《应用数学基础》课件第七章 空 间 图 形

第七章空间图形

在平面几何里，我们研究过一些平面图形（由同一个平面内的点、线所构成的图形）的形状、大小和位置关系，还有平面图形的画法和计算以及它们的应用.可是，在解决实际问题中，只知道在这些几何知识还是不够用的，例如，建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形.第一节平面及其基本性质第二节线面间的位置关系第三节多面体第四节旋转体第一节平面及其基本性质一、空间概念

空间图形是由空间的点、线、面所构成，这些图形上的点不完全在同一个平面内，例如桌子、书、粉笔、螺母等物体，以及我们所熟悉的长方体、圆柱、圆锥等几何图形，这些都属于空间图形，平面图形是空间图形的一部分.

从集合的观点看，空间图形是满足某种条件的空间点的集合.

平面是最常见最基本的空间图形，桌面、黑板面、平静的水面以及窗玻璃，都给我们以平面的形象，几何里所讲的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，几何里的平面是无限延展的，它没有厚度.二、平面的表示法图7-1平面的画法及表示(a)(b)(c)(d)

画直立的平面时，可以把平面画成矩形或平行四边形，使它的竖边和水平平面的横边垂直，被平面遮住的线段画成虚线或不画，如图7-1所示.详细的作图方法，后面还要介绍.三、平面的基本性质

在生产与生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面的三个基本性质，我们把它们当作公理，作为进一步推理的基础.公理3

不共线的三点确定一个平面，如图7-4所示.

图7-2公理1的图形图7-3公理2的图形图7-4公理3的图形“确定”二字的含义是指，经过不在一条直线上的任意三点，可以作一个平面，并且只可以作一个平面.根据上述公理，可以得出以下推论：推论1一条直线和这条直线外一点确定一个平面（图7-5）；推论2两条相交直线确定一个平面（图7-6）；推论3两条平行直线确定一个平面（图7-7）；图7-7推论3的图形图7-5推论1的图形图7-6推论2的图形

例1

证明两两相交且不过同一点的三条直线共面（即在同一平面内）.图7-8例1图形证明四、平面图形直观图的画法

我们知道，在水平平面内画矩形不是画它的真实形状（简称真像），而是画成平行四边形，这个平行四边形通常叫做矩形的直观图.一般地，我们把平面图形（或空间图形）在水平平面内所画成的图形叫做该图形的直观图.下面举例说明平面图形的直观图的画法.图7-9例2图形图7-10例3图形图7-11例4图形

归纳上面的例子可以知道，在水平平面内画平面图形的直观图一般可遵循下面的规则：(1)选择已知图形的水平方向线段（或作辅助的水平线段）；(2)凡水平方向的线段仍画成水平方向，其长度不变（即实长）；思考题：课堂练习题：1.背熟3个公理及公理3的三个推论.2.能否说一个平面长4米、宽2米.判断：习题答案(单击左键显示答案)第二节线面间的位置关系一、直线和直线的位置关系

我们已经知道，在同一平面内的两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交.图7-12平行六面体

（1）相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.[！注意两条异面直线的画法，参看图7-13（a）].1.空间直线的平行关系

定理1

不在同一平面内的三条直线，如果其中两条直线都平行于第三直线，那么这两条直线也互相平行.

定理2

不在同一平面内的两个角，如果其中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.(a)异面直线的画法（b）两条异面直线所成的角图7-13异面直线2.两条异面直线所成的角

定义经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角（或直角），称为两条异面直线所成的角[图7-13（b）].

当两条异面直线所成的角是直角时，就称这两条异面直线互相垂直.

反映两异面直线位置关系除了角度，还有距离，和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线（可以证明它是存在的且是惟一的）.公垂线在两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线间的距离。证明图7-14例1图形图7-15例2图形二、直线与平面位置关系

一条直线和一个平面的位置关系有且仅有以下三种，如图7-16所示.图7-16直线与平面的位置关系（1）直线在平面内—有无数个公共点；（2）直线和平面相交—有且只有一个公共点；（3）直线和平面平行—没有公共点.1.直线和平面平行的判定和性质直线和平面平行，除可以根据定义判定外，还有以下的定理.

直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.2.直线和平面垂直的判定和性质

直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.图7-21直线和平面垂直判定定理示意图

直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.图7-22直线和平面垂直性质证明示意图

从平面外一点引一条平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线上每一点到平面的距离相等.图7-23例5图形3.直线和平面斜交自平面外一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,这个点与垂足之间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.

