傅立叶变换与拉普拉斯变换

附录A傅里叶变换1周期信号的频谱分析一里叶级数FS狄立赫雷条件：在同一个周期71内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积j丁If(t)dt<*。傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集｛1，conwit，si应①J:nEN｝或复指数函数集化"唯：neZ｝，函数周期为匕，角频率为2兀f=%T1任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。傅里叶级数：f(t)=a。+乙(ancon%t+bnsinn")n=1系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。称f=1/7(/=«1)为信号的基波、基频；f(七,i=2〜n)为信号的n次谐波。ein®t+e~in(^t On3t—e~in(^t根据欧拉公式：cosn^t= ,sinnwt= 2 2i复指数形式的傅里叶级数：f(t)=E""%n=一8(1)周期信号的傅里叶频谱：称FJ为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。称玲|｝为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率nq(或频率nf1)上有值。FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为％=2兀/71。FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)信号f(t)的傅里叶变换：F(①)=jf(t)ef出=F'f(t』—8是信号f(t)的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。频谱密度函数F(w)的逆傅里叶变换为：f(t)=慕'F(3)"'以血=F—1[F("J2冗一8称e-j"t为FT的变换核函数，ej"t为IFT的变换核函数。FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。FT具有可逆性。如果f[f(t)]=F(w)，则必有F-1[F(w)]=f(t)；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成F(w)=F(w)le79(W)

称F皿)1为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；称侦雨=Arg(F(^))为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。⑺FT频谱可分解为实部和虚部：f(①)=Fr(①)+jF.(①)、， ■r、/i、’Fr(④)=F(④)1cosCp(④))F(①)I=\.'F2(①)、， ■r、/i、’Fr(④)=F(④)1cosCp(④))F.(q)=F(Q)lsinCp(Q)).f(t)\dt<8。S⑻FT存在的充分条件：时域信号f(t).f(t)\dt<8。S注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(2)FT及IFT在赫兹域的定义：F(f)=j8f(t)e-Pft；f(t)J8F(f)jfdf—8 —8⑶比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号：(2)偶双边指数信号：f(2)偶双边指数信号：f(t)=e/(a>0)(3)矩形脉冲信号(b)频谱(b)频谱图3(a)矩形脉冲信号(5)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT图6单位阶跃函数及其幅度谱附录B拉普拉斯变换及反变换一.拉普拉斯变换及逆变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,8]或0WtW8单边函数Mf(t)e-stdt=F(s)0-其中，S=。+j3是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)£(t)，则拉普拉斯变换为

F(S)=J"f(t)8(t)e-stdt0-其中积分下标取0而不是0或0，是为了将冲激函数＜5(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。+1 b+/"拉普拉斯反变换：f(t)=万可8(t)Jb.F(S)eStdS这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(S)=L[f(t)] ；f(t)=L-i[F(s)]拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性L[af(t)]=aF(s)叠加性L[f(t)土f(t)]=F(s)土F(s)12 122微分定理一般形式df(t)L[dfj~1]=sF(s)-f(0)dtL[d/(t)]=s2F(s)-sf(0)-f(0)dt2:L[ f()]=snF(s)一切sn-kf(k-1)(0)dt"k=1r (八 d卜\f(t)f(k-1)(t)=,dtk-1初始条件为零时TVdnf(t)L[ ]=snF(s)dtn3积分定理一般形式lJf^)出]=地+ikys sL由f(t)(dt)2]=坦+也性+由f(t)(dt)2]t0s2 s2 sL[共n'Jf(t)(dt)n]=胃+E士[共k'^f(t)(dt)"],=°初始条件为零时k=1L[f.'jf(t)(dt)n]=尝sn4延迟定理(或称t域平移定理)L[f(t-T)1(t-T)]=e-TsF(s)5衰减定理(或称s域平移定理)L[f(t)e-at]=F(s+a)

