第二十六讲圆锥曲线解析版

第二十六讲：椭圆、双曲线、抛物线【考点梳理】求曲线的轨迹方程直接法、定义法、相关点法椭圆方程椭圆相关计算（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长焦点弦：椭圆过焦点的弦。最短的焦点弦为通经，最长为。（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）双曲线（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为抛物线（1）、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．（2）、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．（3）、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．（4）、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：（5）、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上【典型题型讲解】考点一：椭圆【典例例题】例1．（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（

）A．13 B．40 C．5 D．【答案】．A【详解】解：因为椭圆的焦距为6，可知，则，所以，所以，解得：.故选：A.例2．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】21．(1)，离心率为(2)（1）由题意可得：，，，可得，，，所以椭圆C的方程为，离心率为．（2）当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，得：．设，，则．因为直线，垂直，斜率之积为，所以，所以．将代入，整理化简得：，所以或．由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，当时，直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，则，，因为，所以，解得，舍去．综上所述，直线l经过定点，而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，其，，所以圆心，半径，所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程．【方法技巧与总结】标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长轴长，短轴长离心率（注：离心率越小越圆，越大越扁）【变式训练】1．（2022·广东佛山·高三期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（

）A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得C．直线的斜率为 D．平分【答案】ACD【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，，椭圆，，而，则点，对于A，椭圆C的离心率，A正确；对于B，设，即有，，即为锐角，B不正确；对于C，直线的斜率，C正确；对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.故选：ACD2．（2022·广东·金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.【答案】【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心率，又，所以.故答案为：.3.（2022·广东汕尾·高三期末）已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为______．【答案】【详解】当点P在椭圆C上运动时，，故只需，即，，解得：．故答案为：.4．（2022·广东肇庆·二模）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若，直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C． D．【答案】D【详解】如图，由，得，故．因为直线的斜率为，所以，所以，又，所以，，又，故，得，所以.故选：D．5．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设正三角形的边长为，设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，设，则有，由椭圆的定义可知：，，解得：，，在中，由余弦定理可知：，故选：B6．（2022·广东中山·高三期末）已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦长为求椭圆的标准方程若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值【答案】（1）（2）【详解】设椭圆的焦距为,则椭圆的方程化为由得由条件知椭圆的方程为.由知,过与直线平行的直线方程由得设,则由点是椭圆上一点,得,当且仅当时,取等号,的最大值为7．（2022·广东·金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析，(－5,0).(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3．∴椭圆C的方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．由得．时，，，∴．由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).8．（2022·广东潮州·高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，使得为定值(1)解：由离心率为，得，及，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以，所以，，所以椭圆C的标准方程为；(2)解：假设存在，设，联立,消整理得，，设，则，由，则，要使上式为定值，即与无关，则应，即，此时为定值，所以在x轴上存在定点，使得为定值.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析(1)由题知，得，又因为右焦点为，则，解得，所以，所以椭圆的方程为.(2)设点的坐标为，则，所以直线的方程是，当时，，所以点的坐标为，所以，，所以.因为点在椭圆上，所以，即，所以，又因为和是锐角，所以.10．（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，．(1)求C的方程；(2)证明：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)∵在上，∴，当时，直线的方程为：，将代入，并整理得，解得，或，∴，解得，∴椭圆的方程为：.(2)由题意知，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，，联立得∴，且，∴，∴，即为定值.11．（2021·广东汕头·高三期末）已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，且.(1)解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.(2)解：①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线和椭圆有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，，化简并整理，得，因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立，解得，即点.，所以，；②当切线的斜率为时，直线，过点作直线的垂线为，即此时或，；③当切线的斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线为，即此时或，则.综上所述，恒为定值．12．（2022·广东潮州·二模）设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.【答案】（1）（2）存在定点P(1,0)【详解】(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－由得N(4,4k＋m)．假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P(x1,0)，则对满足(*)式的m、k恒成立．因为＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.考点二：双曲线【典例例题】例1．（2022·广东珠海·高三期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，，则双曲线C的离心率e为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设为双曲线左焦点，连接，，，由平面几何知识可知，根据对称性，四边形为矩形，在中，，所以，，根据双曲线的定义可知.故选:D．例2．（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.【答案】(1)(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；(2)解：显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.【方法技巧与总结】1.双曲线的定义：焦点三角形2.双曲线的性质：离心率、双曲线的渐近线【变式训练】1．（2022·广东潮州·高三期末）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在双曲线中，，，，则、，因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，，可得，联立，解得，因此，.故选：C.2．（2022·广东汕尾·高三期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【详解】双曲线的渐近线方程为，，，离心率，故选：D．3．（2022·广东清远·高三期末）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，，则（

）A．双曲线C的渐近线方程为B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的离心率为D．双曲线C的离心率为【答案】AC【详解】如图，延长交于Q，则，因为，所以．因为为的中位线，所以．因为，所以，故双曲线C的渐近线方程为，离心率．故选：AC.4.（2022·广东东莞·高三期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.【答案】【详解】双曲线：的焦点为双曲线：的渐近线为由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线为则则点到渐近线的距离为故答案为：45.（2022·广东深圳·高三期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、、三点，若四边形的面积为，则的离心率为______．【答案】【详解】不妨设点为双曲线的右焦点，则，则以为圆心，且过原点的圆的方程为，联立，解得或，不妨设点，由对称性可知点，由已知可得，即，即，由已知，解得，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.6.（2022·广东中山·高三期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．【答案】4