过斜线上的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影，斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上.根据直角三角形性质，我们容易得到：定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(1)若射影相等，则斜线段也相等，若射影不等，则射影较长的斜线段也较长.(2)若斜线段相等，则射影也相等，若斜线段不等，则斜线段较长的射影也较长.(3)垂线段比任何一条斜线段都短.

可以证明，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.图7-25例6图形5.三垂线定理

三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.图7-26三垂线定理的图形

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

例7如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.图7-28例8图形三、平面和平面的位置关系两个平面的位置关系只有：（不含重合平面）（1）两平面平行——没有公共点；（2）两平面相交——有一条公共直线.判定两个平面平行，除根据定义之外，还有下面的定理.

两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.图7-29两平面平行的判定定理证明示意图

推论1

如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行.

推论2

垂直于同一条直线的两个平面平行.

两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

显然，两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.图7-30两上平面平行性质证明示意图

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.

容易证明，两个平行平面的公垂线段都相等.如图7-31所示.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.图7-31两平行平面的公垂线图7-32例9图形四、二面角

修筑堤坝时，为了使堤坝坚固耐用，必须使坝的侧面与水面成适当的角度；发射人造卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定角度，因此生产和科学技术的发展要求我们研究两平面所成的角.

一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，每一部分叫做半平面.

定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，构成二面角的两个半平面叫做二面角的面.1.二面角的平面角

定义在二面角的棱上取任一点，从这个点起，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.图7-33两面角示意图图7-34例10图形图7-35例11图形2.平面和平面垂直的判定和性质两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.

两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.图7-36两个平面垂直判定理证明示意图

两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.图7-37两个平面垂直性质证明示意图图7-38例12图形图7-39例13图形

推论1

如果两个平面互相垂直，那么经过其中一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线，必在前一个平面内.

推论2

如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面.习题1.判断题.思考题：课堂练习题：(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)空间中平行于同一直线的两条直线互相平行.()(3)两条互相垂直的直线一定共面.()1.用三种方法画异面直线图形.2.判断题：(1)平行于同一平面的两条直线一定互相平行.()(2)过平面外一点作平面的平行线，能且只能作一条.()(3)一条直线垂直平面内的两条直线，这直线和该平面垂直.()（单击左键显示答案）答案（单击左键显示答案）(4)平面内垂直于斜线的直线，就垂直于斜线在这个平面内的射影.()(5)分别在两个平行平面内的直线互相平行.()(6)如果一个平面内两条直线同时平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.()(7)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()第三节多面体

本节将介绍特殊的多面体：棱柱、棱锥、棱台及相关计算.

由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.两上相邻面的交线叫做多面体的棱.棱和棱的交点叫做多面体的顶点.不在同一个面内的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.多面体至少具有四个面，若按多面体的面数分类，则有四面体、五面体、六面体、七面体等.一、棱柱

1.棱柱的概念和性质有两个面互相平行，其余每相邻的两个面的交线都互相平行的多面体，称为棱柱.

互相平行的两个面，称为棱柱的底面，其余各面称为棱柱的侧面，两个相邻侧面的交线称为棱柱的侧棱.两个底面间的距离称为棱柱的高，经过不在同一侧面内的任意两条侧棱的截面叫做棱柱的对角截面.

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…,我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.(1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)对角截面是平行四边形.

在棱柱中，底面为平行四边形的棱柱称为平行六面体，它的上、下底面及四个侧面均为平行四边形.

按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、高的平方和.图7-42例1图形图7-43棱柱的直截面图7-44例2图形图7-45例3图形

3.直棱柱的画法前面我们已经学过平面图形直观图的画法，现在来介绍直棱柱的直观图的画法，下面以正六棱柱为例说明画法的步骤.(1)画出直棱柱下底面的真像[图7-46（a）];(a)(c)(b)二、棱锥1.棱锥概念和性质有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，这样的多面体称为棱锥.

这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的棱，各侧面的公共点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高.图7-46(d)

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……,我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.图7-48例4图形2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积图7-49例5图形

3.正棱锥的画法现以正五棱锥为例说明画正棱锥直观图的步骤.(b)图7-50正五棱锥的直观图的作法(a)(d)(c)三、棱台

1.棱台的概念和性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台.

