人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 5.1任意角和弧度制（教师版）

第第页5.1任意角和弧度制课程标准学习目标①理解并掌握正角、负角、零角的概念。②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能进行弧度与角度的互化。④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。1.通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制与角度制的互化，；3.记住特殊角的弧度制；4.掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用；知识点01：任意角1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2、角的分类①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.3、角的运算设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是任意两个角，SKIPIF1<0为角SKIPIF1<0的相反角．(1)SKIPIF1<0：把角SKIPIF1<0的终边旋转角SKIPIF1<0.（SKIPIF1<0时,旋转量为SKIPIF1<0,按逆时针方向旋转;SKIPIF1<0时,旋转量为SKIPIF1<0,按顺时针方向旋转）(2)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【即学即练1】（2023秋·高一课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝.【答案】50°【详解】因为由SKIPIF1<0逆时针旋转得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点02：象限角1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.2、象限角的常用表示：第一象限角SKIPIF1<0第二象限角SKIPIF1<0第三象限角SKIPIF1<0或SKIPIF1<0第四象限角SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知识点03：轴线角1、定义：轴线角是指以原点为顶点，SKIPIF1<0轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.2、轴线角的表示：①终边落在SKIPIF1<0轴非负半轴SKIPIF1<0②终边落在SKIPIF1<0轴非负半轴SKIPIF1<0③终边落在SKIPIF1<0轴非正半轴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0④终边落在SKIPIF1<0轴非正半轴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0⑤终边落在SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0⑥终边落在SKIPIF1<0轴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0⑦终边落在坐标轴SKIPIF1<0知识点04：终边相同的角的集合所有与角SKIPIF1<0终边相同的角为SKIPIF1<0【即学即练2】下列各角中，与SKIPIF1<0角终边重合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】与SKIPIF1<0角终边重合的角为：SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C正确.经检验，其他选项都不正确.故选：C.知识点05：角度制与弧度制的概念1、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1SKIPIF1<0，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、常用的角度与弧度对应表角度制SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弧制度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练3】利用单位圆，写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圆心角的弧度数．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【详解】在单位圆中，SKIPIF1<0的圆心角的弧长是SKIPIF1<0，那么它对应的弧度数是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圆心角的弧长是SKIPIF1<0，那么它对应的弧度数是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圆心角对应的弧度数是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圆心角对应的弧度数是SKIPIF1<0．知识点06：扇形中的弧长公式和面积公式弧长公式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：SKIPIF1<0.【即学即练4】已知一扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径为9，则该扇形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以该扇形的面积为SKIPIF1<0．故选：A题型01任意角的概念【典例1】（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（

）A．小赵同学说：“经过了5h，时针转了SKIPIF1<0．”B．小钱同学说：“经过了40min，分针转了SKIPIF1<0．”C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为SKIPIF1<0．”D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”【答案】ACD【详解】解：经过了5h，时针转过的角度对应的弧度数为SKIPIF1<0，故A正确．经过了40min，分针转过的角度对应的弧度数为SKIPIF1<0，故B错误．时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为SKIPIF1<0，故C正确．分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了tmin，第n次和时针重合，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正确．故选：ACD【典例2】亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而SKIPIF1<0×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选：B【变式2】时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为，分针转过的角的度数为．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】因为时针每小时转SKIPIF1<0，分针每小时转SKIPIF1<0，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角度数为SKIPIF1<0，分针转过的角度数为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0题型02终边相同的角【典例1】下列各角中，与SKIPIF1<0角终边相同的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于B，因为SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0与角SKIPIF1<0的终边相同，B正确；对于A，因为SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整数倍，所以它们的终边不同，A错误；对于C，因为SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整数倍，所以它们的终边不同，C错误；对于D，因为SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整数倍，所以它们的终边不同，D错误.故选：B.【典例2】（多选）与SKIPIF1<0角终边相同的角的集合是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】与SKIPIF1<0终边相同的角可写为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0角终边相同的角的集合为：SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，C正确.故选：AC.【变式1】下列角的终边与SKIPIF1<0角的终边关于SKIPIF1<0轴对称的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意知，与SKIPIF1<0角的终边关于SKIPIF1<0轴对称的角为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确.经验证，其他三项均不符合要求.故选：SKIPIF1<0.【变式2】已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=．【答案】﹣960°．【详解】试题分析：α与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．解：α与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案为﹣960°．题型03终边在某条直线上的角的集合【典例1】若角SKIPIF1<0的终边在函数SKIPIF1<0的图象上，试写出角SKIPIF1<0的集合为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：函数SKIPIF1<0的图象是第二、四象限的平分线，在SKIPIF1<0～SKIPIF1<0范围内，以第二象限射线为终边的角为SKIPIF1<0，以第四象限射线为终边的角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的集合为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【典例2】写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

