《应用数学基础》课件第一章 集合、不等式、简易逻辑

第一章集合、不等式、简易逻辑第一节集合第二节不等式第三节简易逻辑

集合、不等式、简易逻辑是数学中最基本的知识，它们在数学的各个领域有着极其广泛的应用，本章将介绍集合的一些概念及有关符号、运算；介绍不等式的概念、性质以及几种类型的不等式的求解；然后阐述简易逻辑的基本知识.第一节集合表1-1常用的数集数集名自然数集整数集有理数集实数集记号NZQR

如果集合所包含的元素个数为有限个，称这个集合为有限集合；如果集合所包含的元素个数为无限多个，称这个集合为无限集合。

为了方便起见，常用Z+、Z_分别表示正整数集、负整数集；用R+、R_分别表示正实数、负实数；对于排除零的自然数集常用N*表示。

二、集合的表示法

当集合的元素很多,不需要或不可能一一列出时,也可只写出几个元素,其他的用省略号表示.如,小于1000的自然数集合可表示为:{0,1,2,3,…,999};正偶数集合列表示为:{2,4,6,…,2n,…}.2.描述法把某一集合中的元素所具有的特定性质描述出来,写在花括号{}内表示集合的方法叫做描述法.(!描述法是表示集合常用的方法.)

例如,(1)所有的直角三角形组成的集合可表示为:{直角三角形};例1

用列举法或描述法表示下列集合.解三、几种特殊的集合1.点集2.解集3.单元素集

为方便起见,我们把至少含有一个元素的集合叫做非空集.应该注意:四、子集、真子集、集合的相等

为形象地说明集合之间的包含关系，通常用圆（或任何封闭曲线围成的图形）表示集合，而用圆中的点表示该集合的元素，这样的图形称为文氏（Venn)图.图1-1A是B的真子集

例2

写出集合{1,2,3}的所有子集,并指出哪些是真子集.解3.集合的相等证明五、集合的运算1.交集设集合A={2,3,5},B={2,5,7},C={2,5},容易看出,集合C是由既属于A又属于B的所有元素组成的集合,对于这样的集合,我们定义如下.解解解对于任何集合A、B可证明下列结论成立:2.并集设集合A={2,3},B={2,4,6},C={2,3,4,6},容易看出集合C是由属于A或属于B的所有元素合并在一起而组成的集合,对于这样的集合,我们定义如下.定义（a）(b)解解解定义由补集的定义易知:顺便指出,上例的结果对于任意两个集合A、B都成立.证明六、区间

变量一般都有一定的变化范围，数学中常用“区间”表示变量的变化范围。下面介绍几种常用的区间与记号。

左开右闭区间与左闭右开区间统称为半开半闭区间，这里的实数分别称为区间的左、右端点.

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段表示。端点间的距离叫做区间的长。上述四种区间分别表示如下，图1-5中，区间闭的一端标以实心点，开的一端标以空心点。图1-5区间示意

区间长有限的区间，叫做有限区间，上述四种区间都是有限区间；区间长为无限的区间叫做无限区间。无限区间有如下几种：上述5种无限区间在数轴上表示如图1-6所示.图1-6区间示意解（!解集可用”区间”、”不等式“、”集合“三种中任一种表示）习题思考题：1.举出有限集合、无限集合、相等集合、空集合的例子各一个？2.任何一条有限线段都可以围成一个圆吗？圆与数轴上的点有何关系？有限线段上的点与数轴上的点有何关系？从而你能得出什么结论?4.回答：(3)子集、真子集个数的计算公式你能写出吗？答案答案答案答案课堂练习题：答案答案点击左键显示答案答案答案第二节不等式一、不等式及其性质要比较两个实数的大小,只要考虑它们的差就可以了.解不等式有下列一些性质.证明由正数的相反数是负数,负数的相反数为正数得:

定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向(不等号方向相反)根据定理1,定理2又可表示为:即证明即即证明即

定理3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向(不等号方向不变).由此容易得出:

上面的结果表示:不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边.

这里是说,两个或几个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.证明根据同号相乘得正,异号相乘得负,得:

定理4表明,不等式两边同乘以一个正数所得不等式与原不等式方向相同;反之,两边同乘以一个负数,所得不等式与原不等式方向相反.推论1推论2推论3证明二、一元二次不等式及其求解

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式称为一元二次不等式.它的一般形式是:一元二次不等式有两种解法.解

一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根以及二次函数的图像密切相关,具体见表1-2.表1-2一元二次方程的根及二次函数的图像汇总解解*三、分式不等式解图1-7不等式组(I)的解集示意图1-8不等式组(II)的解集示意四、含绝对值不等式含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式.因此，原不等式的解集为：关于和差的绝对值与绝对值的和差，还有如下性质：解解习题思考题：答案答案答案课堂练习题：答案答案第三节简易逻辑

逻辑学是研究思维形式及其规律性的科学，它是数学的重要组成部分.这一节将扼要地介绍逻辑学中的基本内容,以使读者了解必需的逻辑知识,掌握一些数学方法.一、命题1.命题的意义在数理逻辑中,为了表达概念、陈述理论和规则，常常需要应用语言进行描述，但是日常使用的自然语言，往往叙述时不够确切，也易产生二义性，因此就需要引入一种目标语言，这种目标语言就是表达判断的语言（即可以判断真假的句子）叫做命题，命题通常是一个陈述句或符号组合.

判断可能正确，也可能错误，所以命题有正确的，也有错误的，正确的命题叫做真命题.错误的命题叫做假命题.命题的”真”和”假”,称为命题的真值,分别用大写英文字母”T”和”F”表示.(!命题有真、假之分)2.命题的连接词TFFTTFTFTFTFFTFT

注:命题连接词”合取”可以将两个互为否定命题连接在一起;也可以将若干命题连接在一起.TFTFTFTFFTTT(!不含逻辑连接词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑连接词构成的命题叫复合命题.)

于是,命题有四种形式:原命题、逆命题、否命题、逆否命题.它们间的关系可用下图(图1-9)表示.互逆否互否互否互逆互逆互逆否互否互否互逆互逆原命题否命题逆命题逆否命题（a）（b）图1-9命题的四种形式及关系例如,关于对顶角定理的四种命题形式如下.原命题:”如果两个角是对顶角,则这两个角相等”;逆命题:”如果两个角相等,则这两个角是对顶角”;否命题:”如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等”;逆否命题:”如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角”.

由上例看出:具有逆否关系的两个命题是同真或同假的,这种同真同假关系又叫做等效关系.二、充要条件1.充分条件先看下面的一个真命题:2.必要条件也先看一个真命题:

如果两个三角形全等,则这两个三角形面积相等.这个命题表明,如果“两个三角形的面积不相等”,则“这两个三角形一定不全等”,也就是说,要使“两个三角形全等”,就必须有“这两个三角形面积相等”这个条件,所以我们称“这两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.3.充分必要条件先看一个真命题:

如果一个圆的两弦等长,则这两弦的弦心距相等.我们知道,其逆命题也真.于是,”一个圆的两弦等长”既是”两弦的弦心距相等”的充分条件,又是必要条件,这时,称”一个圆的两弦等长”是”两弦的弦心距相等”的充分必要条件.习题思考题：1.说出命题真、假，并指出真值.答案课堂练习题：1.命题：“等式两边都乘以同一个数,所得结果仍是等式”的逆否命题是什么?答案充要条件充要条件点击左键显示答案点击