衬托,相互依存的.新课标实施以前的数学教学理念以知识为主线,相对忽视了对数学的善与美的强调,致使数学的文化形象残缺不全,这种状态在新课标实施之后开始逐渐改变.数学的丰满形象应该是真善美的有机统一.作为数学教师,应该让数学成为学生文化素质的有机组成部分.数学教师要把数学课堂变成一种数学文化的课堂.数学教师要改变对数学的工具主义理解,让数学知识在文化层面上加以体现.在数学教育中倡导“数学的欣赏”,是实践数学文化教育目标的一个微型化,是一个具有示范性的亮点,也是洞开数学文化课程建设和数学文化教学实践的一个窗口.近年来,国内有学者对此领域进行了尝试性的开拓[7~8].《数学教育学报》还辟“数学文化课程建设专栏”,刊登中国学者和教师在相关领域的研究成果[9~15],学术选题的触觉可谓独到敏锐,这种对数学文化开专栏的做法对促进中国数学文化课程研究具有重要的导向和引领作用.研究者把数学的欣赏归结到数学文化素养这一大概念中,也就是包含数学美育但又超越了数学美育的范畴.但正如前一节所阐明的,数学欣赏并不全是指数学的美,还有数学的真和善,比如数学的理性精神、数学的精确性、逻辑性和合情推理以及数学的有效性等.但无论如何,数学欣赏是跑不出数学文化素养范围的.所以,在数学教育理论或数学教学实践中,“数学欣赏”不能孤立地、片面地去提倡,而是应该与数学知识、技能、能力、思维、方法和文化一起,与整体的数学教与学的全过程浑然天成.大家知道,数学中有了解、理解、掌握、深刻理解、熟练掌握等不同的学习层次.那么,欣赏在数学学习中究竟应该占据一个什么位置呢?初步的感觉是,真正的欣赏是在基本的理解和掌握的基础上才会产生的.欣赏可以在数学学习的任何层次上开展.而不同层次数学学习上的欣赏可能有很大的不同.从各个层面上,而不仅仅是在较高的层面上去理解数学欣赏,就可以把数学欣赏分散于数学教学活动的各个环节,使得数学学习更易于被学生所喜爱,增加学生学习数学的刺激点和兴奋点.千里之行,始于足下.消除厌倦和积极欣赏,也可以相伴相行.如果能多一点欣赏和喜爱,就可以减少一丝畏惧和厌倦.数学欣赏一定要与鲜明的数学教育功能伴之随行.初步地,有以下几点需要考虑.首先,在数学教育中融入数学欣赏,逐步培养学生欣赏数学的情怀,可以让学生喜爱并乐学数学.喜爱是最好的老师,欣赏是喜爱的一个前提.虽然数学学习有客观外界的要求,如课业要求、升学压力等,但从内心,从主观上热爱数学、爱学数学,才是最根本的动力.那么,这种对数学的感情是怎么来的呢?人的感情世界是丰富多样的,人所喜爱的对象,其原始的“基因”无非是由诸如血缘、族群、本能、游戏、生活环境等构成,逐步推而广之,涉及到人类文化的诸多领域.而对数学的感情则是基于人的智力品质和人对于知识的渴求.每个人的内心都有对数学的一种原始直感,也就是人的先天的数学感知力,正如人有一种对语言的先天能力一样.这种感知力在适当的时候会被激发并形成初步的数学知性.然而,具备这样的潜质,并不意味着就一定能有较高的数学学习成就.数学教育的重要性也就在于此.正如一个狼孩在过了最佳的语言学习期之后无法达到正常的语言表达能力一样,数学潜质如果不被很好地激发,也可能就永远石沉头脑的大海里了,而这是多么让人遗憾的事情啊!有了一定的数学欣赏能力,加之适当的教学方式和学习方式,就会有明确的数学学习目标和学习动力,知道为什么要学数学?而人的先天的数学感知力,正是开展数学教学的认识心理学基础.如此说来,数学素养在一个人很小的时候就应该被加以关注了.因此说,数学教育也应从娃娃抓起,是确切无疑的.而对数学的感情是可以逐步培养的,这一点也是毫无疑问的.比如数学中的智巧和解谜,数学在广泛领域里的神奇作用和应用,数学故事,数学家的传奇等数学教育叙事可以满足学生对于数学的好奇心和探索欲望.其次,在数学教育中倡导数学欣赏,有助于形成数学的真实形象,使学生从真、善、美3个维度上准确、客观、生动、鲜活地接近数学.了解数学的科学内涵、理性精神和文化气质.比如,数学的真,是数学科学的本质属性,只有从数学的真出发,才可以得出数学的善和美.因此,在数学中体验实事求是的态度,公正客观,以理服人,严格论证,求真务实的精神,同时也有助于学生在更高层次上认识数学的善并体验数学的美.反之,在善与美的层面上对数学的意识,也可以有一种追求数学真理的新的动力.比如,在认知系列中,学生不仅仅知道有“勾股定理”这一孤立的定理,而是要与无理数(在几何中表现为不可公度线段)的发现,余弦定理、几何图形的面积、勾股数、不定方程的求解乃至费马大定理、坐标系中的两点距离公式、三维空间乃至更高维空间的相关结论、三角中的相关公式……等系列的知识相链接.这样,一幅纵横相连的,立体的,密集的知识图式就豁然展示在面前.研究者感受到了数学知识内在的有机联系和统一性.而拓展来看,勾股定理的价值绝不仅仅局限在数学的内部.