【答案】答案见解析【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为SKIPIF1<0，所有与180°角终边相同的角的集合为SKIPIF1<0，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为SKIPIF1<0．（2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为SKIPIF1<0．（3）结合（2）知所求角的集合为SKIPIF1<0同理可得终边在直线y＝x、y=-x上的角的集合为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【变式1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线SKIPIF1<0上，则角α的取值集合是【答案】SKIPIF1<0【详解】直线SKIPIF1<0的倾斜角是SKIPIF1<0，所以终边落在直线SKIPIF1<0上的角的取值集合为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式2】在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在SKIPIF1<0轴的非负半轴上；(2)终边在SKIPIF1<0上．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个，它是0°，所以终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为SKIPIF1<0.（2）在0°～360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，它是45°，所以终边在y=x(x≥0)上的角的集合为SKIPIF1<0.题型04区域角【典例1】用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

【答案】图1SKIPIF1<0；图2SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0角的终边可以看作是SKIPIF1<0角的终边，化为弧度，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0角的终边即SKIPIF1<0的终边，所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为SKIPIF1<0．（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典例2】写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）在SKIPIF1<0范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为SKIPIF1<0，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为SKIPIF1<0，因此，阴影部分区域所表示的集合为SKIPIF1<0；（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，阴影部分区域所表示角的集合为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式1】）集合SKIPIF1<0中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0表示的范围与SKIPIF1<0表示的范围一样；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0表示的范围与SKIPIF1<0表示的范围一样，故选：C．【变式2】已知角SKIPIF1<0的终边在如图所示的阴影区域内，则角SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】终边在SKIPIF1<0角的终边所在直线上的角的集合为SKIPIF1<0，终边在SKIPIF1<0角的终边所在直线上的角的集合为SKIPIF1<0，因此终边在题图中的阴影区域内的角SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式3】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型05确定角的终边所在的象限【典例1】已知SKIPIF1<0为第二象限角，则SKIPIF1<0所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为第二象限角，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0为奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第三象限角；②当SKIPIF1<0为偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第一象限角.综上所述，SKIPIF1<0为第一或第三象限角.故选：D.【典例2】（多选）如果α是第三象限的角，那么SKIPIF1<0可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【详解】SKIPIF1<0是第三象限的角，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第一象限；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第三象限；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第四象限；所以SKIPIF1<0可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD【典例3】已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【详解】因为角SKIPIF1<0第二象限角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第一象限角；当SKIPIF1<0是奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第三象限角.；综上所述：SKIPIF1<0为第一象限角或第三象限角，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为第三象限角．故选：C．【变式1】已知SKIPIF1<0是第一象限角，那么（

