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文档简介

第18讲主元法知识与方法在一个多元的数学问题中，可以将任意一个元作为主元，如果能选择合适的主元切入问题，有时候可以大大降低题目难度．主元法的用途也是非常广泛的，在初中的分解因式章节中，估计有些同学就已经对主元法有所了解．在这一讲，说一下主元法在导数问题中的应用．题型及处理方法：题型1：含参函数的恒成立证明例如，对于含有参数a的函数，，现要证明，，．假若此时的单调性与值域难以分析，可考虑将看作为关于a的函数，此时只需证，，即可，若的单调性或值域容易分析，那么将a做为主元来研究将会是一个不错的选择，如本节中的【例】1．题型2；同范围双独立变量的不等式证明像“对数平均值不等式”“指数平均值不等式”“二元形式的琴生不等式”，可以说是这类题目的代表了，类似于这样的不等式都可以考虑用主元法来证明．例如，已知是定义D上的函数，为的导函数，且在D上单调递增，证明：，．对于而言，可以任选a或b为主元，来研究的值域，比如设，此时的b为参变量，则．由于单调递增，容易得出：时，，，即，单调递减；时，，，即，单调递增；即．所以，．当然，解决数学题目的方法绝对不是一成不变且套路化的，遇到多元的数学问题，也不要刻意使用主元法，先分析式子结构和变量之间的关系，权衡各种方法的利弊，选择合适的角度切入．比如，下面这个不等式的两种证明方法中，【解法2】反倒更胜一筹？证明：，．【解法1】主元法等筝价于．设，，则，当时，，单调递增，即．所以，，．【解法2】换元法（整体代换）等价于，即．则只需证，．令，．当时，，单调递增，．所以，时，．典型例题【例】1（2021·马鞍山二模）已知函数，．（1）若在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；（2）求证：当，时，恒成立．【例2】已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）证明：当时，恒成立．【例3】已知函数f(x)=(1)当k=2时,求曲线y=f(2)当k⩾−3时,证明:∀【例4】.已知函数f((1)当m=0时,曲线(x)=f(x)+ag(x(2)当m=1时,已知0<a<【例5】已知函数f((1)求函数f((2)当a=1时,设g(x)=xex强化训练1.已知a∈R2.设b、c均为实数,若函数f(x)=x3.已知函数f((1)当a=1时,求曲线f(x(2)当a=1时,设g(x)=f(x4.设函数f((1)当a=e时,求函数f(2)当a>0时,证明:f5.已知函数f((1)证明:当a=−1时,函数f(2)当−2<a<0时,证明:f(6.已知函数f((1)求函数f((2)设0<a<b7.设函数f((1)讨论f((2)证明当x∈(1,+∞)时,1<(3)设c>1,证明当x

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