6终值定理limf(t)=limsF(s)ts st07初值定理limf(t)=limsF(s)tt0 ss8卷积定理L[f'f(t-T)f(T)d]=LJ'f(t)f(t-T)&]=F(s)F(s)01 2 01 2 1 2常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(s)11<5(t)121—e-Ts5t(t)=Y5(t-nT):一13s1(t):一14tT(z-1)25t2T2z(z+1)2(z-1)36sn+1tnn!limi旦(-^)aT0n!danz一e-aT7s+ae—atz一e-aT8(s+a)2te—atTze—aT(z-e-aT)29os2+o2sinotzsinoTz2-2zcosoT+110s2+O2cosotz(z一cosoT)z2-2zcosoT+1二.拉普拉斯反变换的应用用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式，即TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/、B(s)bsm+bsm-ihfbs+b / 、F(s)= =—m m-i 1o(n>m)A(s)asn+asn-i+ +as+an n-1 1 0式中，系数a,a，…,a,a和b,b,,b,b都是实常数；m,n是正整数。按代数01n-1n01 m-1m定理可将F(s)展开为部分分式。分.以下两种情况讨论。(1)A(s)=0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，

F(s)= 1—+ 2—H \~ i—H \~ n—=Y i— (F-1)s-ss-ss-ss-s.]s-s式中，s,s，…,s是特征方程A(s)=0的根；c为待定常数，1 2 n数，可按下列两式计算：c=lim(s-s.)F(s) (F-2)B(s)if'或 c=———称为F(s)在si处的留(F-3)从式(F-1)可求得原(称为F(s)在si处的留(F-3)从式(F-1)可求得原(F-4)f(t)=L-1F(s)]=L-1才-i=1c h s一si'寸乙ces.ii=1设A(s)=0有r重根s设A(s)=0有r重根s1，F(s)可写为F(s)=—(s—s)r(s—s)・..(s—s)CCj+...+ Cns-ss-s其中，c]，.•,，c二♦ + \(s—s)r(s—s)r-1式中，s为F(s)的r重根，s,仍按式(F-2)或式(F-3)计算，"

+••-+ 1+r+4——+••-+(s-s)s-s…，s为F(s)的n-r个单根;cy…，c1则按下式计算:(F-5)c—lim(s-s)rF(s)r sTs1 1d—lim—[(s-s)rF(s)]sts.ds 1cr-1cr—j=—lim"")(s-s)rF(s)j!sts1ds(j) 1原函数f(t)为f(t)=L-1[F(s)]—L-1c—r 1 r—1 (s-s)r(s-s)r-1cc—r tr-1+ r—tr-2+••-+ct+c(r-1)! (r-2)! 2 1c—r+—sr+1c+…+——s-sic+…+ n—s-snt+切cestlii=r+1(F-6)用拉普拉斯变换解微分方程:例1求解常微分方程x"'+3x"+3X+x=6e-tx(0)=x'(0)=x〃(0)=0.解：令X(s)=l[x(t)]，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件，得S3X(s)+3s2X(s)+3sX(s)+X(s)=—，s+1 3!求解此方程得X(s)= ，(s+1)4.、 、、,…一 「3!I求Laplace逆变换，得x(t)=l-i[X(s)]=l-1 =13e-.L(s+1)4_例2求解常微分方程x"+4x+3x=e-，x(0)=x'(0)=1.解：令X(s)=l[x(t)]，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件，得s2X(s)-s-1+4(sX(s)-1)+3X(s)=—，求解此方程得X(s)求解此方程得X(s)=(s*二%7 7 1 ，4(s+1)2(s+1)24(s+3)(71)—+—te-t—142)求Laplace求Laplace逆变换，得x(t)=—e-3t.4„ … 八3—1例3求解常微分方程组｛x-x-2y=et,x(0)=-^,x例3求解常微分方程组｛x'-y〃-2y=t2,y(0)=1,y'(0)=-：.解：X(s)=l[x(t)],Y(s)=l[y(t)]，在方程组两边取Laplace变换，并应用初始条件得TOC\o"1-5"\h\z31 1s2X(s)+—s--X(s