）A．SKIPIF1<0是第一、二象限角 B．SKIPIF1<0是第一、三象限角C．SKIPIF1<0是第三、四象限角 D．SKIPIF1<0是第二、四象限角【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0是第一象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0是第一象限角，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0是第三象限角，综上所述，SKIPIF1<0第一、三象限角.故选：B.【变式2】若SKIPIF1<0是第三象限角，则SKIPIF1<0所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为第三象限角,即SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0为奇数时,SKIPIF1<0是第四象限的角;当SKIPIF1<0为偶数时,SKIPIF1<0是第二象限的角.故选:D.【变式3】若角SKIPIF1<0是第二象限角，试确定角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第几象限角．【答案】SKIPIF1<0可能是第三象限角、第四象限角或终边在SKIPIF1<0轴非正半轴上的角；SKIPIF1<0可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【详解】因为SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可能是第三象限角、第四象限角或终边在SKIPIF1<0轴非正半轴上的角．又由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0是第一象限角；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0是第二象限角；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0是第四象限角．综上所述，SKIPIF1<0可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．题型06弧度制的概念【典例1】自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过SKIPIF1<0周，小链轮转过的弧度是SKIPIF1<0.故选B.【典例2】下列说法正确的是（）A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【详解】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．【变式1】下列与SKIPIF1<0终边相同角的集合中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；因为SKIPIF1<0，故C正确；对于选项D：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0终边不相同，故D错误；故选：C.【变式2】若SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由于SKIPIF1<0，故角SKIPIF1<0的终边在第一象限，故选：A题型07角度与弧度的互化【典例1】（多选）下列各角中，与角SKIPIF1<0终边相同的角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；对于B，与SKIPIF1<0终边相同的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B正确；对于C，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C错误；对于D，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错误．故选：AB.【典例2】把下列各角从度化为弧度：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【变式1】设r为圆的半径，弧长为SKIPIF1<0的圆弧所对的圆心角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0的圆弧所对的圆心角：SKIPIF1<0.故选：A.【变式2】SKIPIF1<0化为角度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B题型08用弧度表示角或范围【典例1】写出一个与角SKIPIF1<0终边相同的正角：SKIPIF1<0（用弧度数表示）.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可）【详解】与角SKIPIF1<0终边相同的角：SKIPIF1<0又题目要求正角，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，化为弧度数为SKIPIF1<0.答案不唯一故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可）【典例2】已知SKIPIF1<0.(1)将SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与SKIPIF1<0终边相同的角SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，是第四象限角；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是第四象限角.（2）SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0终边相同的角可表示为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】将－1485°化成SKIPIF1<0的形式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以－1485°可化成SKIPIF1<0．故选：D．【变式2】已知角SKIPIF1<0.(1)将SKIPIF1<0改写成SKIPIF1<0的形式，并指出SKIPIF1<0是第几象限的角；(2)在区间SKIPIF1<0上找出与SKIPIF1<0终边相同的角．【答案】(1)SKIPIF1<0，第二象限角(2)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为第二象限，所以SKIPIF1<0是第二象限角；（2）与SKIPIF1<0终边相同的角可以写出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以在区间SKIPIF1<0上与SKIPIF1<0终边相同的角为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．题型09弧长公式【典例1】若扇形的面积是SKIPIF1<0，它的周长是SKIPIF1<0，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设扇形的半径为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故扇形圆心角的弧度数为SKIPIF1<0．故选：A【典例2】若扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.则它的弧长为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，又扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以它的弧长为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式1】已知扇形面积SKIPIF1<0，半径是1，则扇形的周长是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设扇形的弧长为SKIPIF1<0，由扇形的面积公式可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则扇形的周长为SKIPIF1<0.故选：C【变式2】已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为.【答案】SKIPIF1<0【详解】设扇形的半径为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以扇形的周长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型10扇形面积公式【典例1】圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为.【答案】1【详解】设扇形的半径为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，扇形的面积SKIPIF1<0.故答案为：1.【典例2】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0，则此扇环形砖雕的面积为SKIPIF1<0．

【答案】SKIPIF1<0【详解】设圆心角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以此扇环形砖雕的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】已知扇形弧长为SKIPIF1<0，圆心角为2，则该扇形面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【详解】设扇形所在圆的半径为SKIPIF1<0，因为扇形弧长为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由扇形的面积公式，可得SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为SKIPIF1<0，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为cm2

