11三次函数-解析版

第11讲三次函数知识与方法1．单调性当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有3个单调区间．证明：∴当时，与x轴无交点或有一个交点，或恒成立，原函数单调．当时，与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间．2．对称中心三次函数是关于点对称的，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标．证明：只需证明常数，即可．3．三次函数图象的切线条数过（）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作的切线，有且仅有三条；②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③过切线l或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．切线条数口诀：内一、上二、外三．典型例题【例1】已知过点且与曲线相切的直线的条数有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】【解法1】若直线与曲线切于点，则．∵，∴，∴，∴，，∴过点与曲线相切的直线方程为或，【解法1】由大招结论，的中心对称点为，过点A的切线方程为．点在曲线上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三．P与曲线有2条切线．【答案】C．【例2】对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求：（1）函数的图象对称中心为______；（2）若函数，则______．【解析】依题意得：，∴．由，即．∴，又∵，∴函数的图象对称中心为．（2）依题意，设，得：，∴．由，即．∴，又∵，∴函数对称中心为，．所以．【答案】（1）；（2）2015．【例3】已知过第二象限内的点能且只能向函数（t为给定的正常数）的图象作两条切线，则的最小值为（）A． B． C．D． 【解析】【解法1】设切点为，的导数为，可得切线的方程为，代入点，可得，即有，设，，由，解得或，，可得为极小值点，为极大值点，由题意可得，，即有，表示以O为端点在第二象限的射线，表示点与两点的距离的平方，由点到射线的距离为，则的最小值为．故选A．方法2：，，，令，得．所以对称中心为，，在O点切线方程为．根据“内一上二外三”，点位于第二象限中，而且在三次函数上或者过原点的切线上．所以表示点与两点的距离的平方，由点到射线的距离为，则的最小值为．故选A．【例4】已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论）【解析】（1）由得，令，得或，∵，，，，∴在区间上的最大值为．（2）【解法1】设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，∴切线方程为，∴，即，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”，等价于“有3个不同的零点”．∵，∴与变化情况如下：x01+0―0+↗↘↗∴是的极大值，是的极小值．当，即时，在区间和上分别至多有一个零点，故至多有2个零点．当，即时，在区间和上分别至多有一个零点，故至多有2个零点．当且，即时，∵，，∴分别在区间和以及上恰有1个零点，由于在区间和上单调，故分别在区间和上恰有1个零点．综上所述，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是．【解法2】（此大招可快速秒答案，但考试还是建议普通方法）显然函数的对称中心为，而，故切线为，当时，，而，故t的取值范围是．（3）过点存在3条直线与曲线相切；过点存在2条直线与曲线相切；过点存在1条直线与曲线相切．【例5】已知函数，其中，．（1）若存在，使得，证明：；（2）当时，若存在个极值点，证明：．【解析】（1）设则，，其中为常数，根据题设知．因为，所以．（2）假设当时，存在n个零点，设，，，为的n个零点，则，所以，，即，，因为，，，互不相等，且包含项，所以，所以，所以．当时，若存在个极值点，即次函数存在个零点，所以，所以．强化训练1．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数【解析】，则称点为函数的对称中心（也称为函数的拐点），若，则的图象的对称中心为______．【解析】∵函数，∴，∴，令，解得，且，故函数的对称中心为，【答案】．2．设的极小值为，其导函数的图象是经过点，开口向上的抛物线，如图所示．（1）求的解析式；（2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．【解析】（1）由图象可知，在上，在上．在上．故在上递增，在上递减．因此在处取得极小值，∴，∵，∴，，∴，即，，即，∴，，，∴．（2）方法1：过点向曲线作切线，设切点为，则，，则切线方程为，将代入上式，整理得．∵过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同实数根．记，，令，得或1，则x，，的变化情况如下表：x01+0―0+↗极大↘极小↗当，有极大值；，有极小值，由题意有，当且仅当即解得时函数有三个不同零点．此时过点A可作曲线的三条不同切线．故m的取值范围是．方法2：显然三次函数对称中心为，而，故切线为，当时，，而，故m的取值范围是．3．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为．（1）确定b，c的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围．【解析】（1）由，得，，．又由曲线在点处的切线方程为，得，．故，．（2）证明：，，由于点处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简得．即t满足的方程为．下面用反证法证明．假设，由于曲线在点及处的切线都过点，则下列等式成立：由③得，由①―②得④又，故由④得，此时与矛盾，所以．（3）方法1：由（2）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．设，则．由于，故有t0+0―0+↗极大值1↘极小值↗由的单调性知：当且仅当时，有三个相异的实根．即，∴a的取值范围是．方法2：由于，故，，令，即，此时，而，故切线为，当时，，即保证即可，即，故，即得到实数a的取值范围是．4．设a为实数，函数．