在中国古代,勾股定理被用来测量天地和治理河流.《周髀算经》和《路史后记十二注》中对此都有记载和描述.在古希腊,毕达哥拉斯定理(即勾股定理)除了其极为重要的知识价值外,还被赋予了美的价值.在毕达哥拉斯的数学世界里,数字与音乐、天体之间有一种美妙的韵律,这种美体现了一种自然的和谐和秩序.第三,在数学教育中渗透数学欣赏,有助于感受数学的真、善、美一体化的魅力,建立真、善、美三位一体的数学感知、认知和情感体系.以下撷取数学海洋中的几朵浪花对此予以说明.(1)存在着处处连续,处处不可微的函数,如著名数学家魏尔斯特拉斯构造的函数:其中,0<a<1,b>0,b是一个奇数,且普通的数学直观在这里似乎被窒息了,一种超级的数学直观取而代之,数学的真与美以一种新的数学事实和观念被结合在一起,数学的知识与逻辑本源性再次显示了力量,也给人一种惊艳的、意外的美感.(2)狄利克莱函数是黎曼不可积的,这与普通的数学直觉相符.然而,在勒贝格积分中,狄利克莱函数却获得了新生.这里面所展示的知识临界状态宛若在平静的河面上突然出现的一道壮观的瀑布,给人一种令人震撼的数学威力.(3)非欧几何的许多知识点,与人的几何直观相背离,但却构成了自洽的逻辑.黎曼几何也因其在广义相对论中的价值而享誉科学界.这是真与善的完美结合.这种结合同时还扩展了数学美的涵义.有人用“奇异美”来表达这种超乎普通美感的心理感受.也许,某个奇异的未知世界正好满足罗巴切夫斯基几何的神韵呢!鉴于几何学可以与其表征的经验性质相分离,数学空间的自我想象力由此被彻底开启.(4)非欧几何的相容性是建立在欧氏几何的相容性基础之上的.这一结论初看起来有些匪夷所思,因为欧氏几何和非欧几何各自所依赖的某些公理是相互矛盾的.而实际上,它恰恰表明了数学在局部差异性之上所具有的整体统一性.推而广之,是否可以大胆地猜想,局部的微小悖谬其实是无伤数学理论体系的结构稳定性的.或许,这些细小的盘根错节的张力的堆积正是支撑数学大厦的坚实力量呢?(5)用傅里叶级数可以表示一切具有满足一定条件的函数,这是一个多么令人神往的结论.不管函数的来源和形式有多么不同,只要能满足一定条件,就都可以用傅里叶级数加以表示,甚至可以把傅里叶级数称为一种万能函数.第四,数学的欣赏有助于形成关于数学的方法维度和数学的历史(画卷)维度的动态图像.数学的历史画卷十分浩瀚,可以按照课程设计和教学内容从中截取若干片段加以欣赏,进而实现相关的教育功能.比如,(莫雷定理):三角形三个角的三等分线共有6条,每相邻的(不在同一个角的)两条三等分线的交点,是一个等边三角形的顶点.(见图2)再比如,九点圆(也叫欧拉圆):在平面上,任何三角形ABC的3边的中点,3高的垂足,和顶点到垂心的3条线段的中点,这9个点是共圆的.即图中的D、E、F、G、H、I、J、K、L共圆.(见图3)图2给人的最深刻印象是,即使在任意三角形中,也存在着满足某些条件的正三角形,所谓“万变不离其宗”.而图3则深刻地揭示了在三角形的线点结构中所具有的某种必然关系.所谓“严丝合缝,丝丝入扣”.可以想象,当数学的知识图像与文化的、历史的图像相结合之后,所展现的将是怎样一幅绚丽的、立体的、动感的数学画卷,学生学习的主动性和创造力会被怎样地激发.3数学的预防功能数学欣赏的较高境界是数学的鉴赏.与欣赏相比,鉴赏有品评、估计、判断的色彩,而欣赏更多的是一种欢喜和钦佩.正如对于某个书画作品,一般的观者与专家不在同一层次上一样,数学中的鉴赏是可以对某个数学对象进行评头论足而不仅仅是点头哈腰.例如,对个别知识的了解,孤立地欣赏某个定理,某个数学家,虽也不能不算是欣赏数学,但这种“只见树木,不见森林”的做法是数学欣赏的较低层次,应该逐步推广到结构化和系统化的层次.而后者则属于鉴赏的层次了.正如鉴赏不同于欣赏(书画家会鉴赏作品,而普通人的层面只是欣赏),数学的鉴赏要求人们有一个对数学的基本观念,包括哲学的、人文的、科学的、美学的、文化的观念.数学的鉴赏,作为数学欣赏的较高层次,已经具有了很强的数学认识,甚至数学研究的色彩了.在数学鉴赏中,数学的认知色彩和知识深度占据了较大的比重.一个人关于数学学科分支和结构的知识在相当程度上决定着其对于数学的高级鉴赏力的形成和取向.在数学鉴赏中,许多有关鉴赏的心理和认知特征都会在更大范围内起作用.比如,作为数学家,其研究的风格,研究的倾向性等,都与其对于数学的鉴赏能力有密切的关系.而数学的鉴赏能力,对于数学教师同样是很重要的.数学教师的观念和素养的重要性无论如何强调都不过分.如果数学教师自己不会鉴赏数学,就很难引导学生进行鉴赏了.特别是对数学教学而言,数学的鉴赏(包括数学的欣赏)应该与教学过程做一紧密的结合,即应该渗透到数学知识的学习过程中.如果对数学的欣赏有助于理解数学概念或有助于解题,那么数学的欣赏就不会停留在“外行看热闹”的层面上.比如,解决一个问题可以有许