微积分原理（上） 课件ch05微分学基本定理及应用

微分学基本定理及应用“工业和信息化部“十四五”规划教材清华大学本科优秀教材建设项目资助微积分原理（上）第五章01微分中值定理1.极值的概念与费马定理下面先给出函数在一点处取得极值的概念.极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.1.极值的概念与费马定理1.极值的概念与费马定理1.极值的概念与费马定理1.极值的概念与费马定理2.微分中值定理洛尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理，统称为微分中值定理.2.微分中值定理2.微分中值定理2.微分中值定理拉格朗日中值定理的几何意义:闭区间上的连续曲线段，若曲线上每一点处都存在切线，则曲线上至少有一点C(c,ƒ(c))，过该点的切线平行于连接两点A(a,ƒ(a))和B(b,ƒ(b))的直线(如图5-1-4所示).2.微分中值定理2.微分中值定理洛尔定理表明，可微函数的两个零点之间一定有导函数的零点，因此可通过洛尔定理证明方程根的存在性及根的个数问题.02洛必达法则洛必达法则1.型不定式极限1.型不定式极限1.型不定式极限1.型不定式极限1.型不定式极限2.型不定式极限2.型不定式极限2.型不定式极限2.型不定式极限2.型不定式极限3.其他类型不定式极限3.其他类型不定式极限03泰勒公式及应用泰勒公式及应用在初等函数中，多项式是最简单的函数。这是因为多项式函数只有加、减、乘三种运算.从而联想到，如果能将复杂的函数近似地用多项式函数表示出来，而误差又能满足要求，显然，这对函数性质的研究与函数值的近似计算都会带来很大方便，由微分知道，如果ƒ(x)在a点处可微，则其中o(x-a)是当xa时比x-a高阶的无穷小量如果允许有误差o(x-a)，则f)就可以用关于x-a的多项式f(a)+f(a)(x-a)近似代替如果要求误差比(x-a)更小，例如，允许有误差o((x-a)”)存在，我们希望用关于x-a的n次多项式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式2.基本初等函数的展开式3.泰勒公式的应用04单调性与极值1.函数的单调性我们在中学数学中学习了用代数方法研究一些函数的性态，如单调性、极值、奇偶性、周期性等，但受当时方法的限制，这些研究既不全面也不深入:导数为我们更广泛、更深入地研究函数的性态提供了有力的工具，根据导数的几何意义，如果曲线段y=f(x)(Vxe(a,b))在其上每点处都存在切线，且这些切线与轴正方向的夹角是锐角，有切线斜率f’(x)>0，此时函数在()内严格增加:如果切线与x轴正方向的夹角是角，有切线斜率f’(x)<0，此时函数在(ab)内严格减少，事实上，我们有下面的结论.1.函数的单调性1.函数的单调性2.函数取极值的条件2.函数取极值的条件2.函数取极值的条件05函数的凸性与函数作图函数的凸性与函数作图著名数学家希尔伯特(Hibert)曾说:“算术是写下来的图形，几何图形是画下来的公式.”运用几何图形的直观性和数形结合可解决一些代数问题.1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性1.函数的凸性2.曲线的渐近性定义5.5.4当曲线L上动点P沿着曲线L无限远移时，若动点P到某直线1的距离无限趋近于零，则称直线1是曲线L的渐近线.曲线的渐近线有三种:垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线.2.曲线的渐近性2.曲线的渐近性2.曲线的渐近性3.函数作图我们已掌握了应用导数讨论函数的单调性、凸性、极值点、拐点等的方法，从而能比较准确地描绘出一个函数的图像，具体步骤如下.(1)求函数的定义域(确定图像的范围).(2)判别函数是否具有奇偶性或周期性(缩小描绘函数图像的范围).(3)求曲线的渐近线(包括垂直渐近线、水平渐近线及斜渐近线).(4)求函数f(x)的一阶导数和二阶导数，求出f’(x)=0,f’’(x)=0的解，并讨论f(x)的单调性、极值、凸性及曲线的拐点，以及导数可能不存在的点的函数值.(5)计算函数的驻点、局部极值点，曲线的拐点坐标及曲线与坐标轴交点的坐标.(6)在直角坐标系中，先标明上述关键点的坐标，画出渐近线，再按照曲线的性态逐段描绘.06方程求根的牛顿迭代公式方程求根的牛顿迭代公式方程的求根问题是一个基本数学问题，在应用科学和工程技术领域有着广泛的应用。我们知道，闭区间上连续函数的零点存在定理给出了方程有根的一个很一般的充分条件，但这只是一个存在性定理，只保证了根的存在性，而没有给出如何求根。在许多实际问题中，往往需要求出误差可以很小的根的近似值，例如，实际应用中存在许多求函数的最大值、最小值问题，如果函数的最值是在开区间内取得的，该最值点即为极值点，而求函数f(x)的极值问题，可归结为求方程x)=0的根的问题，再有，应用科学和工程技术领域有许多问题最后归结为求代数方程的根的问题，代数学基本定理告诉我们，每个n次代数方程都有n个复根(重根按重数计算)，但只有n≤4的方程有求根公式，挪威数学家阿贝尔和意大利数学家拉菲尼独立证明了当≥5时便没有一般性的求根公式法国数学家伽罗瓦给出了当n≥5时特殊系数条件下存在求根公式的充要条件，顺带发明群论这一数学分支，对一般的高阶多项式，可以应用数值方法求解方程的近似根，而设计一个快速收敛的数值算法，进而求出一个给定方程的误差可任意小的近似根，在理论及实际应用中都具有非常重要的意义.方