-15【详解】设，如图所示：因为，所以.所以，，即.所以，整理得：，，即，解得或.因为，所以，即.设，由题知：，因为，所以，即，所以又因为，所以，所以.故答案为：；.29．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和(1)由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为：(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为由可得：设、，则由：，由直线AM方程，令，得点由直线AN方程，令，得点则以EF为直径的圆的方程为：令，有：将，代入上式，得可得：解得：，或即以EF为直径的圆经过点和；②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和综合可得，以EF为直径的圆经过定点和考点三：抛物线【典例例题】例1．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.故选：D.例2．（2022·广东韶关·一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.①求证：直线与直线相交于点；②设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.【答案】．(1)（也可写）(2)①证明见解析；②(1)据题意，设，则即故为轨迹的方程；（也可写）(2)如图：由圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形不妨设，，在第一象限，，则联立消去整理得：（1）据题意，方程（1）有两相异正实根故①证明：依据圆与抛物线的对称性，直线与直线的公共点必在轴上，要证直线与直线相交于点，只要证：三点共线；只要证：只要证：只要证：只要证：上式显然成立，且各步可逆，故直线与直线相交于点②解法一：当且仅当，即时，，此时抛物线方程为解法二：当且仅当，即时，，此时抛物线方程为【方法技巧与总结】1.抛物线的定义：到准线与到定点距离相等.2.抛物线的性质：焦点弦长【变式训练】1．（2022·广东广州·一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，设直线AB为，，，，不妨设，则，所以，解得：，则，解得：，则，所以，解得：，则直线AB为，所以当时，即，解得：，则，联立与得：，则，所以，其中.故选：C2．（2022·广东广东·一模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，解得：，代入抛物线方程得，则，直线的方程式，即，点到直线的距离.故选：D3．（2022·广东茂名·一模）（多选）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（

）A．点P的坐标为（4，4）B．C．D．过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确对于C，方法一：方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误对于D，设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得，同理，即两点满足方程：，所以的方程为：，则D正确，故选：ABD4．（2022·广东·一模）（多选）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（

）A．时，B．时，的最小值为9C．时，D．时，的最小值为8【答案】BC【详解】当时，，此时不妨取过焦点垂直于x轴，不妨取，则，故A错误；当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，则，故，令，则，令，则

，当时，，递增，当时，，递减，故，故当，即时，取到最小值9，故B正确；当时，，此时不妨设在抛物线上逆时针排列，设,则，即，故，，所以，故C正确；由C的分析可知：，当时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC5．（2022·广东湛江·一模）（多选）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，【答案】BCD【详解】设，，，，，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.6．（2022·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；所以，当时，抛物线不完整，所以，，，，故选：ABD【巩固练习】一、单选题1．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.故选：A.2．已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知：，因为，所以，整理得，所以，得，.故选：A3．已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，设，由椭圆定义得，由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，所以，即，整理得，得，得，所以．故选：A4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为椭圆的离心率，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由，所以.故选：B.5．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，则，从而．设左焦点为，则，所以B为短轴端点，所以．故选:C．6．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为可得，即，而在三角形中，，所以上式可得而，所以可得，即，由题意可得，，设，，可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：在中，，在中，，所以，所以可得，所以离心率故选：．7．已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，，，，由抛物线的定义可得，又因为的中点到轴的距离是6，所以，所以，所以抛物线的方程为：，设直线的方程，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，解得，所以的方程为：，.故选：B8.过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（

）A．或 B．或 C．或 D．与p值有关【答案】C【详解】如图所示，由抛物线的焦点为，准线方程为，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：则，，，所以，，所以，即直线l的倾斜角等于，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为，故选：C．二、多选题9．已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，故选：AB.2．设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC【解析】若曲线是椭圆则其离心率为；若曲线是双曲线则其离心率为；故选：AC3．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（

）A． B． C．4 D．2【答案】AC【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.当时，将代入可得，所以的面积为.当时，由双曲线的定义可知，，由勾股定理可得.因为，所以，此时的面积为综上所述，的面积为4或.故选：.4．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（

）A．的离心率为 B．的周长为C． D．【答案】CD【解析】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；对于B，由椭圆定义知：，，的周长为，B错误；对于C，当为椭圆短轴端点时，，，，即，，C正确；对于D，，，，D正确.故选：CD.5．已知抛物线C：，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（

）A．p=1 B．抛物线的焦点为F(0，1)C． D．直线AB的斜率为【答案】BCD【详解】解：易知准线方程为，∴，：，故选项A不正确；抛物线：的焦点为F(0，1)，所以选项B正确；设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项C正确；设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.

故选项D正确.故选：BCD三、填空题1．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.【答案】【解析】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，所以椭圆的焦点在轴上，且，依题意，椭圆短半轴，则，所以椭圆的方程为.故答案为：2．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．【答案】【解析】依题意可知，设，，因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，将其代入，得，又因为，所以，．故答案为：3．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意可知、、，则，，