【答案】400π【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为SKIPIF1<0.故答案为：400π题型11扇形中的最值问题【典例1】已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】设扇形的半径为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，扇形面积为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<0，则圆心角SKIPIF1<0，故选：D.【典例2】已知一扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径为R，弧长为l．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)扇形周长的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以扇形的弧长SKIPIF1<0；（2）由扇形面积SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则扇形周长为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，此时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以扇形周长的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.【典例3】已知扇形的圆心角是SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求扇形的弧长SKIPIF1<0.（2）若扇形的周长为SKIPIF1<0，当扇形的圆心角SKIPIF1<0为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，扇形的面积取得最大值25.【详解】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由已知得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值25，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式1】已知扇形的圆心角为SKIPIF1<0，所在圆的半径为SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧长SKIPIF1<0(2)若扇形的周长为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为多少弧度时，该扇形面积最大SKIPIF1<0并求出最大面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，扇形的面积最大，最大面积是SKIPIF1<0．【详解】（1）设扇形的弧长为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由题设条件知，SKIPIF1<0,因此扇形的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，扇形的面积最大，最大面积是SKIPIF1<0．【变式1】已知扇形的圆心角为SKIPIF1<0，所在圆的半径为r．(1)若SKIPIF1<0，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当SKIPIF1<0为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设扇形的弧长为l．因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由题设条件，知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以扇形的面积SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，S有最大值36，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，扇形的面积最大，最大面积是36．【变式1】已知一扇形的圆心角为SKIPIF1<0，所在圆的半径为R.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角SKIPIF1<0等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）设扇形弧长为l，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴扇形面积SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，S有最大值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此当SKIPIF1<0时，这个扇形面积最大.A夯实基础一、单选题1．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于SKIPIF1<0的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【详解】锐角是指大于SKIPIF1<0小于SKIPIF1<0的角，故其在第一象限，即A正确；选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差SKIPIF1<0整数倍，故错误；选项C．小于SKIPIF1<0的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A2．把SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0的形式，则θ的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．3．已知角的集合SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0内的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】依题意，解不等式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0内的角有3个.故选：B4．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点SKIPIF1<0同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以SKIPIF1<0的速度爬行，黑蚂蚁以SKIPIF1<0的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】

如图所示，红蚂蚁以SKIPIF1<0的速度爬行，黑蚂蚁以SKIPIF1<0的速度爬行，则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为SKIPIF1<0，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为SKIPIF1<0，到达C处，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为正三角形，故SKIPIF1<0.故选：A5．已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A6．某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为SKIPIF1<0，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角SKIPIF1<0的大小为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由该扇环的面积为SKIPIF1<0，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即扇环的圆心角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.故选：D.7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久，最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇扇面画开始逐渐地成为主流，如图，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为28，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）

A．990 B．495 C．380 D．300【答案】C【详解】如图，

设该扇面画的外弧所在圆的半径为R，弧长为SKIPIF1<0，内弧所在圆的半径为r，弧长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以扇面画的面积约为SKIPIF1<0.故选：C.8．玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由弧长公式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设扇形SKIPIF1<0，扇形SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该壁画的扇面面积约为SKIPIF1<0．故选：A二、多选题9．若角SKIPIF1<0的终边与角SKIPIF1<0的终边关于SKIPIF1<0轴对称，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】因为角SKIPIF1<0的终边与角SKIPIF1<0的终边关于x轴对称，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：AD.10．已知SKIPIF1<0为第四象限角，则SKIPIF1<0可能为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【详解】由题意知SKIPIF1<0为第四象限角，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为第四象限角，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为第二象限角，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为第三象限角，即SKIPIF1<0可能为第二、三、四象限角，不可能为第一象限角，故选：SKIPIF1<0三、填空题11．已知半径为SKIPIF1<0的扇形的圆心角为SKIPIF1<0，则扇形的面积为．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为半径SKIPIF1<0扇形的圆心角为SKIPIF1<0，则圆心角SKIPIF1<0，所以弧长SKIPIF1<0，面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0与直线l相切于点B，点A运动到点SKIPIF1<0，线段AB的长度为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】根据条件可知圆周长为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故可得圆旋转了SKIPIF1<0圆周，SKIPIF1<0位置如图：则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题13．写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）由题图易知，在SKIPIF1<0范围内，终边在直线SKIPIF1<0上的角有两个，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因此，终边在直线S