（1）求的极值；（2）是否存在实数a，使得方程恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1），令，得或．∵当时，；当时，；当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增．∴的极小值为，极大值为．（2）方程恰好有两个实数根，等价于直线与函数的图象有两个交点．∵，∴．令，【解析】得或；令，解得．∴在上为减函数，在和上为增函数．∴当时，；当时，．∴的大致图象如图所示．表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当或时，与有两个交点．故当或时，方程恰好有两个实数根．5．已知函数，曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为．（1）求a；（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．【解析】（1），．曲线在点处的切线方程为．由题设得，所以．（2）由（1）知，设，由题设知．当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根．当时，令，则．，在单调递减，在单调递增，所以，所以在没有实根．综上，在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．6．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得．【解析】（1），方程的判别式：．∴当时，，∴，此时在上为增函数．当时，方程的两根为．当时，，∴此时为增函数，当时，，∴此时为减函数，当时，，∴此时为增函数，综上，时，在上为增函数当时，的单调递增区间为，．的单调递减区间为．（2）∴若存在，使得，必须在上有解，∵，∴，方程的两根为：，∵，∴只能是，依题意，，即，∴，即，又由，得，故欲使满足题意的存在，则．∴当时，存在唯一的满足．当时，不存在，使．7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在a，b，使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【解析】（1）．令，得或．若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．（2）满足题设条件的a，b存在．（ⅰ）当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，，即，．（ⅱ）当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，，即，．（ⅲ）当时，由（1）知，在的最小值为，最大值为b或．若，，则，与矛盾．若，，则或或，与矛盾．综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1．8．已知函数．（1）求曲线的斜率为1的切线方程；（2）当时，求证：；（3）设（），记在区间上的最大值为．当最小时，求a的值．【解析】（1）由得．令，即，得或．又，，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与．（2）令，．由得．令得或．，的情况如下：x04+―+↗0↘↗0所以的最小值为，最大值为0．故，即．（3）由（2）知，当时，；当时，；当时，．综上，当最小时，．9．设函数，a，b，，为的导函数．（1）若，，求a的值；（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为M，证明：．【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为a，b，都在集合中，且，所以，，．此时，．令，得或．列表如下：x1+0―0+↗极大值↘极小值↗所以的极小值为．（3）因为，，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为，．由，得，．列表如下：x+0―0+↗极大值↘极小值↗所以的极大值．【解法1】．因此．【解法2】因为，所以．当时，．令，，则．令，得．列表如下：x+0―↗极大值↘所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．10．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．（1）若函数在在无极值点，求t的取值范围；（2）证明：对任意实数t，函数的图像总存在两条切线相互平行；（3）当时，函数的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组．【解析】（1），令，解得，，因为在上无极值点，所以，即t的取值范围为．（2），取，则有，此时，且，因为，所以，所以，即，所以曲线在处与处的切线平行．（3）当时，，，令，则，所以，所以：，所以，所以，的中点为，即点到处的切线距离为2，曲线在处的切线方程为，整理得，点到直线的距离，整理得，故符合设，，列表可知，在上单调递减，在单调递增，又因为，，，所以存在及，使得，故，s，t均符合题意，所以满足条件的平行切线共有三组．11．已知函数．（1）当，求的单调增区间；（2）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当时，若的【解析】集为，且中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．【解析】（1）当时，，则，令，解得，即的单调增区间为和；（2）因为，所以，设，则恰好有两个不同的零点，令，解得，由题意可知，只需即可，整理得，解得；（3）当时，，则不等式可化为，设，则，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，因为，，，所以．12．设函数．（1）求的单调区间；（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；（3）设函数，如果对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）．由，得或；由，得，所以的单调递增区间是，，单调递减区间是．（2）令，则，，由（1）知函数在处取得极大值，在处取得极小值．因为函数在区间上有三个零点，所以解得，所以实数m的取值范围是．（3）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，故在区间上的最大值为．因为“对任意的，，都有成立”等价于“对任意，恒成立”．即当时，恒成立，即恒成立．记，则有．