原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上下底面之间的距离叫做棱台的高.

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台，分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台有以下性质.(1)正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；(2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；图7-52正棱台性质示意图7-53例6图形2.正棱台的侧面积、全面积和一般棱台体积图7-54例7图形3.正棱台的画法现以正四棱台为例说明画正棱台直观图的步骤.图7-55正棱台直观图的画法（a）（c）图7-55正棱台直观图的画法（b）图7-55正棱台直观图的画法院（d）习题思考题：1.面数最少的多面体是几面体，它有多少条棱？多少个顶点？2.直棱柱的底面与侧面是否垂直，为什么？3.平行六面体的各个面是什么样的四边形？直平行六面体？长方体呢？课堂练习题：答案答案答案答案答案答案第四节旋转体

在日常生活中,我们常见到的足球、灯泡、日光灯管等都属于旋转体，我们从它产生的方法给出一般意义的旋转体的定义.

定义一个平面图形绕着与它在同一平面上的一条定直线旋转一周所形成的几何叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.一、圆柱

1.圆柱的概念和性质一个矩形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱.图7-58圆柱的形成2.圆柱的侧面积、全面积和体积图7-59例1图形3.圆柱直观图的画法圆柱的底面是圆，先介绍圆的直观图的画法.在水平平面内画圆的直观图常用下面的近似画法.图7-60例2图形图7-61水平平面内圆的直观图的作法(a)、(b)图7-61水平平面内圆的直观图的作法（c）画圆柱直观图的步骤如下.图7-62圆柱直观图的作法(a)、(b)图7-62圆柱直观图的作法(c)、(d)二、圆锥1.圆锥的概念和性质一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周所成的几何体叫做圆锥.图7-63圆锥的形成图7-64圆锥的侧面展开图图7-65例3图形2.圆锥的侧面积、全面积和体积图7-67例5图形图7-66例4图形3.圆锥直观图的画法画圆锥的直观图可按照画圆柱类似的步骤进行，即：图7-68圆锥直观图的作法（a）图7-68圆锥直观图的作法（b）（c）（c）（b）三、圆台

1.圆台的概念和性质一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所形成的几何体叫做圆台.图7-69圆台的形成圆台具有以下一些主要性质.(1)两底面都是圆，并且互相平行；(2)平行于底面的截面都是圆；(3)轴截面都是全等的等腰梯形；(4)圆台的轴垂直于底面且经过两底面中心，轴长等于圆台的高；(5)各母线都相等，并且它们的延长线交于一点；(6)母线与底面所成的角都相等；(7)圆台的侧面展开图是一个扇环形(图7-70).图7-70圆台的侧面展开图7-71例6图形2.圆台的侧面积、全面积和体积图7-72例7图形图7-73例8图形3.圆台直观图的画法圆台直观图的画法可按照画圆柱类似的步骤进行，即：图7-74圆台直观图的作法（a）、（b）图7-74（c）四、球1.球的概念和性质一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体叫做球.图7-75球的形成示意图7-76球截面

（4）球切面（和球面只有一个公共点的平面）垂直于过切点的球半径（图7-77）.图7-78例9图形图7-77球切面图7-79例10图形2.球缺、球台用一个平面截球，所得球的一部分叫做球缺，球缺的球形表面叫做球冠，这个平面截球所得的圆叫做球缺（或球冠）的底，垂直于截面的球的直径在截面和球冠之间的一段的长叫做球缺（或球冠）的高.图7-80球缺(a)(b)(c)

用两个平行平面截球，夹在两个截面之间的部分叫做球台.球台的球形表面叫做球带，这两个截面圆叫做球台的底，这两个平行平面间的距离叫做球台（或球带）的高.图7-81球台(a)(b)3.球、球冠、球带表面积及球、球缺、球台的体积图7-82例11图形4.球的直观图的画法先画出球的轮廓线（是球大圆的真像），再在轮廓线内画一个或几个球的大圆的直观图（也可是小圆直观图）（图7-83），即可.图7-83球的直观图(a)(b)第四节旋转体思考题：课堂练习题：1.圆柱、圆锥、圆台是如何旋转得到的几何体？2.如何研究旋转体？3.研究空间图形(几何体)的思路是什么？1.什么是简单多面体？我们所学的多面体是这类多面体吗？2.观察下列五个多面体填表：(1)