二面角及其平面角

二面角及其平面角养正中学林长城一、 知识回顾与问题的提出。1、 空间中两个平面的位置关系？2、 问题：两个相交平面的相对位置是如何来确定呢？我们说，它们的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的。那么，我们不禁要问，两个平面所成的“角”又是如何确定的？为什么要研究两个平面所成的'角”？3、 客观实例：教材P44中的“筑水坝”和“人造卫星轨道”。木工与车床工：木工所用的刨子，它的刨刀和刨底，用粗刨和细刨的不同，要装配成适当的角度；车床上的车刀口的两个面所成的角的大小也要根据被加工对象和刀口的材质来决定。这些事实都说明了我们研究两个平面所成的“角”是十分必要的。那么如何确定两个平面所成的“角”呢？引入今天的新课。二、 二面角的概念1、 有关定义：半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。2、 平面角与二面角的比较：三、 二面角的平面角1、引入：问题1：我们怎样来度量一个二面角的大小呢？从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。同时也使学生产生了强烈的问题意识。问题2：我们以前学过的空间角，如异面直线所成的角，空间线面所成的角怎样度量的？答：(1)异面直线所成的角的定义：过空间任意一点，分别引两条异面直线的平行线，我们把这两条平行线所成的锐角(或直角)叫做异面直线和所成的角直线和平面所成的角的定义：平面的斜线和斜线在平面上的射影所成的锐角称为直线和平面所成的角共同特征：把空间的角转化为平面的角，并且角的大小唯一确定设计这个问题意在引发学生回忆：空间角都是转化成平面角进行度量的，从化归思想的角度引导学生猜想得到：二面角也可以转化成平面角进行度量。问题3：既然要用平面角度量二面角，那这个平面角的顶点和两边应放在什么位置？采用分组讨论、合作学习的形式引导学生探索分析问题。用现成的教具“课本和两只笔”为模型进行实践。使学生在不断的体验、思索、推翻、排除中发现二面角的平面角。2、 二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。观察与结论：如图，在二面角a-a-P的棱a上任取一点0,在平面a和8内，从O点分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成ZAOB,在棱a上另取任意一点。'，按照前述同样的方法作出ZA'O'B'o因为OA和OA,OB和0'。都垂直于棱a,且分别处于平面a和［3,所以ZAOB和/A0B的两边分别平行且方向相同，因此，ZAOB=ZAO'B'0由此可见，ZAOB的大小与点0在棱a上的位置无关。因此我们可以得到如下结论：二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。对二面角的平面角的理解，应提醒学生注意下面两点：它是一个“平面角”，因此它的两边必须在同一个平面内，如图，AB、CD不成平面角。二面角的平面角的两边必须都与棱垂直。如图，ABC的顶点虽在棱上两边也分别在二面角的半平面内，但BC不与棱垂直，所以ABC不是二面角的平面角。二面角的平面角的取值范围：0°<a<180°3、 如何确定二面角的平面角：学生练习：模仿教师作二面角。锻炼学生的动手能力，给学生充分的时间和空间在头脑中建构二面角。从二面角的平面角的定义来看，因为平面角的顶点是二面角棱上的任意一点，而平面角所在的平面始终保持与棱垂直，所以同一个二面角的所有平面角都相等。因此，求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，应该根据具体问题的特定条件抓住'二面角的平面角”的三个要素：确定二面角的棱上一点；经过这点分别在两个半平面内引射线；所引的射线都垂直于棱。从而就可以使二面角的平面角所在的平面经过棱上特定的点，并垂直于棱。同时，还应注意，在确定位置与求解的过程中，应正确、合理、综合地运用“直线和平面垂直”的概念以及“三垂线定理及其逆定理”等有关知识。进一步加强学生对度量唯一性的理解，深化平面角概念的理解和掌握。通过探索发现，在师生之间，生生之间的沟通互动中强化了重点，分解了难点。可以使学生看到问题的不同侧面和解决途径，不仅学会了二面角的平面角的定义，还学会了理清和表达自己的见解，学会相互接纳、赞赏、争辩、互助，并不断对自己和别人的看法进行反思和评判。学生的猜想能力,观察分析能力，空间想象能力都得到了一定的锻炼，竞争意识和合作精神也得到了培养。四、应用实例为巩固所学知识，设计了两道简单练习及三道例题，这三道例题由浅入深，由易到难，既体现了教学的巩固性原则，又兼顾了因材施教的原则。练习：1、如图1,AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为：A.ZABPB.ZACPC.都不是2、如图2,已知P为二面角Ot-Z-p内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？例1、如图，空间四边形48CD中，AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=。,BD=42a,求二面角A-BD-C的大小。例2.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtAABC斜边AC的中点0,若PB=AB=1,BC=』2,求二面角P-AB-C的正切值。例3.如图P为二面角a-1-8内一点，PA±a,PB±P,且PA=5,PB=8,AB=7,求这二面角的度数。常规例题，使学生了解体会怎样在具体题目中作二面角的平面角。教师根据题意，引导学生充分利用已知图形的性质，分别由定义法、三垂线定理法及垂面法作出该二面角的平面角。为调动学生的积极性，我让学生先做，并给学生板演的机会，以增强学生的参与意识，活跃课堂气氛。这三道例题是涉及利用二面角的平面角进行计算的习题类型，在讲解过程结束后，引导学生总结解题过程，即“一作二证三计算”，从而达到使学生熟练掌握解题思路，规范解题步骤的目的。附：思考题1、如图所示，在正方体AC】中，求二面角A】一BD—q的大小。思考题2、如图，设E、F、G是正方体AC1的棱AA1、AB、BC的中点，求二面角E—FG—A的大小。四、 课堂小结1、 作二面角的平面角通常有以下几种方法：由定义，在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条垂线组成二面角的平面角。利用三垂线定理或其逆定理，在一个面内取一点作另一个面的垂线，自垂足作棱的垂线，这垂线和斜线所成的角是二面角的平面角。过空间一点作二面角棱的垂面，垂面与两个半平面的两条交线所成的角是二面角的平面角。2、 立几中的计算题一般要有三个步骤：作图(例如作出二面