第十四节 含参不等式之临界相切-解析版

第十四节含参不等式之临界相切知识与方法若题干给出含参不等式恒成立，当参数改变时，假设的图象随之而变化，在变化的过程之中，能使恒成立的临界状态恰好为两个函数图象相切的情形，这一状态我们一般称之为“临界相切”，如下图所示.这类问题由于具有深刻的图形背景，所以分析图形是寻找解题思路的好方法，可以先在草稿纸上分析并求解出临界状态，如图中的处，应有，由这一方程组可以求出参数的临界值和临界状态下两个函数图象的切点的横坐标，在作答时可先用来得出成立的必要条件，再证明充分性.典型例题【例1】已知函数，其中，若恒成立，求实数a的值.【解析】解法1：由题意，，，①当时，恒成立，所以在单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；②当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；③当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，故恒成立，满足题意；④当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；综上所述，实数a的值为1.解法2：由题意，，，当时，恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意；当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，因为恒成立，所以，故①，设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，即②，结合①②可得，且，综上所述，实数的值为1.【反思】本题属于切点处函数值为0的临界相切模型，这种情况下，参数的值往往是唯一的.【例2】已知函数，若恒成立，求a的取值范围.【解析】解法1：由题意，，，①当时，，不合题意；②当，，满足题意；③当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，从而等价于，即，解得：，综上所述，a的取值范围为.解法2：由题意，，，①当时，，不合题意；②当时，，满足题意；③当时，显然对任意的，，而当时，要使恒成立，则，所以，故，此时，，令，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，因为，所以恒成立，综上所述，a的取值范围为.【反思】本题属于切点处函数值不为0的临界相切模型，这种情况下，参数的值不是唯一的.【例3】已知函数的图象在点处的切线的斜率为.（1）求b的值；（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意，，因为的图象在点处的切线的斜率为，所以，解得：.（2）由（1）知，所以等价于，设，则恒成立，所以，从而，此时，，当且仅当时取等号，令，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，当且仅当时取等号，又，所以，且两个不等号取等号的条件分别是和，故，所以实数的取值范围是.【反思】本题第2问为什么想到先代求得?又怎么能确定这个范围就能使恒成立?这背后其实有临界相切的图形背景支撑，只有分析了图形的特征，才能顺着思路给出上面的先必要后充分的解法.强化训练1.已知函数，其中，若恒成立，求实数a的值.【解析】解法1：由题意，，，①当时，，所以在上单调递减，又，故当时，，不合题意；②当时，，且当时，，所以在上单调递减，因为，所以当时，，不合题意；③当时，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，结合知恒成立，满足题意；④当时，，且当时，，所以在上单调递增，又，故当时，，不合题意；综上所述，实数a的值为1.解法2：由题意，，，当时，，所以在上单调递减，又，故当时，，不合题意；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，从而恒成立等价于，即①，令，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，即②，由①②可得只能，且，所以实数的值为1.2.已知函数（1）若在处的切线方程为，求实数a和m的值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.【解析】解：（1），由题意，，解得：，.（2）解法1：由题意，，令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，从而，故在上单调递减，当时，，所以，从而在上单调递增，所以，因为恒成立，所以，故实数的取值范围是.解法2：由题意，，令，由知在上有唯一的零点，且当时，，所以，故在上单调递增，当时，，所以，故在上单调递减，从而，又，所以①，故，因为恒成立，所以，解得：，由①知，显然函数在上的值域为，所以实数的取值范围是.解法3：设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故，当时，，当时，，所以不能恒成立，不合题意，综上所述，实数的取值范围为3.已知函数（1）求在上的最小值；（2）若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以.（2）解法1：因为，所以，故，设，则恒成立，所以，解得：，此时，，设，则，，所以，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上还有1个零点，记作，且或，，从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，易求得，所以恒成立，又，所以，满足题意，所以实数的取值范围是.解法2：因为，所以，从而，故，设，则，设，则，所以在上单调